议数学解题中的三个关键点_切入点_调节点与反思点.pdf

6 议数学解题中的三个关键点 切入点 调节点与反思点 常淑凤 黄加卫 北师大数学科学学院 100875 浙江省湖州市第一中学 313000 众所周知 数学是一门基础科学 任何一门自 然科学和工程技术都离不开数学这一基础 而数学 的产生和发展总是在提出问题和解决问题的过程 中进行的 美国数学家哈尔莫斯 P R Halmos 认 为 问题是数学的心脏 数学的真正的组成部分是 问题和解 著名数学家及数学教育家乔治 波利亚 G Polya 也强调指出 中学数学教学首要的任务 就是加强解题训练 掌握数学就是意味着善于解 题 与之相对应的 普通高中数学课程标准 实 验 也指出 数学必须培养和提高学生分析问题 解决问题的能力 笔者经过多年的教学与实践 认 为在数学解题的过程中 有三个关键点 即解题的 切入点 调节点与反思点值得关注 下文将就此展 开论述 并求教于方家 1 数学解题首先应注意寻觅适当的切入点 万事开头难 良好的开头常是成功的一半 说 的都是开头的重要 而要开好头关键就是要找准思 维起点 解题更是这样 许多时候常在解题一开始 未找准思维起点 从而不是出错 就是繁琐 但如果 我们能在解题一开始就找准思维起点 再加上科学 思维和合理运算 推理 常能缩短解题长度 使问题 解决得干净利落 简洁明了 那么 怎样才能找准解 题思维起点 即解题的切入点呢 一般而言 应该先 根据题目的条件和结论进行模式识别 差异分析和 题目信息的转换 活用等思维活动 以便捕捉到问 题的本质特征 进而寻求解题突破 另外 由于 一 个概念或一个问题在同一个体 不同个体中完全可 能具有不同的心理表征 它们分别突出了对象的某 些 而不是全部 性质 而且 在不同的时刻或场合 所得到 激活 的通常又只是这些不同心理表征中 的某一个 于是涉及到具体数学问题的解题切入 点便可能呈现出多姿多彩的特色 为说明这一点 下举一例加以说明 例1 证明 如果 x x 2 1 y y 2 1 1 那么x y 0 分析1 利用函数的单调性知识为切入点 令f x x x 2 1 则可证明 f x 在R上 为增函数 由已知可得x x 2 1 y y 2 1 即 f x f y 故x y 即x y 0 分析2 利用方程知识为切入点 设s x x 2 1 t y y 2 1 则s t分 别是方程s 2 2xs 1 0 t 2 2yt 1 0的一个 正根 由题设可知 s t 1 又由上述方程可得 s 2x 1 s 0 t 2y 1 t 0 于是就有 s t 2 x y 1 s 1 t 0 所以s t 2 x y s t s t 0 将s t 1代入该式即得结论x y 0 分析3 利用三角知识为切入点 令x tan y tan 2 2 则 tan tan2 1 tan tan2 1 1 故 tan sec tan sec 1 切割化弦并整理得 1 cos sin sin 0 则sin 2 sin 2 cos 2 0 易得 sin 2 0 则sin 0 数学通报2007年 第46卷 第12期 7 所以x y tan tan sin cos cos 0 故 命题得证 分析4 利用等比数列知识为切入点 由条件可知x x 2 1 1 y y 2 1成等 比数列 设x x 2 1 1 q q 0 得x 2 1 1 q x 两边平方并化简得q 2 2qx 1 0 同理可得 q 2 2qy 1 0 两式相减得2q x y 0 又q 0 故x y 0 分析5 利用等差数列知识为切入点 解略 分析6 利用函数的综合知识为切入点 构造函数f x lg x x 2 1 可以证明 此函数在R上是奇函数且单调递增 由条件可得 f x f y lg x x 2 1 lg y y 2 1 lg1 0 则f x f y 即f x f y 又因为 函数 f x 在R上单调递增 故有x y 则命题成立 当然此题亦可采取绝对值运算 分母有理化或 分式运算等技巧为具体的切入点 正如波利亚所 言 一般地说 当问题刚提出时 我们所具有的是 一幅相当简单的画面 解题者看到的问题是一个未 经剖析的 没有细节或只有很少细节的整体 譬如 说 他可能只看到问题的主要部分 未知量 已 知量和条件或假设和结论 但是最后的画面就很不 同了 它是复杂的 充满了添加上来的细节和材 料 以上解题的切入点清楚地表明 面对一个陌生 的问题时 解题者往往事先并没有准备好现成的工 具或方法 而是在直觉选择的基础上 通过联想 化 归与建构的过程来探索解题方法 确定解题切入 点 2 数学解题还应注意监控解题过程中的调节点 当解题者寻觅到适当的解题切入点后 并不能 保证能够顺利地解决此数学问题 这只能说明解题 者通过问题的阅读和理解建构起了最初的 问题空 间 然后随着 问题空间 与来自外部和长时记忆 的信息的 接触 它不断发生了新的变化 即变得 更为丰富和更为精致 最后问题的解决则就取决于 解题者最终能否成功地建构出关于所面临问题的 一个合适的内在表征 因此可见解题者对解题信息 与心理表征进行必要的调节 也即对解题的 调节 点 进行分析和监控 便显得尤为重要 下面以学生 的一道数学问题的部分解题记录的呈现为例加以 说明 例2 已知正数a b c a1 b1 c1 满足条件a a1 b b1 c c1 k 求证 ab1 bc1 ca1 S S S 就有了k 2 ab1 bc1 ca1 真漂亮 老师你说呢 生2 这道题最大的问题还是字母太多了 怎么 才能减少未知数呢 嗯 我想起来了 减少未知数可 用代入消元法加以解决 让我观察一下题目中的式 子有什么特点 好象已知条件的式子中具有某种相 似性 只要考虑一个式子就行了 已知a a1 k 能 不能变形一下 从而找出与已学知识的联系 噢 这 样行了 可得a a1 2 k 2 从而联想到数列 an 等差数列的一个充要条件是an an 2 2an 1 所以 可以这样解 因为a a1 b b1 c c1 k 所以a k 2 a1构成等差数列 故可设a k 2 x a1 k 2 x 2007年 第46卷 第12期 数学通报 8 其中 x k 2 同理可设b k 2 y b1 k 2 y y k 2 c k 2 z c1 k 2 z z 0 字母还 是太多了 想了半天 我证不出来 生3 思索了这么长时间还没有头绪 我记得 教师曾说当没有思路时 要重回条件进行分析 看 样子只能把条件再变形一下子 把k除过去 化成 a k a1 k b k b1 k c k c1 k 1 这好象与刚复习过 的对立事件的概率公式有点相像 显然0 a k b k c k 0的证明时 完全可以采取函数法加以解决 但对此解题途径他当时并未充分认识到 从而导致 解题活动未能圆满完成 最后 尚未形成 灾难性 的后果 但已出现了错误的 迹象 的时刻 这时应 当引起 反省 以作出必要的调整 否则就会导致失 败 如生3在解题时 最后一个表达式分组结合失 当 又没有及时反省 导致发出 这太复杂了 的感 叹 解题活动的结果可想而知 总的来说 所谓的解题 调节点 是指这样的时 刻 此时解题者已经或者应当从 元认知 的高度去 采取行动 由上可见 在解题过程中调节点的运用 折射出解题者对解题信息与大脑中已有的知识脉 络之间的相互转换 沟通的能力 是解题过程中的 又一关键点所在 3 数学解题也应注意审视解题后的反思点 所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后 通过对题目特征 解题思路 解题途径 题目结论 解题中反映出的数学思想方法 特殊问题所包含的 一般意义等方面的概括及反思来进一步显露数学 解题的思维过程 从而开发学习者的解题智慧 以 达到事半功倍 培养学习者思维品质的目的 如果 解题者在运用数学知识解决问题时 缺乏解题后的 反思和回顾 将会导致获得的知识系统性减弱 结 构性趋差 因此 为了提高数学学习效率 必须加强 正确的解题思想 养成反思的习惯 下举一例对常 见的两个反思点加以说明 例3 设O点在 ABC内部 且有OA 2OB 3OC 0 则问 ABC的面积与 AOC的面积的 比为多少 图2 解 如图2 设D E分 别是AC BC边的中点 则 OA OC 2OD 2 OB OC 4OE 故可得OA 2OB 3OC 2 OD 2OE 0 即OD与OE共 线 且OD 2OE 故有S AEC S AOC 3 2 则S ABC S AOC 3 2 2 3 数学通报2007年 第46卷 第12期 9 3 1 反思一题多解 领会数学思想 正如上文所述 由于每位解题者思维的角度 方式 水平等方面的差异 因而解题者的解答往往 图3 呈多样性 这正是数学教 学中丰富的 矿产资源 必须充分发掘利用 并通 过反思加以提炼 以领悟 数学思想的实质 培养解 题者思维的发散性 别解1 条件OA 2OB 3OC 0之所以不 好利用 难在式中的OB OC有两个不为1的系数 如果能消去这两个系数 难关就会迎刃而解 如图3 延长OB至B 使OB 2OB 延长OC 至C 使OC 3OC 则有OA OB OC 0 于 是点O就成为 AB C 的重心 因为S AOC 1 3 S AOC 1 9 S AB C S AOB 1 2 S AOB 1 6 S AB C S BOC 1 6 S B OC 1 18 S AB C 以上三式两端分别相加得 S ABC 1 3 S AB C 故有S ABC S AOC 3 别解2 设A为坐标原点 B x1 y1 C x2 y2 O x3 y3 设 BA C 则 因为S BAC 1 2 AB AC sin 1 2 AB AC 1 cos 2 1 2 AB AC 1 AB AC AB AC 2 1 2 AB 2 AC 2 AB AC 2 1 2 x 1 2 y1 2 x 2 2 y2 2 x 1x2 y1y2 2 1 2 x1y2 x2y1 而由OA 2OB 3OC 0可得 6x3 2x1 3x2 6y3 2y1 3y2 于是有 S AOC 1 2 x2y3 x3y2 1 2 x2 2y1 3y2 6 2x1 3x2 6 y2 1 6 x1y2 x2y1 故有S ABC S AOC 3 3 2 反思问题延伸 挖掘数学内涵 把有些特殊的数学问题 一般化 是挖掘数学 内涵的一种重要方法 也是数学解题反思的一个重 要方面 下面把上例的结论进行推广 可初步得到 如下几个结论 当然如果把O点不仅限于 ABC内 部或扩展到平面四边形 又可得到若干相关结论 不再展开 结论1 设O点在 ABC内部 且有nOA m OB m n OC 0 其中n m 0 则S AOB S BOC S AOC n m n m 结论2 设O点在 ABC内部 且有OA m OB nOC 0 其中n m 0 则S AOB S BOC S AOC n 1 m 结论3 设O点在 ABC内部 且有 OA m OB nOC 0 其中 m n 0 则S AOB S BOC S AOC n m 正如上例一样 有些数学习题从形式上看较为 浅显 但如果在教学中对原形作适当变形 引导学 生作深层次的探究 就能领会到数学的内涵 另外 正如上文所提及到的 数学解题的反思点不仅限于 以上两个方面 限于篇幅 不再赘述 数学解题活动是一个由联想所学知识 运用数 学思想方法 确定解题切入点 监控解题调节点 审 视解题反思点 不断由低级向高级逐步抽象的复杂 的心理过程 因而解题者在解题过程中的思维活动 应逐渐由数学知识 思想方法这些相对具体的层 面 向数学观念 解题策略等更为抽象的层次发展 以使解题者能从更高的观点 更宽的视野 更理性 的