观察、归纳与猜想(含答案)-.doc

观察、归纳与猜想 创造的基石（先阅读，再看例，最后尝试练习）完成时间：建议两天 知识纵横 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的。 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性。 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石。 例题求题【例1】(1)用表示实圆,用表示空心圆,现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下: 问:前2001个圆中,有_个空心圆. (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形数的差为_.(舟山市中考题)思路点拨 (1)仔细观察,从第一个圆开始,若干个圆中的实圆数循环出现,而空心圆的个数不变;(2)每个三角形数可用若干个数表示. 解:(1)667 提示:每9个圆一组中实圆个数循环出现,而空心圆每组3个; (2)(1+2+3+24)-(1+2+3+22)=47.【例2】观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字: 两条直线相交, 三条直线相交, 四条直线相交, 最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6个交点 像这样,10条直线相交,最多交点的个数是( ) A.40个 B.45个 C.50个 D.55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加,最多交点也随着增加,从给定的图形中,探讨每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数的关系,是解本例的关键.解:选B.提示:每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数相同,问题就转化为求1+2+3+9的和.【例3】化简+1 (江苏省竞赛题) 思路点拨 先考察n=1,2,3时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更加明确. 解:原式=102n【例4】古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如如下两行: 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 从左向右数,第1列是甲子,第3列是丙寅,问当第二次甲和子在同一列时,该列的序号是多少? (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解。 解:提示:“甲”在第一行出现的位置是10m+1,m=0,1,2,，“子”在第二行出现的位置是12n+1,n=0,1,2;故“甲”和“子”在同一列时应有10m+1=12n+1,即10m=12n，第二次“甲”、“子”在同列时应是使得10m=12n成立的最小正整数m和n，解得m=6,n=5.【例5】图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图.图顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d) (1)数一数每个图各有多少个顶点,多少条边,这些边围出了多少区域,将结果填入表中(其中(a)已填好). (2)观察表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？ (3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域,试根据(2)中推断出的关系,确定这个图有多少条边? (第七届“华杯赛”决赛试题) 思路点拨 从特殊情况入手,仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键。 解:(1)略；(2)顶点数+区域数-边数=1;(3)1997条.练习1.(1)如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是_.(浙江省绍兴市中考题) （1） （2） (2)观察一列数:3,8,13,18,23,28,依此规律,在此数列中比2000大的最小整数是_. (金华市中考题)2.如图2是2002年6月份的日历.现用一矩形在日历中任意框出4个数,请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系:_.3.下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成. 通过观察可以发现: (1)第4个图形中火柴棒的根数是_.(2)第n个图形中火柴棒的根数是_. (江西省中考题)4.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表,那么当输入数据是8时,输出的数据是( )输入12345输出 A. B. C. D. (重庆市中考题)5.在以下两个数串中: 1,3,5,7,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,1990,1993,1996,1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个 A.333 B.334 C.335 D.336 (“希望杯”邀请赛试题)6.图是一个水平摆动的小正方体木块,图、是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是( ).A.25 B.66 C.91 D.120 (宁波市中考题)7.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,问:这串数的前100个数中(包括第100个数),有多少个偶数? (“华杯”赛试题)8.(1)观察下列各式,你会发现什么规律? 35=15, 而15=42-1, 57=35, 而35=62-1, 1113=143, 而143=122-1, 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_. (济南市中考题)(2)将1,-,-,-按一定规律排成下表:第1行1第2行- 第3行- 第4行 - -第5行 - - 从表中可以看到第4行中,自左向右第3个数是,第5行中从左向右第2个数是-,那么第199行中自左向右第8个数是_,第1998行中自左向右第11个数是_. (“希望杯”邀请赛试题)9.有一列数a1,a2,a3,a4,an,其中 a1=62+1 a2=63+2; a3=64+3; a4=65+4; 则第n个数an=_;当an=2001时,n=_. (江苏省竞赛题)10.一个正方体,它的每一面上写有一个字,组成“数学奥林匹克”.有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示,那么,“学”字对面的字为_. (重庆市竞赛题) （第10题） 11.怎样的两个数,它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+2=22,其实这样的两个数还有很多,例如:3+=3。 (1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗?(2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究.参考答案1.(1)6,(2)2003. 2.a+b=c+d-14或a+c=b+d-2或a+d=b+c 3.13,3n+1 4.C5.B 提示:同时出现在这两串数中的数是11999的整数中被6除余1的数,共有334个.6.C7.提示:观察已经写出的数,发现每三个连续数中恰有一个偶数,在前100项中,第100项是奇数,前99项中有=33个偶数.8.(1)(2n+1)(2n+3)=4(n+1)