鸽笼原理毕业论文-经典.doc

材材 料料 清清 单单 一 毕业论文 二 毕业设计任务书 三 毕业设计开题申请表 四 毕业设计开题报告正文 声声 明明 本人 丰海娟 学号10505039 系数学与应用数学学院数 学与应用数学专业1001班学生 所做论文内容主体均为原创 无任何抄袭 剽窃他人劳动成果的行为 如有发现此类行为 本人愿意为此承担一切道义及法律责任 特此声明 学生签名 年 月 日 抽屉原理及其应用抽屉原理及其应用 姓名 专业 数学与应用数学 学号 指导老师 摘摘 要 要 抽屉原理是数学中的重要原理抽屉原理是数学中的重要原理 在解决数学问题时有非常重要的作用在解决数学问题时有非常重要的作用 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用 本文着重从抽屉的本文着重从抽屉的 1 构造方法 构造方法 等分区间 分割图形 利用等分区间 分割图形 利用 对称性对称性 用整数用整数 性质 利用染色和根据问题的需要性质 利用染色和根据问题的需要阐述抽屉原理在高等数学和阐述抽屉原理在高等数学和 初等数学 竞赛题 中的应用初等数学 竞赛题 中的应用 同时指出了它在应用领域中的不同时指出了它在应用领域中的不 足之处足之处 抽屉的构造有一定的难度抽屉的构造有一定的难度 这就要求我们必须要求有一这就要求我们必须要求有一 定的数学功底定的数学功底 甚至复杂的需要大量的演算甚至复杂的需要大量的演算 因此抽屉原理不能因此抽屉原理不能 充分的运用到我们日常生活中去充分的运用到我们日常生活中去 关键词关键词 抽屉原理 抽屉原理 高等数学高等数学 初等数学初等数学 The principle of drawer and its application Abstract Drawer principle is the important principle of mathematics in solving mathematical problems has a very important role All forms of drawer principle in Higher Mathematics and elementary mathematics is often used This article emphatically from the drawer construction methods equal interval segmentation graph using the symmetry with properties of the integers using staining and according to problems on the drawer principle in Higher Mathematics and Elementary Mathematics contest application and points out that it is in the field of application of the deficiencies drawer structure has certain difficulty this asks we must have some math skills even complex requires a large amount of calculation therefore the drawer principle can not full use of our daily life Key Words the principle of drawer advanced mathematics primary mathematics 2 目目 录录 1 抽屉原理抽屉原理 1 1 1 抽屉原理的简单形式 1 1 2 抽屉原理的加强形式 2 2 抽屉原理的应用抽屉原理的应用 4 2 1 抽屉的构造 4 2 2 抽屉原理在数学解题中的应用 10 3 抽屉原理在生活中的应用抽屉原理在生活中的应用 14 3 1 月黑穿袜子 14 3 2 手指纹和头发 14 3 3 电脑算命 15 4 总结总结 15 参考文献参考文献 16 致致 谢谢 17 前言前言 抽屉原理又叫做鸽巢原理 指的是一件简单明了的事实 为数抽屉原理又叫做鸽巢原理 指的是一件简单明了的事实 为数 众多的鸽子飞进为数不多的巢穴里 则至少有一个巢穴飞进了两只众多的鸽子飞进为数不多的巢穴里 则至少有一个巢穴飞进了两只 或者更多的鸽子 其实有关于抽屉原理 鸽巢原理 的阐释 粗略或者更多的鸽子 其实有关于抽屉原理 鸽巢原理 的阐释 粗略 3 的说就是如果有许多物体放进不足够多的盒子内 那么至少有一个的说就是如果有许多物体放进不足够多的盒子内 那么至少有一个 盒子被两个或多个盒子占据 抽屉原理在我们日常生活中已经运用盒子被两个或多个盒子占据 抽屉原理在我们日常生活中已经运用 的比较广泛了的比较广泛了 它往往和我们数学结合在一起为我们日常生活带来了它往往和我们数学结合在一起为我们日常生活带来了 不小的便利 我将主要叙述一下抽屉原理的具体的形式 构造方法不小的便利 我将主要叙述一下抽屉原理的具体的形式 构造方法 以及他在我们生活中的一些具体的应用 希望大家能对抽屉原理有以及他在我们生活中的一些具体的应用 希望大家能对抽屉原理有 一个更加清晰的了解并能运用到我们的日常生活中去 一个更加清晰的了解并能运用到我们的日常生活中去 1 1 1 1 抽屉原理的简单形式抽屉原理的简单形式 抽屉原理的最简单的形式如下 定理定理 1 1 鸽巢原理鸽巢原理 组合数学组合数学 如果如果个物体放进个物体放进个盒子 那么至少有个盒子 那么至少有1n n 一个盒子包含两个或更多的物体 一个盒子包含两个或更多的物体 证明证明 用反证法 如果 用反证法 如果个盒子中每个盒子至多放一个物体 则放入个盒子中每个盒子至多放一个物体 则放入个个nn 盒子中的物体总数至多为盒子中的物体总数至多为个 这与假设有个 这与假设有个物体矛盾 从而定理得证 个物体矛盾 从而定理得证 n1n 注意 无论是抽屉原理还是它的证明 对于找出含有两个或更多物体的盒 子都没有任何帮助 我们只是简单断言 如果人们检查每一个盒子 那么他们 会发现有的盒子 里面放有多于一个的物体 抽屉原理只是保证这样的盒子存 在 因此 无论何时抽屉原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性 除了 考察所有的可能性外 它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指 示 还要注意 抽屉原理的结论不能被推广到只存在个 或更少 物体的情n 形 这是因为我们可以把不同的物体放到个盒子的每一个中去 当然 在这n 些盒子中可以这样分发物体 一个盒子放入两个物体 但对任意分发这是没有 保证的 抽屉原理只是断言 在个盒子中去论如何分发个物体 总不能n1n 避免把两个物体放进同一个盒子中去 还存在一些与抽屉原理相关的其它原理 有必要正式叙述如下 1 如果将个物体放入个盒子并且没有一个盒子是空的 那么每个盒子nn 恰好包含一个物体 2 如果将个物体放入个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体 那nn 么每个盒子里有一个物体 现在把所阐明的这三个原理更抽象的表述为 4 令和是两个有限集 并令是一个从到得函数 XY fXY XY 1 如果的元素多于的元素 那么就不是一对一的 XYf 2 如果和含有相同个数的元素 并且是映上的 那么就是一对XYff 一的 3 如果和含有相同个数的元素 并且是一对一的 那么就是映上XYff 的 1 2 1 2 抽屉原理的加强形式抽屉原理的加强形式 下列定理包含定理下列定理包含定理 2 2 作为它的特殊情形 作为它的特殊情形 定理定理 2 2 鸽巢原理鸽巢原理 组合数学组合数学 设设为正整数 如果将为正整数 如果将 12 n q qq 个物体放入个物体放入 个盒子内 那么 或者第一个盒子个盒子内 那么 或者第一个盒子 12 1 n qqqn n 至少含有至少含有个物体 或者第二个盒子至少含有个物体 或者第二个盒子至少含有个物体 个物体 或者 或者 1 q 2 q 第第 个盒子至少含有个盒子至少含有个物体 个物体 n n q 证明证明 设将 设将个物体分放到个物体分放到 个盒子中 如果个盒子中 如果 12 1 n qqqn n 对于每个对于每个 第 第 个盒子含有少于个盒子含有少于个物体 那么所有盒子个物体 那么所有盒子12 in i i q 中的物体总数不超过中的物体总数不超过 1212 111 nn qqqqqqn 该数比所分发的物体总数少该数比所分发的物体总数少 1 1 因此我们断言 对于某一个 因此我们断言 对于某一个 第 第 个盒子至少包含个盒子至少包含个物体 个物体 12 in i i q 注意 能够将注意 能够将个物体用下面的方法分到个物体用下面的方法分到 个盒个盒 12n qqqn n 子中 对所有的子中 对所有的第第 个盒子都不能含有个盒子都不能含有个或更多的物体 个或更多的物体 12 in i i q 我们可以通过将我们可以通过将个物体放入第一个盒子 将个物体放入第一个盒子 将个物体放入第个物体放入第 1 1q 2 1q 二个盒子等来实现 抽屉原理的简单形式是由其强化形式的通过使二个盒子等来实现 抽屉原理的简单形式是由其强化形式的通过使 得到的 由此得到的 由此 12 2 n qqq 有有 12 1211 n qqqnnnn 在初等数学中抽屉原理的加强形式最常用于都等于同一个整数 12 n q qq 的特殊情况 在这种情况下 该定理叙述如下 r 5 推论推论 1 1 如果如果个物体放入个物体放入 个盒子中 那么至少有一个盒子中 那么至少有一 11n r n 个盒子含有个盒子含有 个或更多的物体 等价的 个或更多的物体 等价的 r 推论推论 2 2 如果如果 个非负整数个非负整数的平均数大于的平均数大于 n 12 n m mm 1r 12 1 n mmm r n 那么至少有一个整数大于或等于那么至少有一个整数大于或等于 r 这两种表述之间的联系可以通过取这两种表述之间的联系可以通过取个物体并放入个物体并放入 个个 11n r n 盒子中得到 对于盒子中得到 对于 令 令是第是第 个盒子中的物体个数 于个盒子中的物体个数 于12 in i mi 是这是这个数个数的平均数为的平均数为m 12 n m mm 12 1 11 1 n mmmn r r nnn 由于这个平均数大于由于这个平均数大于 故而有一个整数 故而有一个整数至少是至少是 换句话说 换句话说 1r i mr 这些盒子中有一个盒子至少含有这些盒子中有一个盒子至少含有 个物体 个物体 r 推论推论 3 3 如果如果 个非负整数个非负整数的平均数小于的平均数小于 n 12 n m mm1r 12 1 n mmm r n 那么至少有一个整数小于那么至少有一个整数小于 1r 推论推论 4 4 如果如果 个非负整数个非负整数的平均数至少等于的平均数至少等于 n 12 n m mmr 那么这那么这 个整数个整数至少有一个满足至少有一个满足 n 12 n m mm i mr 推论推论 5 5 个物体放入个物体放入 个盒子中 则至少有一个盒子中有不个盒子中 则至少有一个盒子中有不mn 少于少于个物体 个物体 1 1 m n 注 符号注 符号表示不超过实数表示不超过实数 的最大整数 的最大整数 xx 证明 证明 反证法 若不然 则每一个集合中最多有 反证法 若不然 则每一个集合中最多有个物个物 1m n 6 体 这时 体 这时 个盒子中就最多有个盒子中就最多有个物体 个物体 n 1m n n 因为因为 所以 所以 这与 这与 11mm nn 11 1 mm nnmm nn 已知条件已知条件个物体放入个物体放入 个盒子中矛盾 故上述推论成立 个盒子中矛盾 故上述推论成立 mn 抽屉原理的形式比较多变 在具体的应用中也会有不同的变化 抽屉原理的形式比较多变 在具体的应用中也会有不同的变化 但本质上都是一样的 但本质上都是一样的 上述定理及推论的证明均采用反证法 这种证明方法对于证明元上述定理及推论的证明均采用反证法 这种证明方法对于证明元 素个数多于抽屉个数的问题时有其普遍意义 素个数多于抽屉个数的问题时有其普遍意义 平均重叠原则平均重叠原则 把一个量 把一个量任意分成任意分成 份 则其中至少有一份 则其中至少有一Sn 份不大于份不大于 也至少有一份不少于 也至少有一份不少于 S n S n 不等式重叠原则不等式重叠原则 若 若 且 且 则 则 a b c dR acbd ab 至少有一个成立 至少有一个成立 cd 面积重叠原则面积重叠原则 在平面上有 在平面上有 个面积分别是个面积分别是 的的n 1 A 2 A n A 图形 把这图形 把这 个图形按任何方式一一搬到某一个面积为个图形按任何方式一一搬到某一个面积为的固定图形的固定图形nA 上去 上去 1 1 如果 如果 则至少有两个有公共点 则至少有两个有公共点 12 n AAAA 2 2 如果 如果 则固定图形中至少有一个点未被盖 则固定图形中至少有一个点未被盖 12 n AAAA 住 住 2 2 抽屉原理的应用 抽屉原理的应用 应用抽屉原理的基本思想是根据不同问题自身特点 洞察问题本质 先弄 清对哪些元素进行分类 再找出分类的规律 即所谓的构造抽屉 构造抽屉是 应用抽屉原理的关键 在介绍抽屉原理的应用之前 本文先用几个具体的例子 来介绍几种常用的构造抽屉的方法 2 1 抽屉的构造抽屉的构造 7 2 1 1 等分区间制造抽屉等分区间制造抽屉 当问题的结论与区间有关时 可等分某个区间 设计出若干个抽屉 例 1 求证 对于任给的正无理数及任意大的自然数 存在一个有 n 理数 使得 k m 1k mmn 证明 把区间 0 1 进行等分 得个小区间nn 11 22 31 0 1 n nn nn nn 由抽屉原理知 这些区间内的个数中 必有两个数落在某一个区间 1n 从而这两个数的差的绝对值小于 1 n 设 则由是正无理数得 1 2 1 i pN in 01 ii pp 所以这个数中 必有 2 个数 不妨设为1n 1 2 1 ii ppin 和 它们的差的绝对值小于 即 11 pp 22 pp 1 n 1212 1 pppp n 设 则 1212 ppmppk 即 1 mk n 1k mmn 上述例子涉及区间问题 把区间 0 1 进行等分 得个小区间 自然nn 就得到了个抽屉 而个数可以作为个物体 此处可以利用抽屉原理n1n 1n 解决问题 2 1 22 1 2 分割图形构造抽屉分割图形构造抽屉 在一个几何图形内有若干已知点 我们可以根据问题的要求把图形进行适 当的分割 用这些分割成的图形作为抽屉 再对已知点进行分类 集中对某一 个或几个抽屉进行进行讨论 使问题得到解决 例 2 在边长为 2 米的正方形内 任意放入 13 个点 求证 必有 4 个 点 以它们为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米 8 1 2 证明 把边长为 2 米的正方形分割成面积为 1 平方米的 4 个小正方形 如 图 1 因为 13 3 4 1 所以由抽屉原理知 至少有 4 个点落在同一个面积为 1 平方米的小正方形内 或边上 以这 4 个点为顶点的四边形的面积总小于或 等于小正方形的面积 即以这 4 个点为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米 注 此例是通过分割图形构造抽屉 将正方形等分成 4 个矩形来制造抽屉 也可以解决本题 如图 2 2 1 32 1 3 利用利用 对称性对称性 构造抽屉构造抽屉 对称性 是数学中常用的处理问题的一种方法 同样 在构造抽屉的过 程中也可以利用 对称性 来解决问题 这种方法不易观察 需要不断的训 练 例 3 九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为 2 3 的两个 四边形 证明 这九条直线中至少有三条经过同一点 证明 如图 设是一条这样的这样的直CD 线 我们再画出这两个梯形的中位线 因这两AB 个梯形有相等的高 所以他们的面积比应等于对 应的中位线长的比 即等于 或者 因 AP PB BP PA 为点有确定的位置 它在正方形一对对边中点P 的连线上 并且 由几何上的对称性 2 3AP PB 这种点共有 4 个 即图中的 已知的九 P Q R S 条适合条件的分割直线中的每一条必须过 这 4 点中的一点 把当成 4 个抽屉 9 条直线当成 9 个物体 P Q R S P Q R S 9 即可看出必有 3 条分割直线经过同一个点 正方形是个比较规则的图形 在正方形中有很多对称关系 对解题减小了 一点难度 2 1 42 1 4 用整数性质制造抽屉用整数性质制造抽屉 当问题与整数性质有关时 我们可以用整数的性质 把题目中的数设计成 一些抽屉 然后用抽屉原理去解 1 划分数组制造抽屉 仔细观察题目中的数 如果题中数据具有一定的规律 可以划分数组构造 抽屉 例 4 从 1 2 3 98 中任取 50 个不同的数 试证 其中必有两个 数 它们之差等于 7 证明 先把所给的 98 个数设计成 49 个抽屉 1 8 2 9 3 10 4 11 21 28 91 98 可以发现每个抽 屉里的两个数之差为 7 从 1 2 3 98 中任取 50 个 就是从这 49 个抽屉中任取 50 个数 由 抽屉原理知 必有一个抽屉中要取出两个数 即这 50 个数中必有两个数 它们 之差为 7 本题的关键就是对这 98 个数进行合理分类 构造抽屉 分类的原则是每个 抽屉中的两个数只差是 7 且抽屉的个数少于任取的数的个数 2 按同余类制造抽屉 把所有整数按照除以某个自然数的余数分为类 叫做的剩余类或同mmm 余类 用 0 1 2 m 1 表示 每一个类含有无穷多个数 在研究 与整除有关的问题时 常按同余类制造抽屉 例 5 任意 10 个自然数中 总有两个数的差是 9 的倍数 证明 要使两个自然数的差被 9 整除 必须使两个自然数被 9 除的余数相 同 于是我们考虑把自然数按除以 9 所得的余数 0 1 2 3 8 进行 分类 也就是 9 个抽屉 根据抽屉原理 任意 10 个自然数中 必有两个数除以 9 所得的余数相同 因此这两个数的差一定是 9 的倍数 10 本题的特点比较明显 很容易想到利用同余类制造抽屉 2 1 52 1 5 利用染色制造抽屉利用染色制造抽屉 我们可以把将物体放入盒子改为用中颜色中的每一种颜色对每一个物体n 染色 此时抽屉原理断言 如果个物体用种颜色涂色 那么必然有两个1n n 物体被染成相同颜色 抽屉原理的加强形式用染色的术语表述就是 如果 个物体中的每一个物体被指定用种颜色中的一种染色 12 1 n qqqn n 那么存在一个这样的 使得第 种颜色的物体至少有个 ii i q 例 6 证明 任意 6 个人中一定有 3 个人互相认识或互相不认识 证明 我们用点依次表示这 6 个人 两者互相认识的 123456 A A A A A A 他们之间用红色线段相连 两者互相不认识的用蓝色线段相连 那么把从出 1 A 发的 5 条线段 放入红 蓝两个抽屉中 根据抽 12 A A 13 A A 14 A A 15 A A 16 A A 屉原理知 一定至少有 3 条线段同色 不妨设线段 都为红 12 A A 13 A A 14 A A 色 考虑线段 分以下两种情况 23 A A 24 A A 34 A A 1 若 都是蓝色 则三角形的三边同为蓝色 23 A A 24 A A 34 A A 234 A A A 如图 3 这就是说三者互不认识 234 A A A 2 若 中至少有一条为红色 不妨设为 如图 23 A A 24 A A 34 A A 23 A A 4 则三角形的三边同为红色 即三者互相不认识 123 A A A 123 A A A A6 A5 A4 A3 A2 A1 A6 A5 A4 A3 A2 A1 3 4 实线表示红色 虚线表示蓝色 总之 任意 6 个人中一定有 3 个人互相认识或互相不认识 11 本题属于利用染色制造抽屉 染色问题的实质是分类 只不过题目以涂色 形式出现 显得直观而已 2 1 62 1 6 根据问题的需要制造抽屉根据问题的需要制造抽屉 例 7 能否在 4 4 的方格表的每个小方格 中分别填上 1 2 3 这 3 个数之一 而使大正方形 方格的每行 每列及对角线上的 4 个数字的和互不 相同 请说明理由 证明 若每格都填数字 1 则 4 个数字之和 最小 其值为 4 若每格都填数字 3 则 4 个数 字之和最大 其值为 12 因为从 4 到 12 之间共有 个互不相同的值作为 9 个抽屉 而 4 行 4 列及 2 条对角线上的各124 19 个数字之和共有个整数值 这样元素的个数比抽屉的个数多 1 根44210 据抽屉原理知 一定至少有两个数值属于同一个抽屉 即不可能使大正方形的 每行 每列及对角线上的各个数字之和互不想同 本题中的抽屉不明显 需要根据问题来进行构造 即找出 4 个数字之和的 最小值和最大值 从而确定抽屉数 本题可推广为 不可能在的方格表的n n 每个方格中分别填上 1 2 3 这三个数之一 而使大正方形方格表的每行 每 列及对角线上的各个数字之和互不相同 但如果在每个方格中分别填上 1 2 3 4 这 4 个数之一 则可以使大正方形方格的每行 每列及对角线上的 各个数字之和互不相同 抽屉原理叙述的内容很简单 但应用起来却比较复杂 主要原因就是必须 找到合适的抽屉 抽屉的构造方法大致可归结为两大类 一类是用分割图形构 造抽屉 一类是用分类的概念构造抽屉 其实质是对对象进行恰当的分类 抽 屉选的好 选的巧 可以得出非常漂亮的结果 抽屉构造的方法很多 上述方 法旨在通过以上例子做到举一反三 下面本文将结合上述方法 简单谈一下抽 12 屉原理在数学解题中以及生活中的应用 2 22 2 抽屉原理在数学解题中的应用抽屉原理在数学解题中的应用 一般地说 用抽屉原理来解决的数学问题有如下特征 新给的元素具有任 意性 如八个苹果放入七个抽屉 可以随意的一个抽屉放几个 也可以让抽屉 空着 问题的结论是存在性命题 题中常含有 至少有 一 定有 不少于 存在 必然有 等词语 其结论只要存在 不必确定 前面的内容已 经介绍了一些常用的构造抽屉的方法 这对我们的解题有很大的帮助 下面将 从代数 数论 几何三方面来谈抽屉原理在数学解题中的应用 2 2 12 2 1 解决代数问题解决代数问题 用集合的语言抽屉原理可以叙述如下 1 设个元素按任意确定方式分成有限个集合 那么至少有一个集合含n 有两个元素 2 设有无穷多个元素按任意确定方式分成有限个集合 那么至少有一个 集合含有无穷多个元素 例 8 证明 有限群中的每个元素的阶均有限 证明 设 G 为阶有限群 任取 a G 则由抽屉原理可知n 中必有相等的 不妨设于是有 231 nn a aaaa 11 st aatsn 从而 a 的阶有限 s t ae 例 9 设 A 为阶方阵 证明 存在n 1 1 AA kk kn 使秩 秩 证明 因为阶方阵的秩只能是这个数之一 而n0 1 2 3n 1n 的个数大于秩 从而 由抽屉原理知在 0121 nn AA AAA 中 存在满足 0121 nn AA AAA k l 使1kln 秩 秩 k A l A 但秩 秩 秩 k A 1k A l A 所以秩 秩 得证 k A 1k A 13 2 2 22 2 2 解决数论问题解决数论问题 在初等数论中 很多问题都可以看作存在性问题 所以可以考虑利用抽屉 原理进行解决 利用抽屉原理解决数论问题时常利用整数的性质制造抽屉 可 参见 2 1 4 例 10 中国余式定理 令 和 为两个互素的正整数 并令 和 mnab 为整数 且 以及 则存在一个正整数 使得 除01am 01bn xx 以 的余数是 并且 除以的余数为 即 可以写成 maxnbx xpma 的同时又可以写成的形式 这里 和 是整数 xqnb pq 证明 为了证明这个结论考虑个整数 n 2 1amamanma 这些整数中的每一个除以都余 设其中的两个除以有相同的余数 令这manr 两个数为和 其中 因此 存在两整数和 使ima jma 01ijn i q j q 得及 这两个方程相减可得 i imaq nr j jmaq nr ji ji mqq n 于是是的一个因子 由于和没有除 1 之外的公因子 因此n ji m nm 是的因子 然而 意味着 也就是说不可nji 01ijn 01jin n 能是的因子 该矛盾产生于我们的假设 个整数ji n 2 1amamanma 中的两个除以有相同的余数 因此这个数中的每一个数除以 n 都有不同的余nn 数 根据抽屉原理 个数中的每一个作为余数都要出现 特别地 n01 1n 数也是如此 令为整数 满足 且使数 除以余数bp01pn xpma n 为 则对于某个适当的 有 bqxqnb 因此且 从而具有所要求的性质 xpma xqnb x 2 2 32 2 3 解决几何问题解决几何问题 抽屉原理在几何问题中可以变形如下 如果长度为的线段上放置若干条a 长度大于之和大于的线段 则放置的线段中必有公共点 a 例 11 在边长为 1 的正方形内部 放置若干个圆 这些圆的周长之和 等于 10 证明 可以作出一条直线 至少与其中四个圆有交点 14 证明 将所有的已知圆投影到正方形的一条边 AB 上 注意 周长为的圆l 周 其投影长为的线段 因此所有已知圆的投影长度之和等于 由于 l 10 所以由抽屉原理知 线段 AB 上必有一点 X 至少被四条投影线 10 33AB 段所覆盖 即至少有四条投影线段有公共点 因此 过点 X 且垂直于 AB 的直线 至少与四个已知圆有交点 2 2 42 2 4 多次顺向运用抽屉原理多次顺向运用抽屉原理 前面所举的例子都知运用了一次抽屉原理 其实在有些应用中 顺向运用 抽屉原理时 必须连续使用多次 才能解决问题 而且每构造一次抽屉都把范 围缩小一些 例 12 求证 在平面内 任意凸五边形的顶点中 必有三点 A B C 使 5 ABC 分析 因为 是凸五边形五个内角大小的平均值 52 1 553 52 5 又是的三等分值 所以此题要用两次抽屉原理 5 52 5 证明 因为平面凸五边形的内角和为 所以由抽屉原理知 至 52 3 少有一个内角不小于 不妨设这个不小于的内角的顶点为 B 与它不相 3 5 3 5 邻的两个顶点为 A C 边 AB CB 把分成三个角 则由抽屉原理知 必有一B 个角不小于 设这个角为 于是 31 535 ABC 5 ABC 2 2 52 2 5 逆向运用抽屉原理逆向运用抽屉原理 有些应用题 运用抽屉原则可归结为 已知和的值 求的最n 1 1 m n m 小值 这种问题可逆向用抽屉原理 并用去解 1xxx 例 13 在平面直角坐标系内 求至少在多少个整点 坐标都是整数的 点 中有 4 个整点 它们两两的中点也是整点 15 解解 由中点坐标公式知 中点为整点的条件是两个端点的对应坐标的奇偶 性相同 因此需要把整点的坐标按奇偶性分类 整点的坐标按整数的奇偶性分成四类 奇 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 设在 x 个整点中至少一类中有 4 个整点 所以 即 1 14 4 x 1 3 4 x 所以 即 所以 x 的最小值是 13 即至少在 13 个整点121 16x 1317x 中 有 4 个整点 它们两两的中点也是整点 2 2 3 3 抽屉原理在生活中的应用抽屉原理在生活中的应用 抽屉原理在日常生活中的应用其实也非常广泛 比如前面提到的例 5 再 如一组多余 366 个人中一定有 2 个人的生日相同 80 个人中至少有 7 个人生在 同一个月等等 这样的例子很多 下面介绍几个有意思的例子 停车场上有 40 辆客车 各种车辆座位数不同 最少 26 座 最多 44 座 那么 在这些客车中 至少有 辆座位是相同的 思路点拨是 已知客车最少 26 座 最多 44 座 可知 40 辆客车中有 26 27 28 44 共 19 种不同座位数的 客车 根据抽屉原理 把 19 种座位看做 19 只 抽屉 把 40 辆客车当作 40 只 苹果 放进抽屉里 因为 40 2 19 2 可知在这些客车中至少有 3 辆客车座位是相同 的 3 抽屉原理在生活中的应用抽屉原理在生活中的应用 3 13 1 月黑穿袜子月黑穿袜子 有一个晚上你的房间的点灯忽然坏了 伸手不见五指 而你又要出去 于 是你就摸底下的袜子 你有三双分别为红 白 蓝颜色的袜子 可是你平时做 事随便 一脱袜子就乱丢 在黑暗中不知道哪一双是颜色相同的 你想拿最少 数目的袜子出去 在外面借街灯配成颜色相同的一双 这最少数目应该是多少 运用抽屉原理 你就会知道只拿出去四只袜子就行了 因为我们有三双红 16 白 蓝的袜子 相当于 3 个抽屉 我们拿出去的 4 只袜子就是 4 个物体 4 个 物体肯定有 2 个是同一个颜色的 3 23 2 手指纹和头发手指纹和头发 据说世界上没有两个人的手指纹是一样的 因此警方在处理犯罪问题时很 重视手指纹 希望通过手指纹来破案或检定犯人 可是在 13 亿中国人当中 最 少有两个人头发是一样多的 这是因为 人的头发数目是不会超过 13 亿这么大的数目 假定人最多有 N 根头发 现在我们编上号码 其中表示由 根头发的那些 1234 n A A A AA i Ai 人 现在假定每个都有一个人 那么还剩下 13 亿减 N 个人 这数目不会 i A 等于零 我们现在随便挑一个放进和他头发相同的小组就行 他就会在里面遇 到和他有相同头发数目的人了 3 33 3 电脑算命电脑算命 电脑算命 看起来挺玄乎 只要你报出自己出生的年 月 日和性 别 一按按键 屏幕上就会出现所谓性格 命运的句子 据说这就是你的 命 这是科学的吗 如果以 70 年算 按出生的年 月 日 性别的不同组合数应为 我们把它作为抽屉数 我国现有人口 13 亿 我们把它作70 365 251100 为物体 由于 由抽屉原理 存在 25441 个以上的人 9 1 3 101 125441 51100 尽管他们的出身 经历 天资 机遇各不相同 但他们却有完全相同的 命 这真是荒谬绝伦 所谓 电脑算命 不过是把人为编好的算命语句像中药柜那样事先分别一 一存放在各自的柜子里 谁要算命 即根据出生的年 月 日 性别的不同的 组合按不同的编码机械地到电脑上的各个 柜子 里取出所谓命运的句子 其 实这充其量不过是一种电脑游戏而已 抽屉原理应用其实非常广泛 除了之前介绍的几个例子之外 抽屉原理在 计算机上也有一定的应用 由于涉及一些计算机专业问题 本文不再详细介 17 绍 4 总结 总结 抽屉原理叙述起来比较简单 因此本文将重点放在了抽屉原理的应用 尤 其是构造抽屉的几种方法 这是灵活应用抽屉原理的关键 从上面的例子中 我们可以看到应用抽屉原理时一般分为三个步骤 1 构成分类的对象有个元素 m 2 找出分类的规