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科目：数学年级：初三教师：张立平第一学期第二十周 第三章 圆一、本周进度：3.1 车轮为什么做成圆形3.2 圆的对称性二、本周学习目标：1理解圆的定义、及点和圆的位置关系2掌握圆的有关性质三、本周学习重点、难点：重点: 1.点和圆的位置关系2.垂径定理及逆定理难点：1.用集合的观点研究圆2.垂径定理及逆定理的证明四、重点知识分析与讲解：知识点1. 圆的定义 如图, “O”，读作“圆O”，其中O叫做圆心，OA叫做半径. 注意:(1) 圆必须有两个条件才能确定：即圆心和半径；(2) 圆指的是“圆周”而不是“圆面”;(3) 圆的定义具有两方面的内含：一是圆上各点到定点（圆心）的距离等于定长（半径）；二是到定点的距离等于定长的点都在圆上.知识点2. 点和圆的位置关系：点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的数量大小关系决定的,即：点在圆外dr 点在圆上d=r 点在圆内dr知识点3. 与圆有关的概念(1)连结圆上任意两点的线段叫做弦（如图中的CD）(2)经过圆心的弦叫做直径（如图中的AB），直径等于半径的2倍 (3)圆上的任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作“”或“弧AB”.(4)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一每弧都叫作半圆，大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）小于半圆的弧叫做劣弧. (5)能够重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能互相重合的弧叫做等弧.注意：（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）同圆是指同一个；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指半径相等，圆心不同的圆；同心圆是指圆心相同，半径不等的圆；（3）等弧必须是在同圆或等圆中的弧，长度相等的弧不一定是等弧.知识点4圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 圆还有旋转不变性. 注意：（1）每条直径所在的直线都是圆的对称轴，不能说每一条直径都是圆的对称轴； （2）事实上，圆绕圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合.这一性质就是圆的旋转不变性；（3）圆都是轴对称图形又是中心对称图形.知识点5. 圆的有关性质：(1)同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.即： CD是直径 AE=BE = CDAB = 注意：该定理理解为：若一条直线具有两条性质：（1）过圆心，（2）垂直于弦，则此直线具有另外三条性质，（3）平分此弦，（4）平分此弦所对优弧，（5）平分此弦所对劣弧.(3) 垂径定理的推论: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（4）在同圆或等圆中，两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中，如果其中一组量相等，则其它三组量也都分别相等 注意：这部分圆的内容中，解题时常添加的辅助线. 1连半径.目的：因为同圆的半径相等，所以可以产生等腰三角形. 2作弦心距.目的：可以利用垂径定理。若既连半径，又作弦心距，则可产生Rt.3连结弧的中点与圆心.目的：可以利用垂径定理的推论.4作直径所对的圆周角.目的：产生Rt.五、典型例题与分析：【例1】 O的半径，圆心O到直线的距离直线上有P、Q、R三点，且有PD=4CM，QD4CM，RD4CMP、Q、R三点对于O的位置各是怎样的？ 分析：计算P、Q、R各点到圆心的距离，与半径进行比较，然后作出判断解：， ， 点P在O上，点Q在O外，点R在O内【例2】 已知AB是O的一条弦，O的半径为5，OCAB于D，交O于点C，且CD=2，那么AB的长为（ ）. . 4 . 6. 8 . 10 分析 : 连结OA，由题意，由于OCAB于D，所以只要求出AD就可以了.因为CD=2，半径为5，所以OD=3，根据勾股定理解得AD=4，根据垂径定理知AD=BD，由此得AB=8 ，故排除A、B、D.解：C. 【点拨】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.【例3】已知：如图，AB是O直径，弦AC半径OD，求证: 证明：连结OC，OA=OC，A=C，又ACOD，A=1，2=C，1=2，此方法是：利用在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等进行证明. 【例4】（2008年上海市）在中，如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于 ABC答案: 3或5解析: 本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想.由，可得BC边上的高AD为4，圆经过点, 则必在直线AD上，若O在BC上方，则=3，若O在BC下方，则=5.【例5】设两弦AB、CD的中点分别为M、N，且MN与二弦成等角，问二弦的关系如何？分析：两条弦的关系是指两弦相等与否、平行与否等。但是因为题目中没有画出图形，所以要画出并注意不同情况.解：当MN不过O点时，如图甲，连结OM、ON，则ONM构成三角形.因M、N分别是AB、CD中点，故OMAB，ONCD.又因1=2，故OMN=ONM，得OM=ON， 故AB=CD.当MN与点O共线时，如图乙，则MNAB，MNCD，故AB/CD.于是二弦AB、CD是相等或平行的关系.【点拨】此题要谨防遗漏第二种情况.【例6】已知AB为O的直径，弦CDAB于E，且EB=4cm, CD=12cm, 求圆心到弦CD的距离.分析：对于弦心距的问题，常常通过和半径、弦的一半构成的直角三角形来解决.解：如图：设O的半径为xcm,则OE=(x-4)因ABCD，且AB为圆的直径，故CE=CD，即CE=6cm.在RtOCE中，由勾股定理得x2=62+(x-4)2解之得x=6.5.故OE=x-4=6.5-4=2.5(cm).从解题中我们可以发现，在解有关圆的弦、弦心距关系的问题时，不可忽视由半径、弦心距、弦的一半所构成的直角三角形，并由勾股定理反映出它们的数量关系.【例7】（2007广东梅州课改）如图，点在以为直径的上，于，设（1）求弦的长；（2）如果，求的最大值，并求出此时的值ABCDPO解：（1）连结， 所以， 得（也可以根据求解）4分 （2）由于，所以， 得，所以的最大值为25，此时六、双基训练： A组一、选择题1AB是O的弦，OQAB，垂足为Q，再以OQ为半径作同心圆，称作小O，点P是AB上异于A， B，Q的任意一点，则点P位置是（）A在大O上B在大O外部C在小O内部D在小O外大O内2下列图形中对称轴最多的是（）A圆B正方形C等腰三角形D线段3圆弧弦长为24，圆弧高为8，则圆弧所在圆的半径是（）A10B26C13D54下列语句中，正确的有（） 相等的圆心角所对的弦相等； 平分弦的直径垂直于弦； 长度相等的两条弧是等弧； 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A1个B2个C3个D4个二、填空题5O的直径为12，P为一个点，当PO=时，点P在圆上；当PO时，点P在圆内；当OP6时，点P必在6若圆的半径为3，圆中一条弦为，则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为7如图1，在ABC中，ACB=90，B=25，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，交 BC于E，则DCE的度数为 三、解答题8如图2，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H四个点是否在以点O为圆心的同一个圆上？为什么？9如图3，O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH=4，BH=6，CH=3，DH=8，求O的半径图3B组一、选择题1如图，已知O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ）A1mm B2mmm C3mm D4mm2如图，已知AB是O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，BOC=40，那么AOE等于（ ）A40 B60 C80 D1203（长春市）如图，BD为O的直径，A=30，则CBD的度数为（ ）A30 B60 C80 D120 4（重庆市）如图，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD=40，则DCF等于（ ）A80 B50 C40 D205（年哈尔滨市）半径为6的圆中，圆心角的余弦值为，则角所对弦长等于（ ） A4 B10 C8 D66RtABC中，C=90，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作A，那么斜边中点D与O的位置关系是（ ）A点D在A外 B点D在A上 C点D在A内 D无法确定7（太原市）A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是（ ） A可以画一个圆，使A，B，C都在圆上； B可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外； C可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外； D可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内二、填空题8如图，ABC为O的内接三角形，O为圆心，ODAB，垂足为D，OEAC，垂足为E，若DE=3，则BC=_ （8题） （9题） 9如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G，B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_cm三、解答题10如图，已知AB是O的直径，点C，D在O上，且AB=5，BC=3 如果OEAC，垂足为E，求OE的长和sinBAC的值.11（青岛市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径12已知O的半径为5，AB、CD为O的两条弦，且ABCD于E，若AE、BE为方程x28xk2 =0的两个根，OE=4，求CD的弦心距及K的值.13如图，在O中弦AB、AC，D、E分别为、的中点，连结DE交AB、AC于M、N. 求证：AM=NA 14如图，已知O的弦AB、CD的延长线相交于点P，PO是APC的平分线，点M、N分别为和的中点，MN分别交AB、CD于E、F两点.求证：（1）MNPO；（2）AB=CD. 15过O内一点A的所以弦中，垂直于过A点的直径的弦为最短.参考答案：A组一、1D2A3B4B二、56，6，圆外617cm840三、9略10提示：过O分别作OMAB，ONCD，得矩形MHNO，连OBB组1C 2B 3B 4D 5D 6A 7B 86 96 10 OEAC，O是O的圆心，E是AC的中点，OE=BC= sinBAC=11（1）正确作出图形，并做答 （2）解：过O作OCAB于D，交弧AB于C，OCAB，BD=AB=16=8cm，由题意可知，CD=4cm，设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，在RtBOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2，（x-4）2+82=x2，x=10，即这个圆形截面的半径为10cm12提示：连结OA，过O作OMAB，ONCD，CD的弦心距是，K=3 13提示：连结OD、OE，易证ODAB，OEAC，OD=OE，D=E，AME=