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第5讲 多元函数及其极限与连续本节主要内容：第一节 多元函数的基本概念1 领域2 平面区域的概念3 聚点与孤立点4 维空间的概念5 多元函数的概念6 二元函数的极限7 多元函数的连续性 8 二元初等函数9 闭区域上连续函数的性质讲解提纲：第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念 在第一至第六章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数. 一、平面点集,邻域,点集E的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集、无界集等概念. 点集称为点的邻域.平面区域的概念：连通的开集称为区域或开区域；开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 如果对于任意给定的，点的去心邻域内总有中的点，则称为的聚点；如果存在，使得，则称为的孤立点.二、维空间中的线性运算,距离, 维空间的概念. 元有序数组的全体称为维空间三、多元函数的概念设非空点集映射称为定义在上的元函数，记作 称点集为函数的定义域，数集 为函数的值域. 四、二元函数的极限设二元函数的定义域为， 为的聚点. 如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有成立，那么就称常数为函数当时的极限. 五、多元函数的连续性设元函数定义在上，聚点，如果存在，则称元函数在点连续，否则成为不连续，此时为间断点. 如果函数在上各点处都连续，则称函数为上的连续函数.多元初等函数的连续性结论：一切多元初等连续函数在其定义区域内连续. 六、 多元初等函数可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.七、 闭区域上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理；介值定理；一致连续性定理.例题选讲： 多元函数的概念例1求二元函数的定义域.解：定义域为， 解得 例2已知函数 求. 二元函数的极限例3求极限 .解：函数的定义域为，原点为聚点，而有界，故例4 求极限 解： 为聚点，故例5求极限 .例6 求极限 解：因为所以例7求.例8证明 不存在.解：当 所以沿不同的路径趋向于原点时所得的极限值不一样，故极限不存在. 例9 证明 不存在.例10 证明 极限不存在. 二元函数的连续性例11 讨论二元函数 在处的连续性.解：当当故例12 求极限 课堂练
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