求定积分的方法.doc

学号20065030262本科毕业论文系（院） 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 姓 名 论文题目 求定积分的若干方法 指导教师 职称 副教授 2010 年5月20日目 录摘 要3关键词3Abstract3Keywords3前言31. 定义法求定积分31.1 定义法31.2 典型例题42. 换元法求定积分52.1 换元积分法52.2 典型例题53. 分部法求定积分83.1 分部积分法83.2 典型例题84. 区间性质求定积分94.1 常见的三种题型94.2 典型例题95. 有理函数求积分115.1 有理函数积分法115.2 典型例题11参考文献13 求定积分的若干方法 摘 要：本文主要考虑定积分的计算方法，对一些常用的方法和技巧进行归纳和总结，主要方法包括定义法、换元积分法、分部积分法等，并对每种方法给出了典型例题关键词：定积分；换元积分法；分部积分法；有理函数积分 Methods of Calculation on Definite IntegralAbstract: In this paper, we study the calculation of definite integral and some usual methods and techniques for computation and described. The chief methods include definition integration, act-for-Yuan integration, and integration by parts and so on. So, different subjects should use different calculation methods in order to simplify the calculation.Key Words: definite integral；act-for-Yuan integration；integration by parts； integral rational function前言 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造一个定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有好的方法和技巧本文主要以求解定积分的各种方法为主线，对其分别概述，举例，并加以分析说明，从而得出对于不同的题型应当运用合适的方法来解决的结论学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出技巧1 定义法求定积分1.1 定义法已知函数在上可积，由于积分和的极限唯一性，可做的一个特殊分法（如等分法等），在上选取特殊的（如取是的左端点、右端点、中点等），做出积分和，然后再取极限，就得函数在的定积分1.2 典型例题例1 求， 解因为函数在上连续，所以函数在上可积，采用特殊的方法作积分和取，将等分成个小区间,分点坐标依次为 取是小区间的右端点，即，于是，其中，= =将此结果代入上式之中，有从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法2 换元法求定积分2.1 换元积分法换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来简化积分计算的一种积分方法通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，这样可以简化计算设在上连续，满足(1)且； (2)存在并在上可积则上述条件(1)是保证被积函数的取值不致越出积分区间换元的简单情况就是凑微分法，同时，它也是其他方法的基础和优先思路通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应变换积分上下限，这样可以简化计算利用换元法的关键在于选择恰当的变换方式，否则可能使变换后的积分更加复杂，难以计算，然而我们没有一般的原则，只能依据被积函数的特点来确定 2.2 典型例题例2 求解应用定积分换元积分公式设,当时，；当时， 显然，上述计算方法使用定积分换元公式简便，从而体现了换元积分法的优越性例3求解设当时，；当时， 所以，则，所以，则，例4求解设，当时，；当时，例5求解令，当时，；当时，例6 求分析：由于被积函数中同时含有2次和3次根式，为去掉根号作幂函数代换，幂函数取两个根指数的最小公倍数解令 ()，先求不定积分，于是，所以， 由上面的例子可以看出：(1)被积函数分别含有根式()时，为了去掉根号,相应地分别实施弦换法(或)，切换法(或)，割换法(或)，这统称为三角变换法，对三角函数构成的定积分，将区间变换与三角函数诱导公式结合起来，往往是非常有效的，如前面的例，例，例(2)被积函数中含有根式，或同时含有两个根式，时，为了去掉根号相应地作变换=，即，如例，或，即，为与的最小公倍数，如例3 分部法求定积分3.1 分部积分法分部积分法是与微分学中乘积的求导法则相对应的，它需注意积分的上下限，与不定积分的分部积分法相类似.设函数，在上有连续函数，则 称为定积分的分部积分公式.3.2 典型例题例7 求解令，则，根据分部积分法公式，得= 刚看到此题时，我们可能会选择， (则)，此时，我们有，不难看到，上式右端反而比原积分更复杂了(幂函数的次数增大了)，照这样继续做下去是无法得到结果的，因此这种选择不恰当.例8计算解令，则，于是得到 此题不仅用到凑微分法，还用到了偶对称的性质，简化了计算在求积分时，很多情况下往往需要将换元法和分部积分法相结合，至于偏重于哪种方法，要视具体的题目而定.我们在应用分部积分法时，的选择对做题是相当重要的，一般地，如果被积函数是幂函数与指数函数，幂函数与三角函数的乘积，在分部积分时应将幂函数看作，指数函数看作，否则会使积分更加复杂.4 区间性质求定积分4.1 常见的三种题型设函数在区间上连续，则有下列积分公式：(1)；(2)当为奇函数时，；(3)当为偶函数时，=2.4.2 典型例题例9计算解 由公式(1)知， 例10 计算分析 此题看起来有些复杂，在做题时首先应把被积函数整理，然后再根据对称区间上定积分公式进行计算.解 将被积函数化简整理,得由于的被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，由公式(2)知=0.所以，=2.例11计算分析 显然被积函数作为偶函数，可根据对称区间上定积分公式进行计算解 由公式(3)知，综上可知，上述三题的解法巧妙之处在于利用了对称区间上积分的性质来简化了计算，在很大程度上减少了工作量，因此，记住这些性质对我们解题是非常有帮助的5 有理函数求定积分5.1 有理函数积分法由于任意一个有理函数通过多项式的除法都能化为一个多项式（包括零）与一个真分式的和，而多项式的积分很容易计算，因此求有理函数积分的重点应放在如何求真分式的积分这一问题据代数学理论，任意一个真分式总可以分解成下面四种部分分式之和的形式：；(AxB)/式中为大于的正整数，因此求真分式的积分有下列两个步骤：一是将真分式分解为上述四种部分分式的和；二是求相应上述部分分式的积分5.2 典型例题例12求解 先求不定积分：=4=4-=2-=-对于，令，得=因此，虽然求有理函数的定积分总可以按照上述程序进行, 但在积分时仍要依据被积函数的特点, 如果有简便的积分方法, 未必一定都按上述程序的每一个步骤执行, 要和其他积分方法结合起来综合使用.我们已经学习了多种计算定积分的方法, 那么面对如何合理地利用这些积分方法呢?首先看积分区间, 如果是对称区间, 就利用对称区间上积分的性质来化简, 接着分析被积函数的特点, 如果是有理函数，就利用有理函数积分法化简, 然后再利用换元积分法和分部积分法并结合牛顿莱布尼茨公式就可以求出定积分的精确值, 而利用定积分的定义求定积分的值时, 除了几个特殊的情况需要求积分和而比较困难, 一般很少用.参考文献1刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义M上册北京，高等教育出版社2003.7.2刘坤林，谭泽光大学数学M清华大学出版社2001.7.3王绵森，马知恩工科数学分析基础M上册北京，高等教育出版社2002.1.4张银生，安建业实用积分法M中国人民大学出版社2002.7.5陈兰祥高等数学典型题精解M北京，学苑出版