函数经典题目答案.doc

1.如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点D关于直线对称的点的坐标；yxOABC（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标解：抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点， 0=a-b-4a4=-4a，解之得：a=-1，b=3，y=-x2+3x+4；（2）点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，把D的坐标代入（1）中的解析式得m+1=-m2+3m+4，m=3或m=-1，m=3，D（3，4），y=-x2+3x+4=0，x=-1或x=4，B（4，0），OB=OC，OBC是等腰直角三角形，OC=OB，CBA=45设点D关于直线BC的对称点为点EC（0，4）CDAB，且CD=3ECB=DCB=45E点在y轴上，且CE=CD=3OE=1E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；2已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B(1)、抛物线的解析式；(2)、点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：(3)、点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由1)点A在B(1,0)的左侧,则点C与Y轴负半轴相交;OB=1,OC=3OB=3,则:点C为(0,-3).所以：-3=-c；即c=3.0=a+3a-c=4a-3,a=0.75故抛物线为：y=0.75x2+2.25x-3.2)y=0时，0.75x2+2.25x-3=0,x=-4或1；即点A为(-4,0),OA=4.设点D为(m,0.75m2+2.25m-3),则m0,0.75x2+2.25x-30.S(ABCD)=SAOD+SOCD+SBOC,即：S(ABCD)=4*0.75x2+2.25x-3/2+3*m/2+1*3/2=4*(-0.75x2-2.25x+3)/2+3*(-m)/2+3/2=(-1.5)*(m+2)2+13.5则当m=-2时，S四边形ABCD有最大值；最大值为13.5;3)若以A、P、E、C为顶点的四边形为平行四边形：(1)当点P在第三象限时(如图),且AEPC:由对称性可知,点P1为(-3,-3);(2)当点P在第二象限时(如图),且ACPE:作P2M垂直X轴于点M,易知RtP2MARtCOE2(HL),则P2M=CO=3;把Y=3代入Y=0.75x2+2.25x-3,X=(-341)/2.所以,此时:点P2为(-3-41/2,3);(3)当点P在第一象限时(如图),且ACPE:作P3N垂直X轴于N,易知RrP3NE3RtCOA,P3N=CO=3;由(2)可知，此时点P3为(-3+41/2,3).3、（09福建宁德）（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标（5分）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）分析：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P的为（-2，-5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a= 59；（2）抛物线C1绕点B旋转180后得到抛物线C2，故可设抛物线C2的解析式为：y=a（x-4）2+5，又抛物线过点B（1，0），代入即可求出答案；（3）根据抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PHx轴于H，作NGx轴于G，作PKNG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可当2PNF=90时，PN2+NF2=PF2，解得m= 443，即Q点坐标为（ 193，0）；当PFN=90时，PF2+NF2=PN2，解得m= 103，Q点坐标为（ 23，0），PNNK=10NF，所以NPF90综上所得，当Q点坐标为（ 193，0）或（ 23，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形解答：解：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得，顶点P的为（-2，-5），（2分）点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（x+2）2-5，解得，a= 59；（4分）（2）抛物线C2是由抛物线C1绕点B旋转180得到的，P点坐标为（-2，-5）顶点M的坐标为（4，5）设抛物线C2的解析式为：y=a（x-4）2+5，又抛物线C2过点B（1，0），代入B点解得：a=- 59，故C2的解析式为：y=- 59（x-4）2+5（3）抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到，顶点N、P关于点Q成中心对，点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），（9分）作PHx轴于H，作NGx轴于G作PKNG于K，旋转中心Q在x轴上，EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，（10分）2PNF=90时，PN2+NF2=PF2，解得m= 443，Q点坐标为（ 193，0）当PFN=90时，PF2+NF2=PN2，解得m= 103，Q点坐标为（ 23，0）PNNK=10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（ 193，0）或（ 23，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形（13分）点评：本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要利用直角三角形的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用勾股定理作为相等关系求解4、（09广东深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.BAOyx（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由。（分析：（1）根据A点坐标，可得到OA、OB的长，过B作BDx轴于D，由于OBD=60，通过解直角三角形，即可求得B点的坐标；（2）根据A、O、B三点坐标，即可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；（3）由于A、O关于抛物线的对称轴对称，若连接BA，那么直线BA与抛物线对称轴的交点即为所求的C点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线的对称轴方程即可求出C点的坐标解答：解：（1）过B作BDx轴于DA（-2，0），OA=OB=2RtOBD中，BOD=60，OB=2，OBD=30，OD=1，BD= 3故B（1， 3）；（2分）（2）设抛物线的解析式为y=a（x-0）（x+2），代入点B（1， 3），得a= 33，（3分）因此y= 33x2+ 233x；（5分）（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=-1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小；设直线AB为y=kx+b，所以 k+b=3-2k+b=0，解得 k=33b=233，因此直线AB为y= 33x+ 233，（7分）当x=-1时，y= 33，因此点C的坐标为（-1， 33）（8分）5.如图，抛物线yax2bxc的交x轴于点A和点B(2，0)，与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的解析式；(2)若过点(0，5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；(3)当0x时，(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由AOBCyx1x（1）本题的关键是求出A、B、C三点的坐标根据抛物线对称轴的解析式和B点坐标可得出A点的坐标，也就可得出OA的长，根据OC=2OA，可求出C点的坐标，已知了A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本题要先求出M、N两点的坐标，进而求出MN的长，由于要求的是平行四边形的面积，因此只需知道MN的长和P点与M点纵坐标差的绝对值，然后根据平行四边形的面积求法即可得出S，y的函数关系式；（3）先将（2）得出的函数关系式中的y值用x表示出来，然后根据函数的性质和自变量的取值范围求出S的最大值解答：解：（1）抛物线的对称轴x=1，B（-2，0）A（4，0），OA=4OC=2OA=8，即C点坐标为（0，-8）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）由于抛物线过C点，则有a（0+2）（0-4）=-8，即a=1因此抛物线的解析式为y=（x+2）（x-4）=x2-2x-8；（2）当y=-5时，x2-2x-8=-5，解得x=3，x=-1M、N的坐标分别为（3，-5），（-1，-5）MN=4S=4|y+5|；（3）由于0x 103，此时y0，且P与M、N不重合，因此可分两种情况进行讨论：当0x3时，S=4（-5-y）=4（-5-x2+2x+8）=4（-x2+2x-1+4）=-4（x-1）2+16，Smax=16；当3x 103时，S=4（5+y）=4（x2-2x-3）=4（x-1）2-16，由于抛物线开口向上，且对称轴为x=-1，因此当x= 103时，Smax= 529因此存在平行四边形的最大值，且最大值为166（本题满分14分）如图，四边形ABCD中，ADCD，DABACB90，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E（1）求证：ABAFCBCD；（2）已知AB15 cm，BC9 cm，P是射线DE上的动点设DPx cm（），四边形BCDP的面积为y cm2求y关于x的函数关系式；ABCDEFP当x为何值时，PBC的周长最小，并求出此时y的值证明：（1），DE垂直平分AC，,DFADFC 90，DAFDCFDABDAFCAB90，CABB90，DCFDAFB2分在RtDCF和RtABC中，DFCACB90，DCFB，DCFABC-3分，即ABAFCBCD-5分（2）解：AB15，BC9，ACB90，（）-9分BC9（定值），PBC的周长最小，就是PBPC最小由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，PB+PCPB+PA，故只要求PB+PA最小显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小此时DPDE，PB+PAAB由（1），得DAFABCEFBC，得，EF=AFBCADAB，即69AD15AD10 RtADF中，AD10，AF6，DF8当时，PBC的周长最小，此时-14分7.如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0t时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答过程分析：（1）在y= 118x2- 49x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BCx轴，可得点C的纵坐标为-10由-10= 118x2- 49x-10可求C，由y= 118x2- 49x-10= 118（x-4）2- 989可求抛物线的顶点坐标（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA，故只要QC=PA即可求解（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0t4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合由QCOP，可得 QDPD= CDOD= QCOP= t4t= 14同理QCAF， QCAF= CEAE= CDOD= 14，即 tAF= 14代入三角形的面积公式SPQF= 12PFOB（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t（0，4.5）从而有PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100，FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100分若FP=FQ若QP=QF，若PQ=PF分别进行求解解答：解：（1）在y= 118x2- 49x-10中，令y=0，得x2-8x-180=0解得x=-10或x=18，A（18，0）（1分）在y= 118x2- 49x-10中，令x=0，得y=-10B（0，-10）（2分）BCx轴，点C的纵坐标为-10由-10= 118x2- 49x-10得x=0或x=8C（8，-10）（3分）y= 118x2- 49x-10= 118（x-4）2- 989抛物线的顶点坐标为（4，- 989）（4分）（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA，故只要QC=PA即可QC=t，PA=18-4t，t=18-4t解得t= 185（6分）（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0t4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合QCOP， QDPD= CDOD= QCOP= t4t= 14同理QCAF， QCAF= CEAE= CDOD= 14，即 tAF= 14AF=4t=OPPF=PA+AF=PA+OP=18（8分）SPQF= 12PFOB= 121810=90PQF的面积总为定值90（9分）（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t（0，4.5）PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100即25（t+2）2=224，（t+2）2= 224250t4.5，2t+26.5，t+2= 22425= 4145t= 4145-2（11分）若QP=QF，则（5t-8）2+100=（5t+10）2+100即（5t-8）2=（5t+10）2，无0t4.5的t满足（12分）若PQ=PF，则（5t-8）2+100=182即（5t-8）2=224，由于 22415，又05t22.5，-85t-814.5，而14.52=（ 292）2= 8414224故无0t4.5的t满足此方程（13分）注：也可解出t= 8-41450或t= 8+41454.5均不合题意，故无0t4.5的t满足此方程综上所述，当t= 4145-2时，PQF为等腰三角形（14分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为（0，2），AB=4（1）求抛物线的解析式；（2）若SAPO= 32，求矩形ABCD的面积 解：（1）由题意得，B点坐标为（4，2）将点A（0，2），B（4，2）代入二次函数解析式得： 2=c2=42+4b+c解得： b=-4c=2抛物线的解析式为y=x2-4x+2（2）由SAPO= 32可得： 122|xp|= 32xp= 32（负舍）将xp= 32代入抛物线解析式得：yP=- 74过P点作垂直于y轴的垂线，垂足为EDEPDAB 324=AD-2-74AD解得：AD=6S矩形ABCD=24 如图，已知抛物线yx2bxc经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB4(1)求抛物线的解析式；(2)若SAPO，求矩形ABCD的面积 解：（1）直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后，过两点B，C从而可设直线BC的方程为y=kx+3令x=0，得C（0，3）又B（3，0）在直线上，0=3k+3k=-1（2）由（1），直线BC的方程为y=-x+3又抛物线y=x2+bx+c过点B，C c=39+3b+c=0解得 b=-4c=3抛物线方程为y=x2-4x+3（3）由（2），令x2-4x+3=0得x1=1，