第2章 2.2导数的运算法则习题与补充练习.pdf

1 1 2 2 节 1 1 1 1 主要内容 1 1 1 2 四则法则 2 1 1 3 思考题 符号含义 3 1 1 4 习题 2 2 3 1 1 4 1 4 1 3 1 1 4 2 6 1 反函数求导问题 3 1 1 4 3 8 1 4 1 1 4 4 8 5 4 1 1 4 5 8 8 4 1 1 4 6 8 11 5 1 1 4 7 8 13 5 1 1 4 8 8 15 6 1 1 4 9 8 16 6 1 1 4 10 10 题 1 6 1 1 4 11 10 题 3 提示 复合函数 7 1 1 4 12 11 题 8 1 1 5 小结 8 1 1 6 练习 9 1 1 6 1 讨论可导性 9 1 1 2 2 节节 xxfxf xf axf xf ax x a a a log ln 1 log ln 1 log 1 1 1 主要内容主要内容 1 1 求导法则 四则运算 基本 2 求导法则 四则运算 基本 2 求导法则 反函数求导 难点 3 求导法则 反函数求导 难点 3 求导法则 复合函数求导 链式法则 重难点 求导法则 复合函数求导 链式法则 重难点 4 4 幂指函数求导 抽象复合函数求导 重难点 5 幂指函数求导 抽象复合函数求导 重难点 5 其他技巧 a 其他技巧 a 先化简再求导 b 先化简再求导 b 特别情形的处理 6 特别情形的处理 6 xfy 函数的几种表达形式 1 函数的几种表达形式 1 显函数 2 显函数 2 隐函数 3 隐函数 3 参数方程 8 5 8 11 15 16 基本初等函数 初等函数 四则运算 复合运算 幂指函数求导 隐函数求导 讨论函数的可导性或者求导函数 参数方程 8 5 8 11 15 16 基本初等函数 初等函数 四则运算 复合运算 幂指函数求导 隐函数求导 讨论函数的可导性或者求导函数 xd xdf xf xxfxf dx du du dy dx dy 求导法则的应用注意 求导法则的应用注意 1 观察函数的结构 构成 注意应用 法则 的顺序观察函数的结构 构成 注意应用 法则 的顺序 1 1 2 四则法则四则法则 x xfxxf xf x lim 0 h xfhxf xf h lim 0 1 1 3 思考题 符号含义 思考题 符号含义 x x xf dx xdf xf xf xd xdf xf dx xd fxf 1 1 4 习题习题 2 2 1 1 4 1 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 t tttt t t 1 1 4 2 6 1 反函数求导问题反函数求导问题 1 1 1 xy x y y x yx y x x y xxyln 1 1 1 1 ln 11 x x x xxy x x y 课堂练习 课堂练习 8 11 注意 对此题中的注意 对此题中的 x x y 1 x x y 不可显化 不可显化 2 x x y 是隐函数 是隐函数 3 x x y 是由方程是由方程xxyln 确定的一个函数 映射 确定的一个函数 映射 4 1 1 1 yx yx x x y x x y txey ytxx y 22 确定了确定了 2 个函数 个函数 tyy txx 1 1 4 3 8 1 提示 提示 xxuuy 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 x xx xu uuxx xu 1 1 4 4 8 5 5 lnln ln 32 xy 提示 提示 xppwwvvuuyln ln ln 32 解 解 lnln lnln 1 32 32 x x y ln ln ln ln2 lnln 1 33 32 xx x x x x x 3 3 3 32 ln ln 1 ln ln2 lnln 1 xx x x x lnln3 ln 1 ln ln2 lnln 1 2 3 3 32 x x x xx 2 3 3 32 ln3 ln 1 ln ln2 lnln 11 1 1 4 5 8 8 lnlogxy x 提示 提示 x x y ln ln ln 自上而下 从外向内 自上而下 从外向内 解 x x y ln ln ln 2ln ln ln 1 ln 1 ln 1 x x x x xx 2ln ln ln1 xx x 1 1 4 6 8 11 x ey 1 cos2 错误做法 错误做法 1 1 cos2 1 cos2 xx ey x 出现脱节 少了一次对中变的导数 出现脱节 少了一次对中变的导数 提示 提示 x wwvvuey u 1 cos 2 分析复合函数结构时容易遗漏一些中间变量分析复合函数结构时容易遗漏一些中间变量 x ey x 1 cos2 1 cos2 复合 xx e x 1 cos 1 cos2 1 cos2 复合 xxx e x 1 1 sin 1 cos2 1 cos2 复合 x x e x x xx e x 1 cos 2 1 cos 2 2 2 2 sin 1 sin 1 cos2 1 1 1 4 7 8 13 2 2 1 sin lncot x xx xy 提示 提示 1 cot x 接用公式 接用公式 2 第 第 2 项恒等变形 可少用一次商的法则 项恒等变形 可少用一次商的法则 1lnsin lncsc 222 xxxxy 1 1 1 sin sin 1 csc 2 2 2 2 2 x x xx xx x 2 22 2 2 1 2 2 cos sin sin 1 csc x x xxxx xx x 1 1 4 8 8 15 x xx y 1 1 ln 提示 可先化简再求导提示 可先化简再求导 1 1ln 2 1 1 ln 2 1 1 1 ln 2 1 xxx x xx y 变形中改变了函数的定义域 但结果正确 变形中改变了函数的定义域 但结果正确 2 x xx y 1 1 ln 2 1 1 1 4 9 8 16 aax axa xaay 1 0 aa 解 aax axa xaay 1 lnln aax aaaxxa xaxaaaaa 11 lnlnln aax aaaxxa xaaxaaaaaa 1112 lnln aax aaaxxa xaaxaaa 教材印刷 教材印刷 1 1 4 10 10 题 题 1 10 1 sin sinxfxfy 提示 提示 1 类别 抽象复合函数求导 类别 抽象复合函数求导 2 最外层结构 最外层结构 由外向内 由外向内 从最外层开始 从最外层开始 解 解 sin sinxfxf dx dy 错误 错误 sin sin sin sinxfxfxfxf 没有应用复合函数求导没有应用复合函数求导 正确 正确 sin sin sin sinxfxfxfxf 乘法 乘法 nsi sin sin sin sinxfxfxfxfxxf 2 次复合求导 次复合求导 sin sin nsi sin sin sin sin sin xf xdf xfd xf xf xd xdf xf x 链式法则 链式法则 10 已知已知 xf与与 xg可导 求下列函数的导数可导 求下列函数的导数 dx dy 2 xf x e ef y 提示 最外层为两函数之比提示 最外层为两函数之比 2 v vuvu v u 解 解 2 xf xfxxfx e eefeef y 2 xf xfxxfxx e xfeefeeef xf xxx e xfefeef 注 注 xxx eefef xfee xfxf 1 1 4 11 10 题 题 3 提示 复合函数 提示 复合函数 2 1 22 22 22 xgxf xgxf xgxf 2 2 2 1 22 xgxgxfxf xgxf 1 22 xgxgxfxf xgxf 1 1 4 12 11 题题 1 提示 提示 目标态 只需证明目标态 只需证明 xfxf 初态 已知初态 已知 xfxf xfxf 左端复合函数求导 左端复合函数求导 xfxxf xfxf xfxf 思考 思考 xu xu du udf uf xf xd xdf 1 1 5 小结小结 求导方法小结 求导方法小结 1 观察函数结构 自上而下 由外向内分析函数的构成观察函数结构 自上而下 由外向内分析函数的构成 五种 五种 复合 逐次 层 运用对应结构该用的求导法则计算 复合 逐次 层 运用对应结构该用的求导法则计算 2 其他技巧其他技巧 a 恒等变形恒等变形 ln ln lnxgxf xg xf b ln ln log xg xf xf xg c ln ln xfaxf a d 三角恒等式三角恒等式 3 符号表示符号表示 x x xf dx xdf xf xf xd xdf xf dx xd fxf 4 1 1 6 练习练习 1 1 6 1 讨论可导性讨论可导性 习题精编 p 35 2 2 1 设函数 1 2 1 1 1 arctan 1 2 x x x x xf x 讨论其可导性 解 由22lim lim 0101 x xx xf和0 1 arctan 1 lim lim 2 0101 x xxf xx 知 xf在1 x 处不连续 从而 1 f 不存在 当1 x 且0 x时 2 22 xx xf 2 2ln2 2 xxf x 2 2 2 2ln2 2 x x x 2ln2 2 x x x 0 2ln2 10 2ln2 x x x x 当0 x时 2ln 0 12 lim 0 2ln 0 12 lim 0 0 0 x f x f x x x x 故 0 f 不存在 所以 0 2ln2 10 2ln2 1 22 12 1 1 arctan 1 2 2 2 x x x xx xx x x xf x x 2 2 2设 cos sin 22 xfxfy 求 xd dy dx dy 2 cos 其中f可导 sin cos2 coscossin2 sin 22 xxxfxxxf dx dy cos sin2sin 22 xfxfx 由 cos cos1 22 xfxfy 知 cos1 cos1 cos 22 2 xfxf xd dy sin cos 22 xfxf 幂指函数 xg xf ln xfxg e 0 xf