利用函数的定义域培养学生的数学思维品质.doc

利用函数的定义域培养学生的数学思维品质天津市塘沽区中等专业学校戚卫民摘要：本文通过解决一些有关函数定义域的数学问题，如求函数解析式、值域、最值、单调性、奇偶性等，来阐述通过它们来培养学生数学思维品质的广阔性、严密性、灵活性、敏捷性、深刻性、批判性和创造性等。学生的各种思维品质是一个相辅相成，彼此渗透、互相促进、互为补充的整体。在教学过程中，教师应将它们有机地结合起来，有目的有计划地强化思维训练，培养学生良好的数学思维品质。关键词：思维品质、思维的广阔性、严密性、灵活性、敏捷性、深刻性、批判性和创造性、定义域、最值、单调性、奇偶性。正文：思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。数学思维品质则反映了个体间数学思维发展水平的差异，是衡量数学思维的优劣，判断数学能力高低的主要指标。它包括思维的广阔性、严密性、灵活性、敏捷性、深刻性、批判性和创造性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域以及值域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。一、 培养学生数学思维的广阔性思维的广阔性又成为思维的发散性，它包括善于运用多方面知识和经验，从多角度、多层次、全方位考虑问题的思维品质。数学思维的广阔性表现为能捕捉的有效的信息，广泛地进行对比、联想、对各个题目能想出各种不同的解法，即“一题多解”，不但能研究问题本身，而且又能研究相关的其他问题，即“一题多变”。数学需要逻辑、判断、推理等收敛思维，同样需要流畅变通、想象丰富等发散思维。函数的定义域是指自变量的允许值范围，函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如： 例1：求函数y=x+的值域法1：通常此类问题可用判别式求解：原函数变形为：(y-x)2=(2-x) x2-2xy+y2-2+x=0由关于x的二次方程：x2+(1-2y)x+y2-2=0有解=(1-2y)2-41(y2-2)0解得：y 即函数y的值域为(-, 法2：我们换个角度思考问题，换元法是数学中的一大通法，无处不在，考虑到根号的问题可以设t= (x2) x=2-t2 (t0) （这里要注意到t的取值范围）于是：y=2-t2+t= -(t- )2+ (t0)显然：当t= 0、+时，y有最大值 y（-, 例2: 已知f(x)=2x+3(xR)，求f(-3)，f(-2)，f(0)，f(1)，f(2)，f(a)及函数的值域。变式1：已知f(x)=2x+3(xR)（1）当0x2时，求函数的值域；（2）当x-3，-2，0，1，2，3时，求函数的值域.变式2：对函数f(x)=2x+3（1）当函数值域为3，9时，求函数的定义域；（2）当函数值域为5，9，13时，求函数的定义域.变式3：已知f(x)=2x+3，求f(a+1)，f(3x+1)变式4：若f(3x+1)=6x+5，求f(x)的表达式。例3：已知关于的方程有实根，求实数的取值范围。这个题目通过变换，得到以下两个命题：变换1：从函数值域角度考虑原命题等价于“求函数 的值域”。变换2：从解析几何知识，曲线的交点角度考虑，令，原方程化为。则原命题等价于“实数为何值时，圆与抛物线有公共点”。例3的三个命题形式不同，实质是一样的，这种等价性的变换，不但可沟通知识的间的相互联系，起到举一反三，触类旁通的作用，而更重要的是通过采用这种多向思维的训练，培养学生思维的广阔性。从上面3个例题可以看出，数学教学中对学生思维广阔性的培养，一般做法是以问题解决为核心，启迪学生多层次观察、多方位联想、多角度探索、多途径获解。具体而言，逆向思维训练、横向思维训练、以及一题多解和一题多变等作为培养思维广阔性的重要手段，用一题多解培养学生思维的广阔性。二、培养学生数学思维的严密性数学思维的严密性是指思考问题符合逻辑且严密、准确，数学运算准确无误。函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：例4：学校计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为200m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？ 解：设矩形的长为x米，则宽为(100x)米，由题意得： 故函数关系式为：如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于100的数时，S的值是负数或零，即矩形的面积为负数或零，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围： 即：函数关系式为： （ ）这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。三、培养学生数学思维的灵活性思维的灵活性是指对所学的知识、方法的灵活运用。数学思维的灵活性，又称思维的变通性，是指能根据客观条件的变化及时地改变和调整固有的思维形式，摆脱思维定势的影响，从多方面、多角度寻找解决问题的途径。函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：例5：求函数在2，5上的最值 解： 当时，初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。其实这个结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：对称轴 x= 当 时，在上单调递增函数； （见图一） （图一） 当 时，在上单调递减函数； （见图二）（图二） 当 时，在上最值情况是：（见图三） (图三) 即最大值是中最大的一个值。故本题还要继续做下去： -215 函数在2，5上的最小值是-4，最大值是12。学生产生这种错误的根源在于：老师在数学教学中，过分强调解题过程的模式化，就容易使学生形成思维定势，学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。例6：已知02, sin, cos是关于t的方程 t2-yt+x=0的二根，（1） 求点(x,y)所在的曲线方程并画出图形（2） 求该曲线与(2,0)点的最近距离解： x= sincos（1）由韦达定理知 y= sin+cos消去参数得y2-2x=1于是点(x,y)所在曲线方程为y2-2x=1如果做到这完了，说明学生没有考虑正弦和余弦函数的最值情况，思维缺乏严密性，所以应该补上，又x=sincos,x=sin2，由-1sin21，知-x于是点(x,y)所在曲线方程为y2-2x=1(-x)又y2-2x=1即为y2=2（x+ ） (-x)此曲线为以（-，0）为顶点，开口向右的抛物线满足条件-x的一部分（如图四） （图四）（2）设曲线上点(x,y)与(2,0)距离为s，则S2=（x-2）2+y2 =（x-2）2+2x+1 =（x-1）2+4当x=1时，ymin=1,我们知道这个结论错的原因，同样是学生受了思维定势的影响，而没有考虑函数的定义域。应该改为又-x，s2=(x-1)2+4在-，是减函数，当x=时s2取最小值 从而s最小值为 这3个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。四、培养学生数学思维的敏捷性数学思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速性，表现为思考问题时的敏锐快速反应、善于运用直觉思维、善于把问题转换化、善于使用数学模式。判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：例7：判断函数的奇偶性 解： 定义域区间1,3关于坐标原点不对称 函数 是非奇非偶函数 若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论： 函数是偶函数错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。例8：判断函数 的奇偶性。分析：仅考虑与的关系，很难下手，画图象判断更非易事。不妨先从定义域入手。解：由 ，得知的定义域不是关于原点的对称区间，故是非奇非偶函数。首先弄清函数的定义域，不但可以保证解答过程圆满正确，而且起到了化难为易，化繁为简的作用。体现出数学思维的敏捷性。五、培养学生数学思维品质的深刻性数学思维的深刻性，是指在分析问题、解决问题的过程中，能够探求所研究问题的实质，以及问题之间的相互联系。它主要体现在主体善于从复杂的现象中把握事物的本质及规律；善于探索事物间的联系与差异；善于将已有事实变更、推广为更深刻的结果等。函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：例9：指出函数的单调区间解：先求定义域： 函数定义域为 令，知在上时，u为减函数， 在上时， u为增函数。 又 函数在上是减函数，在 上是增函数。即函数的单调递增区间，单调递减区间是。例10:试判断函数 的奇偶性。 错解1：由于得：且定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数。 错解2：因为，所以为非奇非偶函数。 评点：错解1和错解2都忽视了函数的定义域，且对函数的解析式也没有作深入研究，事实上，函数的定义域为 -2，0)(0，2，是关于原点对称的，且 ，从而，,故为奇函数。如果学生在做题时，没有在定义域的区间上分别考虑函数的单调性和奇偶性，就说明学生对函数单调性和奇偶性的概念一知半解，没有理解，或者对概念不求甚解，在做练习或作业时，依样画葫芦，只是对题型，套公式，而不明确解题思路，不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。六、培养学生数学思维品质的批判性思维的批判性是指思维严谨而不疏漏，能准确觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活。数学思维的批判性是指思维活动中，善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的品质。批判性思维是一种实事求是、周到、缜密的思维。 例10：求函数的值域 错解：令 故所求的函数值域是 剖析：经换元后，应有，而函数在0,+)上是增函数， 所以当t=0时，ymin=1 故所求的函数值域是1, +）例11：求函数 的定义域。解：要使函数有意义，则必须且只须满足: ，所求定义域为。 评点：根据中学数学课本中函数的定义，定义域要求为非空数集。因此，以上例题根本不构成一个函数。 一个不具科学性的题目，可能会使学生误入歧途，不利于逻辑思维能力的形成和发展，但只要教师处理得当，及时评点，也能获得良好的教学效果。使学生形成严谨的科学治学态度，而且有助于培养思维的批判性。以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。七、培养学生数学思维的创造性思维的创造性是指利用学过的知识去发现已有知识之间的新关系。数学思维的创造性，是指思维的结果相对于已有的认识成果来说，具有独创性和新颖性。教师可以通过培养学生对数学知识的综合应用、灵活运用的能力来培养思维的创造性。例12、设，且它们的绝对值都不大于1，求证。分析：本题直接证明无从下手，想到构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。证明：构造函数， ，故有，。在定义域上恒为非负，即恒成立。本题求解，若不注意定义域的导向作用，很难下手，定义域为我们指点了解题迷津。例13、解方程：。分析：用常规方法求解，难以奏效。构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。解：考虑函数，定义域为。当x1时，；当时，易证为增函数，故有，原方程的解为x1。运用函数的定义域定向，思路清晰，方法巧妙。巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。例14、设x、y为实数，且 ，试求之值。分析：关键在于由已知等式求出实数x、y的值。把已知等式看作是x的函数，先求出x的取值范围，问题即可迎刃而解。解：x应满足 ，即x1，将其代入已知等式，得y0。故。综上所述，在求解函数函数关系式、最值、值域、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，能提高学生质疑辨析能力，有利于学生思维能力不断提高。进而有利于培养学生思维的创造性。学生的各种思维品质是一个相辅相成，彼此渗透、互相促进、互为补充的整体。