1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件.ppt

要点梳理1 命题的概念在数学中用语言 符号或式子表达的 能够 的陈述句叫做命题 其中 的语句叫真命题 的语句叫假命题 1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 基础知识自主学习 判断真 假 判断为真 判断为假 2 四种命题及其关系 1 四种命题 2 四种命题间的逆否关系 若q 则p 逆命题 逆否命题 否命题 3 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 4 特别注意 命题的否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是只否定命题的结论 相同 没有关系 充分条件 必要条件 充要条件 基础自测1 有下列四个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 若ab是无理数 则a b是无理数 的逆命题 其中真命题是 解析 正确 错 错 在 中 令则ab 2是有理数 故 错 2 2010 南通调研 x 1 是 x2 x 的 条件 解析x 1 x2 x x2 xx 1 3 2010 苏锡常镇四市模拟 已知集合A x x 5 集合B x x a 若命题 x A 是命题 x B 的充分不必要条件 则实数a的取值范围是 解析由题意可得A是B的真子集 故a 5为所求 a 5 充分不必要 充分不必要 例1 2010 南京调研 判断命题 若a 0 则x2 x a 0有实根 的逆否命题的真假 解方法一写出逆否命题 再判断其真假 原命题 若a 0 则x2 x a 0有实根 逆否命题 若x2 x a 0无实根 则a 0 判断如下 x2 x a 0无实根 1 4a 0 若x2 x a 0无实根 则a 0 为真命题 典型例题深度剖析 方法二利用命题之间的关系 原命题与逆否命题同真同假 即等价关系 判断 a 0 4a 0 4a 1 0 方程x2 x a 0的判别式 4a 1 0 方程x2 x a 0有实根 故原命题 若a 0 则x2 x a 0有实根 为真命题 又因原命题与其逆否命题等价 所以 若a 0 则x2 x a 0有实根 的逆否命题为真命题 跟踪练习1 2008 广东改编 命题 若函数f x logax a 0且a 1 在其定义域内是减函数 则loga2 0 的逆否命题是 若loga2 0 则函数f x logax a 0且a 1 在定义域内不是减函数 例2 指出下列命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 中选出一种作答 1 在 ABC中 p A B q sinA sinB 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 非空集合A B中 p x A B q x B 4 已知x y R p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 解 1 在 ABC中 A B sinA sinB 反之 若sinA sinB 因为A与B不可能互补 因为三角形三个内角和为180 所以只有A B 故p是q的充要条件 2 易知 p x y 8 q x 2且y 6 显然的充分不必要条件 由原命题和逆否命题的等价性知 p是q的充分不必要条件 3 显然x A B不一定有x B 但x B一定有x A B 所以p是q的必要不充分条件 4 由已知得p x 1且y 2 q x 1或y 2 所以p q但qp 故p是q的充分不必要条件 跟踪练习2 2010 扬州模拟 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 1 p x 2 x 3 0 q x 2 0 2 p 四边形的对角线相等 q 四边形是平行四边形 解 1 x 2 x 3 0 x 2 0 x 2 0 x 2 x 3 0 p是q的必要不充分条件 2 四边形的对角线相等四边形是平行四边形 四边形是平行四边形四边形的对角线相等 p是q的既不充分又不必要条件 例3 2010 威海质检 下列命题 全等三角形的面积相等 的逆命题 若ab 0 则a 0 的否命题 正三角形的三个角均为60 的逆否命题 其中真命题的序号是 把所有真命题的序号填在横线上 跟踪练习3 2009 广东改编 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 解析当两个平面相交时 一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面 故 不对 由平面与平面垂直的判定可知 正确 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面 故 不对 若两个平面垂直 只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直 故 正确 答案 例4 14分 已知抛物线C y x2 mx 1和点A 3 0 B 0 3 求证 抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件是3 m 此类问题的证明应从两方面进行 即证明充分性与必要性 解 必要性由已知得线段AB的方程为y x 3 0 x 3 由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点 所以方程组 有两个不同的实数解 2分 分析 消元得x2 m 1 x 4 0 0 x 3 设f x x2 m 1 x 4 则有解之得3 m 6分 充分性当3 m 时 8分 所以方程x2 m 1 x 4 0有两个不等的实根x1 x2 且0 x1 x2 3 方程组 有两组不同的实数解 综上 抛物线y x2 mx 1与线段AB有两个不同交点的充要条件是3 m 14分 跟踪练习4已知ab 0 求证 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 证明先证必要性 a b 1 即b 1 a a3 b3 ab a2 b2 a3 1 a 3 a 1 a a2 1 a 2 a3 1 3a 3a2 a3 a a2 a2 1 2a a2 0 再证充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b a2 ab b2 a2 ab b2 0 a b 1 a2 ab b2 0 ab 0 即a 0且b 0 a2 ab b2 a b 1 综上可知 当ab 0时 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 高考中以考查充要条件的判断为重点 兼顾考查命题的四种形式及命题的等价性 考查命题转换 逻辑推理能力和分析问题 解决问题的能力 有时以充要条件为载体 通常以填空题的形式出现 思想方法感悟提高 高考动态展望 1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时 必须保留大前提 也就是大前提不动 对于由多个并列条件组成的命题 在写其它三种命题时 应把其中一个 或n个 作为大前提 2 数学中的定义 公理 公式 定理都是命题 但命题与定理是有区别的 命题有真假之