必修四三角函数的图象与性质讲义.doc

1.41.5 三角函数的图象与性质一、正弦函数的图象与性质1、利用描点法作函数图象 (列表、描点、连线)自变量函数值 注意：（1）由于sin(2k)sin，因此作正弦函数图象时，我们经常采用“五点法”：(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)；再通过向左、右平移(每次2个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。二、余弦函数的图象1、余弦函数的图象：ycosxsin(x)可将正弦函数ysinx向左平移个单位得到。2、“五点作图法”： (0，1)，(，0)， (，1)，(，0)， (2，1)三、正、余弦函数的性质 f(x)sinx h(x)cosxf(x)sinxh(x)cosx定义域RR值域1，1当x2k时，f(x)max1当x2k时，f(x)min11，1当x2k时，f(x)max1当x2k时，f(x)min1单调区间2 k，2 k 单增2 k，2 k 单减2 k，2 k 单减2 k，2 k2 单增对称轴xkxk对称中心(k，0)(k，0)周期性sin(2 k)sin cos(2 k)cos 最小正周期为2奇偶性sin()sin 奇函数cos()cos例1：求下列函数的定义域。（1）f(x) （2）f(x)变式练习1：求下列函数的定义域（1）f(x)lg(sinx) （2）f(x) （3）f(x)变式练习2：已知cos x，且x0，2，则角x等于()A：或B：或 C： 或D：或【解析】A变式练习3：当x时0，2，满足sin(x)的x的取值范围是()A： 0，B： ，2 C：0，2 D：，【解析】C例2：下列函数图象相同的是()A：ysin x与ysin(x) B：ycos x与ysin(x)C：ysin x与ysin(x) D：ysin(2x)与ysin x【解析】B变式练习1：y1sin x，x0，2的图象与直线y2交点的个数是()A：0B：1C：2D：3解析 B变式练习2：函数ysin(x)，x0，2 的简图是() 【解析】B变式练习3：.函数y2sin x与函数yx图象的交点_个。【解析】在同一坐标系中作出函数y2sin x与yx的图象可见有3个交点。3个变式练习4：.若函数y2cos x(0x2)的图象和直线y2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为_。【解析】：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1S2，S3S4，因此函数y2cos x的图象与直线y2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积。因为|OA|2，|OC|2，所以S矩形OABC224.故所求封闭图形的面积为4.四、正切函数的图象与性质【三点两线】定义域：xk kZ 值域：R周期性：最小正周期T 单调递增区间：(k，k)奇偶性：tan(x)tanx 奇函数 对称中心：(，0)例3：求函数f(x)tan(2x)的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心。例4：若直线过点M(2，2)且与以点P(2，3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是_。【解析】：k2变式练习：若直线过点M(0，2)且与以点P(2，3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是_。【解析】：k2，k五、函数ysin(x)的图象与性质（一）由ysinx的图象通过变换法作yAsin(x)的图象1、先平移后伸缩：ysinx ysin(x)ysin(x)yAsin(x)2、先伸缩后平移：ysinx ysinx ysin(x)yAsin(x)例5：把函数ysin(2x)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式为（ ）A：ysin(4x) B：ysin(4x) C：ysin4x D：ysin2x 【解析】：D变式练习1：将函数ysin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A：ycos2xB：ysin(2x) C：ysin(x)D：ysin(x)【解析】：选D变式练习2：已知函数f(x)sin(x)（0）的最小正周期为，则函数f(x)的图象可以由函数ysin2x的图象()A：向左平移个单位长度 B：向右平移个单位长度C：向左平移个单位长度 D：向右平移个单位长度【解析】选A变式练习3：要得到函数y2cos(2x)的图象，只要将函数y2cos2x的图象()A：向左平行移动个单位长度 B：向右平行移动个单位长度C：向左平行移动个单位长度 D：向右平行移动个单位长度【解析】选D变式练习4：要得到函数ysin(2x)的图象，只需将函数ycos(2x)的图象()A：向左平移个单位长度 B：向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D：向右平移个单位长度【解析】选C.由于ycos(2x)cos2xsin2x+2sin2x+4，ysin2x-3sin2x-6sin2x+4-512.故只需将函数ycos(2x)的图象向右平移512个单位长度得到函数ysin2x-3的图象.五、有关函数yAsin(x)的性质1、定义域为R 2、值域为A，A 3、最小正周期T 4、当k时，函数yAsin(x)为奇函数；当k函数是偶函数。5、对于函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间，把x看成整体2kx2k，解出x的范围为函数的单调递增区间2kx2k，解出x的范围为函数的单调递减区间6、函数yAsin(x)的对称轴xk，解出x求得；对称中心xk，解出x求得。例6：指出函数y3sin(2x) 的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。变式练习1：函数f(x)3sin(x)在下列区间内递减的是()A：， B：0，C：， D：，【解析】:令2k2x62k32，kZ可得2k3x2k43，kZ，函数f(x)的递减区间为2k+3,2k+43，kZ.从而可判断2,233,43， 答案:D变式练习2：设函数f(x)sin(2x)，xR，则f(x)是()A：最小正周期为的奇函数 B：最小正周期为的偶函数C：最小正周期为的奇函数 D：最小正周期为的偶函数【解析】:因为f(x)sin2x-2-cos 2x，所以f(-x)-cos 2(-x)-cos 2xf(x)，所以f(x)是最小正周期为的偶函数.答案:B例7：若函数的图象关于直线对称，那么的最小值为（ ）A： B： C： D：【解析】：B例8：函数f(x)Asin(x) （A0， 0，）的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（）A：f(x)2sin(x)B：f(x)2sin(2x)C：f(x)2sin(x)D：f(x)2sin(2x)【解析】：B变式练习1：已知cos，且(，)，函数f(x)sin(x)（0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f()的值为（ ）。A： B： C： D：【解析】：B变式练习2：已知函数f(x)sin(x) （0，）的部分图象如图，则_。【解析】：变式练习3：已知函数f(x)sin(x)（0）的图象如右图如示，则f(4)_。【解析】： 变式练习4：函数f(x)sin(x)，（）的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为（）A：（14k，14k），kZ B：（38k，18k），kZC：（14k，14k），kZD：（38k，18k），kZ【解析】：【解答】解：根据函数f（x）sin（x），（|）的部分图象，可得312，求得，再根据五点法作图可得1，f（x）sin（x）令2kx2k，求得8k3x8k1，故函数的增区间为38k，18k，kZ，故选：D例9：已知函数f(x)sin(2x)（1）求函数f(x)的最小正周期。（2）求函数f(x)的单调递增区间以及对称中心。（3）求函数f(x)在区间 ，上的最大值和最小值。变式练习1：已知函数f(x)sin(x)（其中0，|），若函数yf(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线x是函数yf(x)图象的一条对称轴.（1）求的值； （2）求yf(x)的单调递增区间； （3）若x，求yf(x)的值域。【解析】：(1)因为函数yf(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为2，所以函数的周期T，所以22.(2)因为直线x6是函数yf(x)图象的一条对称轴，所以26k2，kZ，k6，kZ.又|2，所以6.所以函数的解析式是ysin2x+6.令2x6-2+2k,2+2k，kZ，解得xk-3,k+6，kZ.所以函数的单调递增区间为k-3,k+6，kZ.(3)因为x-6,3，所以2x6-6,56.所以sin2x+6-12,1，即函数的值域为-12,1.变式练习2：设函数f(x)sin(2x)（0），已知它的一条对称轴是直线x。（1）求；（2）求函数f(x)的单调递减区间；（3）求函数的对称中心；（4）当x，函数f(x)的取值范围。【解析】(1)函数的一条对称轴是直线x8，28k2，kZ，因为-0，所以-34.(2)由(1)知，f(x)sin2x-34，22k2x-34322