圆和二次方程(上).doc

数学月刊七月号马明 圆和二次方程（上）圆和二次方程之间有种种联系，用圆来解二次方程就是其中的一种.先来看几个例子.我们要解下面几个方程： （I） （） （） （）先来看方程（I）. 在直角坐标系内作出两点K、P1，使点K的坐标是（0，1）；点P1的横坐标是这个方程里x的一次项系数的相反数，纵坐标是方程里的常数项，就是（5，4）. 再以连结这两点的线段直径画圆，交x轴于两点X1和X2（图1），那么，这两点的横坐标1和4恰好是这个方程的两个根. 图1 图2再来看方程（）. 在直角坐标系内作出两点K、P2，使点K的坐标是（0，1）；点P2的横坐标是这个方程里x的一次项系数的相反数，纵坐标是方程里的常数，就是（-5，-6）. 再以连结这两点的线段为直径画圆，交x轴于两点X1和X2（图2），那么，这两点的横坐标-6和1恰好是这个方程的两个根.方程（I）和方程（）就是我们学过的简化二次方程 （A）的形式.（ 注 在课本里，简化二次方程是用来表示的. 现在我们把x的系数改为负号，并且用a、b分别代替p、q，这样不会影响问题的本质，但为下面的叙述带来了方便.）把上面这两个例子与方程（A）联系起来看，我们可以得到一个启发：在直角坐标系内，以连结两点K（0，1）、P（a、b）的线段为直径画圆，和x轴相交于两点，那么这两点的横坐标就是方程（A）的两个根.这种现象是偶然的还是必然的？现在我们还不知道. 不过，我们可以把这种用圆来解二次方程的方法，再用于方程（）和方程（），看一看会产生什么结果. 我们知道，方程（）的两个根是相等的，都等于-3，而方程（）没有根. 用上面的方法试试看. 图3 图4在直角坐标系内，以连结两点K（0，1）、P3（-6，9）的线段为直径画圆，可以看到这个圆和x轴只有一个交点（图3），而这点的横坐标是-3；如果把点P3改为P4（2，3），这个圆和x轴就没有交点（图4）. 这两个结果与解方程（）和解方程（）的结果完全一致，这种现象太使人兴奋了！把上述四个现象与方程（A）联系起来，并且概括一下，我们也许会想到下面这个定理可能成立.定理 设方程 . （A）在直角坐标系内，以连结两点K（0，1）、P（a、b）的线段为直径画圆M，如果（1）圆M和x轴相交于两点X1和X2（图5），那么这两点的横坐标就是方程（A）的两个根；（2）圆M和x轴相切（图6），那么这切点的横坐标就是方程（A）的两个等根；（3）圆M和x轴不相交（图7），那么方程（A）没有根；证明 （1）在图5里，设圆M和y轴的另一个交点是L，连结LP. KLP是半圆上的圆周角，所以PLOL，因此，点L的坐标是（0，b）. 由圆幂定理，得OX1OX2=OKOL.设OX1=，OX2=. 因为OK=1，OL=b，得=b （1） 图5经过圆心M作弦X1X2的垂线MC交X1X2于点C，那么X1C=CX2，并且MC是直角梯形ODPK的中线，所以OC=CD. 因此OC-X1C=CD-CX2，就是 OX1=X2D.这样 OX2+OX1=OX2+X2D=OD=a，就是 +=a. （2）根据韦达定理的逆定理，由（1）式和（2）式得知和就是方程（A）的两个根.以上我们是就a、b都是正数的情况进行证明的.也就是说，我们是就点P（a，b）在第一象限内进行证明的. 如果点P在其他几个象限内或者在坐标轴上，对这些情况，我们可以用同样的方法来证明.读者不妨试试看.（2）在图6里，因为圆M和x轴相切，那么 ，就是 . （3）由圆幂定理，得 图6 OC2=OKOL，就是 OC2=b.（ OK=1，OL=b）和（3）式比较一下，可以知道 就是 =a2-4b=0. （4）这里（4）式表明：当圆和x轴相切时，方程（A）的根判别式=a2-4b=0，因此，方程（A）的两个根一定相等.而（3）式表明这两个相等的根就是.这跟我们用求根的公式来解方程（A）得到的结果是完全一致的.以上我们还是就点P在第一象限内进行证明的，如果点P不在第一象限，我们可以用同样的方法进行证明.读者不妨试试看.（3）只要证明当圆M和x轴不相交时（图7），方程（A）的根的判别式一定小于零就可以了. 图7在KLP里，KP2=KL2+LP2.设KP=2R. 那么（2R）2=（b-1）2+a2， （5）因为圆M和x轴不相交，所以CMR.而 所以 （6）比较一下（5）式和（6）式，得 就是 两边同乘以4，并且移项，就得 a2-4b0. （证毕）练 习用圆解