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抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 1 页 2020 2 114 16 8 1 椭圆 考纲要求 掌握椭圆的第一 第二定义 椭圆的标准方程 参数方程 椭圆的几何性质 考点回顾 考点回顾 1 椭圆的定义 第一定义 平面内与两定点 F1 F2的距离的和等于定长 定长大于两定点间的距离 的点的 轨迹 其中两定点 F1 F2叫焦点 定点间的距离叫焦距 第二定义 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹 注意 注意 1 椭圆的定义用点集语言叙述 点集 M P PF1 PF2 2a 2a F1F2 点集 M P 0 e 1 的常数 e d PF 2 定义 中的定长大于 F1F2 避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 定义 中的 0 e 1 区别于另两种曲线 2 椭圆的标准方程 1 焦点在 x 轴上 中心在原点 a b 0 1 2 2 2 2 b y a x 焦点 F1 c 0 F2 c 0 其中 22 bac 2 焦点在 y 轴上 中心在原点 a b 0 1 2 2 2 2 b x a y 焦点 F1 0 c F2 0 c 其中 22 bac 注意 注意 在两种标准方程中 总有 a b 0 并且椭圆的焦点总在长轴上 22 bac 两种标准方程可用一般形式表示 Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 当 A B 时 椭 圆的焦点在 x 轴上 A B 时焦点在 y 轴上 3 椭圆的参数方程 sin cos 为中心坐标为参数kh kby hax 4 椭圆的几何性质 对于焦点在 x 轴上 中心在原点 a b 0 有以下性 1 2 2 2 2 b y a x 质 范围 x a y b 对称性 对称轴方程为 x 0 y 0 对称中心为 O 0 0 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 长轴 A1A2 2a 短轴 B1B2 2b 离心率 e 焦距与长轴长之比 a c 准线方程 c a x 2 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 2 页 2020 2 114 16 焦半径公式 P x0 y0 为椭圆上任一点 PF1 a ex0 PF2 a ex0 焦点在 y 轴上 中心在原点 a b 0 的性质可类似的给出 请课后完成 1 2 2 2 2 b x a y 思维 规律 方法 思维 规律 方法 a 两种定义 b 两种标准方程 c 注意分类讨论 d 焦半径的应用 e 利用数形结合 考点训练考点训练 考点 1 椭圆的定义 EG1 设椭圆上的点 P 到右准线的距离为 10 那么点 P 到左焦点的距离等1 36100 22 yx 于 解 由椭圆的第二定义得 点 P 到左焦点的距离等于 12 思维点拨思维点拨 由椭圆的一个短轴端点 一个焦点 中心 O 为顶点组成的直角三角形在求解椭 圆问题中经常用到 B1 1 已知椭圆上的点 P 到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍 则 P 的1 925 22 yx 坐标是 解 设 P x y F1 F2分别为椭圆的左右焦点 由已知椭圆的准线方程为 故 4 25 x PF1 2 PF2 x PF x PF 4 25 4 25 21 故 4 119 x 4 119 12 25 P 思维点拨思维点拨 结合椭圆的第二定义 熟练运用焦半径公式是解题的关键 B1 2B1 2 已知椭圆的焦点是 F1 1 0 F2 1 0 P 为椭圆上的一点 且 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中项 1 求椭圆方程 2 若点 P 在第三象限 且 P F1F2 1200 求 tan F1PF2 解 1 由题设 2 F1F2 PF1 PF2 c 1 2a 4 b 椭圆方程为 31 34 22 yx 2 设 F1PF2 则 PF2 F1 600 由正弦定理并结合等比定理可得到 60sin 120sin sin 0 1 0 221 PFPFFF 60sin 120sin 00 12 PFPF 化简可得 cos1 3sin5 5 3 cos1 sin 2 tan 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 3 页 2020 2 114 16 从而可求得 tan F1PF2 11 35 思维点拨思维点拨 解与 P F1F2有关的问题 P 为椭圆上的点 常用正弦定理或余弦定理 并且 结合 PF1 PF2 2a 来求解 B1 3B1 3 已知点 P 的坐标是 1 3 F 是椭圆的右焦点 点 Q 在椭圆上移动 当1 1216 22 yx 取最小值时 求点 Q 的坐标 并求出其最小值 PQQF 2 1 解 由椭圆方程可知 a 4 b 则 c 2 32 2 1 e 椭圆的右准线方程为 x 8 过点 Q 作 QQ 于点 Q 过点 P 作 PP 于点 P l l 则据椭圆的第二定义知 e QQ QF 2 1 QQQF PQQQPQQF 2 1 2 1 易知当 P Q Q 在同一条线上时 即当 Q 与 P 点重合时 才能取得最小值 PQQQ 最小值为 8 1 9 此时点 Q 的纵坐标为 3 代入椭圆方程得 2 x 因此 当 Q 点运动到 2 3 处时 取最小值 9 PQQF 2 1 B4 设椭圆的中心是坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率为 已 2 3 e 知点 P这个椭圆上的点的最远距离是 求这个椭圆的方程 2 3 07 并求椭圆上到点 P 的距离是的点的坐标 7 解 设所求的椭圆的直角坐标方程是 01 2 2 2 2 ba b y a x 由 解得 设椭圆上的点 x y 到点 P 的距离为 d 4 3 1 2 2 22 2 2 2 a b a ba a c e 2 1 a b 则34 2 1 3 2 3 2 3 2 22 2 2 2 2 2 22 byyy b a ayxd 其中 如果 则当 y b 时 d2取得最大值byb 2 1 b 2 2 2 3 7 b 解得 b 与矛盾 故必有 2 1 2 3 7 2 1 b 2 1 b 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 4 页 2020 2 114 16 当时 d2取得最大值 解得 b 1 a 2 2 1 y 347 2 2 b 所求椭圆方程为1 4 2 2 y x 由可得椭圆上到点 P 的距离等于的点为 2 1 y7 2 1 3 2 1 3 考点 2 椭圆方程 EG2EG2 已知椭圆的对称轴是坐标轴 O 为坐标原点 F 是一个焦点 A 是一个顶点 若椭圆 的长轴长是 6 且 cos OFA 2 3 则椭圆方程为 解 椭圆的长轴长是 6 且 cos OFA 2 3 点 A 不是长轴的端点 OF c AF a 3 c 2 b2 5 椭圆方程是 或 1 95 22 yx 1 59 22 yx B2 1 若椭圆 ax2 by2 1 与直线 x y 1 交于 A B 两点 M 为 AB 的中点 直线 OM O 为原 点 的斜率为 且 OA OB 求椭圆的方程 2 2 设 A x1 y1 B x2 y2 M 由消去 y 得 2 2 2121 yyxx 1 1 22 byax yx 1 012 2 bbxxba 2 21 ba bxx 2 21 yy ba axx 2 21 由得 又 OA OB x1x2 y1y2 0 即 ba a ba b M OM k 2 2 ab2 x1x2 1 x1 1 x2 0 2x1x2 x1 x2 1 0 a b 2 01 212 ba b ba b 联立 得 方程为 12 22 12 2 ba1 12 22 12 2 22 yx 思维点拨思维点拨 OA OBx1x2 y1y2 0 其中 A x1 y1 B x2 y2 是我们经常用到的一个结 论 B2 2 04 全国 15 设中心在原点的椭圆与双曲线 1 有公共的焦点 且它们的 22 22yx 离心率互为倒数 则该椭圆的方程是1 2 2 2 y x B2 3 曲线的标准方程为 准线方程为 C x y cos sin 2 x y y 2 2 4 1 4 3 3 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 5 页 2020 2 114 16 B2 4 若动点 在曲线上变化 则的最大值为yx 0 1 4 2 22 b b yx yx2 2 A B 4 2 40 4 4 2 bb b b 2 2 20 4 4 2 bb b b C D 24 4 2 b b 考点 3 性质 EG3 已知 F1为椭圆的左焦点 A B 分别为椭圆的右顶点与上顶点 P 为椭圆上的点 当 PF1 F1A PO AB O 为椭圆中心 时 椭圆的离心率 e 解 设椭圆方程为 a b 0 F1 c 0 则点 1 2 2 2 2 b y a x 22 bac 2 a b cP 由 PO AB 得 kAB kOP即 b c 故 ac b a b 2 2 2 e 思维点拨思维点拨 1 求离心率一般是先得到 a b c 的一个关系式 然后再求 e B3 1 若焦点在轴上的椭圆的离心率为 则 m x1 2 22 m yx 2 1 A B C D 3 2 3 3 8 3 2 B3 2 点 P 3 1 在椭圆的左准线上 过点 P 且方向为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x a 2 5 的光线 经直线反射后通过椭圆的左焦点 则这个椭圆的离心率为2 y A B C D 3 3 3 1 2 2 2 1 B3 3 05sd 12 设直线关于原点对称的直线为 若与椭圆022 yxl l l 的交点为 A B 点 P 为椭圆上的动点 则使 PAB 的面积为的点 P 的 1 4 2 2 y x 2 1 个数为 A 1B 2C 3D 4 B3 4 04 浙江 9 若椭圆的左 右焦点分别为 F1 F2 线段 F1F2被抛 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 物线 y2 2bx 的焦点分成 5 3 两段 则此椭圆的离心率为 D A B C D 17 16 17 174 5 4 5 52 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 6 页 2020 2 114 16 实战练习实战练习 1 04 湖南 16 设 F 是椭圆的右焦点 且椭圆上至少有 21 个不同的点1 67 22 yx 使组成公差为 d 的等差数列 则 d 的取值范围为 3 2 1 1 iP 321 FPFPFP 10 1 0 0 10 1 2 如果椭圆上的点 A 到右焦点的距离等于 4 那么点 A 到两条准线的距离分1 1625 22 yx 别是 A 8 B 10 C 10 6 D 10 8 3 20 3 20 提示 目的 运用定义或焦半径公式 3 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分 则这个椭圆的离心率是 A B C D 以上都不对3 2 3 3 3 提示 目的 焦点 准线 离心率的应用 解析 c a c 2 2 3 1 2 4 P 为椭圆上的点 是两焦点 若 则的面积 1 45 22 yx 21 F F 30 21 PFF 21PF F 是 A B C D 16 3 316 32 4 32 16 提示 目的 运用余弦定理 解析 设 列方程求解 nPFmPF 21 5 椭圆内有一点 P 1 1 F 为右焦点 椭圆上有一点 M 使最小 1 34 22 yx MFMP2 则点 M 为 A C D 1 3 62 2 3 1 B 2 3 1 1 3 62 提示 目的 离心率的应用 解析 等于 M 到右准线的距离 MFe2 2 1 6 椭圆的对称轴在坐标轴上 长轴是短轴的 2 倍 且过点 2 1 则它的方程是 1 1717 4 1 28 2222 yxyx 提示 目的 待定系数法求 b 7 如图分别为椭圆的左 右焦点 点 P 在 21 F F1 2 2 2 2 b y a x 椭圆上 是面积为的正三角形 则的值是 2 POF 3 2 b32 提示 目的 正三角形应用 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 7 页 2020 2 114 16 解析 23 4 3 2 cc 2 3 2 c c P 8 设 A 2 0 B 2 0 的周长为 10 则动点 C 的轨迹方程为 ABC 0 1 59 22 y yx 提示 目的 椭圆定义 三角形条件 9 将参数方程 为参数 化为普通方程 所得方程是 sin2 cos21 y x 4 1 22 yx 10 从集合 1 2 3 11 中任选两个元素作为椭圆方程中的 m 和 n 则能组成1 2 2 2 2 n y m x 落在矩形区域 B x y x 11 且 y 0 1 5m2 0 解得 即m的取值范围为 5 5 0 m 5 5 0 0 5 5 8 3 抛物线 考纲要求 掌握抛物线的定义 标准方程和简单几何性质 考点回顾 1 定义 到一个定点 的距离与到一条定直线 的距离相等的点的轨迹 2 标准方程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 这里0 p 3 图形 4 基本量 基本量 A 对称轴 轴 轴 B 顶点坐标 原点 C 焦点坐标 0 2 p 0 2 p 2 0 p 2 0 p D 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y E 焦半经 2 0 p xr 2 0 p xr 2 0 p yr 2 0 p yr F 焦准距 顶准距 焦顶距 曲线上的点到焦点的最近距 p 2 p 2 p G 离心率 1 e H 焦点弦 过的焦点弦 pxy2 2 0 p 1 x 1 y 2 x 2 y O x y O y x O y x x O y 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 23 页 2020 2 114 16 sin 2 2 21 p pxxAB 2 21 pyy 4 2 21 p xx I 标点 抛物线上的点可标为或或pxy2 2 00 y x 0 2 0 2 y p y ptpt2 2 2 Rt 思维 规律 方法 思维 规律 方法 1 待定系数法 2 注意方程思想 3 注意定义的应用 考点解析 考点1 定义 EG1 已知点F 是抛物线的焦点 M 是抛物线上的动点 当最小 4 3 Axy8 2 MFMA 时 M 点坐标是 A B C D 0 0 62 3 4 2 62 3 目的 应用第二定义 答案 C 解析 把转化为 M 到准线的距离 然后求的最小值MFMKMKMA B1 1 抛物线上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离 则点 M 的横坐标xy4 2 4 MF 3 目的 应用第二定义 x 解析 2 p xMF 考点2 方程 EG2 抛物线顶点在原点 对称轴为坐标轴 焦点在直线上 则其方程为 C 02 yx A 或 B 或 xy4 2 yx4 2 yx4 2 xy4 2 C 或 D 不确定yx8 2 xy8 2 目的 求抛物线方程 答案 C 解析 解直线与两轴交点坐标 进而求p B2 1 抛物线上有两动点 A B 及一个定点 M F 为焦点 若 02 2 ppxy 成等差数列BFMFAF 1 求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q 2 若 O 为坐标原点 求抛物线的方程 6 4 OQMF 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 24 页 2020 2 114 16 3 对于 2 中的抛物线 求 AQB 面积的最大值 解 1 设 则 002211 yxMyxByxA 2 1 p xAF 2 2 p xBF 由题意得 的中点坐标可设为 其中 2 0 p xMF 2 21 0 xx x AB tx 0 否则 0 2 21 yy t0 pBFMFAF 而 故 AB 的垂直平分线为 2 2 2 1 21 21 21 2 1 yy p yy xx yy kAB t p yy p 21 2 即 可知其过定点 0 xx p t ty 0 0 yppxxt 0 0 pxQ 2 由 得 联立解得6 4 OQMF6 4 2 00 px p x2 4 0 xp xy8 2 3 直线 AB 代入得 2 4 x t tyxy8 2 01622 22 ttyy 2 21 2 21 2 21 4644tyyyyyy 2 21 2 2 21 16 yy t xx 16 4 2 2 t t 2 21 2 21 yyxxAB 22 1616 2 1 tt 又点到 AB 的距离 4 256 2 1 t 0 6Q 2 16td dABS AQB 2 1 24 16256 4 1 tt 642 162564096 4 1 ttt 令 则 令即 642 162564096tttu 53 664512tttu 0 u 得或或 时0664512 53 ttt0 t16 2 t 3 16 2 t 3 16 2 t3 3 4 t 6 9 64 AQB S 思维点拔思维点拔 设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法 必须熟练掌握 对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味 考点3 性质 EG3 1 抛物线的焦点坐标是 2 4axy 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 25 页 2020 2 114 16 2 焦点在直线上的抛物线的标准方程是 其对应的准线方程是 042 yx 3 以抛物线的一条焦点弦为直径的圆是 则 02 2 ppyx086 22 yxyx p 4 到 y 轴的距离比到点的距离小 2 的动点的轨迹方程是 0 2 5 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分 它的方程是 在杯内放入 2002 2 yyx 一个玻璃球 要使球触及酒杯的底部 则玻璃球的半径的范围为 1 0 rA1 0 rB2 0 rC2 0 rD 解 1 焦点 F a16 1 0 2 因为焦点在坐标轴上 所以焦点为或 故抛物线的标准方程为 0 4 2 0 或 对应的准线方程是 xy16 2 yx8 2 2 4 yx 3 因为该圆与该抛物线的准线相切 所以21 2 p p 4 即为动点到点 2 0 的距离等于到直线的距离 或动点在 Y 轴的非正2 x 半轴上 所以轨迹方程为 或xy8 2 00 xy 5 设圆为 抛物线为 联立得 令 2 2 2 rryx yx2 2 012 2 yry 得 故选 A 0 1 r1 max r 思维点拔思维点拔 正确理解抛物线和注意问题的多解性 严密思考问题 B3 1 抛物线的焦点坐标为 2 xy A B C D 4 1 0 4 1 0 0 4 1 0 4 1 目的 求焦点 答案 A 解析 从初中学的抛物线 二次函数 到高中的抛物线 B3 2 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 若 那xy4 2 2211 yxByxA6 21 xx 么等于 B AB A 10 B 8 C 6 D 4 目的 焦半径公式 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 26 页 2020 2 114 16 答案 B 解析 pxx p x p xBFAFAB 2121 22 B3 3 已知抛物线 过点 4 1 引一弦 使它恰在这点被平分 则此弦所在直线方程为 xy6 2 0113 yx 目的 中点弦问题 解析 设直线与抛物线交点为 则 2211 yxByxA 2 2 2 1 2 1 6 6 xy xy 6 21 2 2 2 1 xxyy 3 62 kky中 实战练习 1 抛物线与直线交于两点 A B 其中点 A 的坐标是 1 2 pxy2 2 04 yax 若抛物线的焦点为 F 则 FA FB 等于 A 5B 6C 3D 75 2 双曲线离心率为 2 有一个焦点与抛物线的焦点重合 0 1 22 mn n y m x xy4 2 则 mn 的值为 A B C D 16 3 8 3 3 16 3 8 3 抛物线上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 2 4xy A B C D 0 16 17 16 15 8 7 4 已知双曲线的中心在原点 离心率为 若它的一条准线与抛物线的准线重合 3xy4 2 则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 xy4 2 A 2 B C D 21362121218 5 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于 A B 两点 它们的横坐标之和等xy4 2 于 5 则这样的直线 A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D 不存在 6 与直线平行的抛物线的切线方程是034 yx 2 2xy A B C D 014 yx014 yx024 yx024 yx 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 27 页 2020 2 114 16 7 04 天津 14 如果过两点和的直线与抛物线没有交 0 aA 0 aB32 2 xxy 点 那么实数 a 的取值范围是 4 13 8 04 浙江 4 曲线关于直线 x 2 对称的曲线方程是 Cxy4 2 A B C D xy48 2 84 2 xyxy416 2 164 2 xy 9 04 全国 8 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公 共点 则直线 l 的斜率的取值范围是C A B 2 2 C 1 1 D 4 4 2 1 2 1 10 04 全国 1 21 给定抛物线 C y2 4x F 是 C 的焦点 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 设 l 的斜率为 1 求与的夹角的大小 OAOB 设 若 4 9 求 l 在 y 轴上截距的变化范围 AFFB 本小题主要考查抛物线的性质 直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法 思想和综 合解题能力 满分 12 分 解 C 的焦点为 F 1 0 直线 l 的斜率为 1 所以 l 的方程为 1 xy 将代入方程 并整理得 1 xyxy4 2 0 16 2 xx 设则有 2211 yxByxA 1 6 2121 xxxx 3 1 2 212121212211 xxxxyyxxyxyxOBOA 41 16 4 212121 2 2 2 2 2 1 2 1 xxxxxxyxyxOBOA 41 143 cos OBOA OBOA OBOA 所以夹角的大小为OBOA与 41 143 arccos 由题设 得 AFFB 1 1 1122 yxyx 即 1 2 12 1 1 yy xx 由 得 2 1 22 2 yy 4 4 2 2 21 2 1 xyxy 1 2 2 xx 联立 解得 依题意有 2 x 0 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 28 页 2020 2 114 16 又 F 1 0 得直线 l 方程为 2 2 BB或 1 2 1 1 2 1 xyxy 或 当时 l 在方程 y 轴上的截距为 9 4 1 2 1 2 或 由 可知在 4 9 上是递减的 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为 3 4 4 3 4 3 3 4 11 河上有抛物线型拱桥 当水面距拱顶 5 米时 水面宽度为 8 米 一小船宽 4 米 高 2 米 载货后船露出水面的部分高 0 75 米 问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时 小船开始 不能通行 解 建立平面直角坐标系 设拱桥型抛物线方程为 将 B 4 5 代入 0 2 2 ppyx 得 P 1 6 船两侧与抛物线接触时不能通过yx2 3 2 则 A 2 yA 由 22 3 2 yA得 yA 1 25 因为船露出水面的部分高 0 75 米 所以 h yA 0 75 2 米 答 水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时 小船开始不能通 行 思维点拔思维点拔 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物 线方程解决实际问题的技巧 12 本小题满分 14 分 如图 O 为坐标原点 直线 在l 轴和轴上的截距分别是和 且交抛物线xyab 于 两点 0 2 2 ppxy 11 yxM 22 yxN 1 写出直线 的截距式方程 l 2 证明 byy 111 21 3 当时 求的大小 pa2 MON 解 直线 l 的截距式方程为 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 29 页 2020 2 114 16 1 b y a x 证明 由 及 y2 2px 消去 x 可得 022 2 pabpayby 点 M N 的纵坐标 y1 y2为 的两个根 故 1 2 2 11 2 2 21 21 21 2121 bpa b pa yy yy yy payy b pa yy 所以 解 设 OM ON 的斜率分别为 k1 k2 90 1 4 4 4 4 4 4 4 2 2 42 2 2 2 21 21 21 2 2 2 2 2 21 21 21 22 212 2 21 2 1 2 21 2 2 2 1 1 1 MONONOM p p xx yy kk p p p p yy xx xxpyypxypxy ppayyIIpa x y k x y k 即所以 因此 相乘得由 知由时当 则 8 4 直线与圆锥曲线的位置关系 考纲要求 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定 能够应用直线与圆锥曲线的位置关系 解决一些问题 考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 相交 相切 相离 从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组 无解时必相离 有两组解必 相交 一组解时 若化为 x 或 y 的方程二次项系数非零 判别式 0 时必相切 若二次项 系数为零 有一组解仍是相交 2 弦 直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦 焦点弦 若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦 通径 若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴 此时焦点弦也叫通径 3 弦长 当直线的斜率存在时 弦长公式 或当存在且不为零时 21 2 1xxkl 21 2 21 2 4 1 xxxxk k 其中 是交点坐标 21 2 1 1yy k l 11 y x 22 y x 抛物线的焦点弦长公式 AB 其中 为过焦点的直线pxy2 2 2 21 sin 2p pxx 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 30 页 2020 2 114 16 的倾斜角 思维 规律方法 1 公共点 2 涉及弦长问题 应熟练地应用韦达定理 设而不求计算弦长 涉及垂直关系往往 也是利用韦达定理 设而不求化简运算 垂直平分问题常常用 点差法 3 涉及弦的中点问题 常用 差分法 设而不求 将弦所在的直线的斜率 弦的中 点坐标联系起来 相互转化 考点训练 EG1 直线 y x 3 与曲线 1 4 9 2 xxy A 没有交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D 有三个交点 解 当 x 0 时 双曲线的渐近线为 而直线 y x 3 的斜率为1 49 22 xy xy 2 3 1 101 49 22 xy 因此直线与椭圆左半部分有一交点 共计 3 个交点 选 D 思维点拔 注意先确定曲线再判断 EG2 已知直线与曲线恰有一个公共点 求实数的值 1 1 xayaxy 2 a 解 联立方程 1 1 xay axy 2 1 当 0 时 此方程恰有一组解为 x 1a y 0 2 0 时 消去 x 得y2 y 1 0 a a a1 若 0 即 1 方程变为一元一次方程 y 1 0 方程组恰有一组解 x 1 a a1 a y 1 若 0 即 1 令 0 得 1 4 0 可得 4 5 这时直线与曲线相切 只有 a a1 a a a1 a 一个公共点 综上所述知 当 0 1 4 5 时 直线与曲线恰有一个公共点 a1 1 xayaxy 2 思维点拔 对于开放的曲线 0 仅是有一个公共点的充分但并不必要的条件 而本例 0a 时曲线蜕化为直线 EG3 在抛物线 y2 4x 上恒有两点关于直线 y kx 3 对称 求 k 的取值范围 解 设 B C 关于直线 y kx 3 对称 直线 BC 方程为 x ky m 代入 y2 4x 得 y2 4ky 4m 0 设 B x1 y1 C x2 y2 BC 中点 M x0 y0 则 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 31 页 2020 2 114 16 y0 y1 y2 2 2k x0 2k2 m 点 M x0 y0 在直线上 2k 2k2 m 3 m 又 BC 与抛物线交于不 k kk322 3 同两点 16k2 16m 0 把 m 代入化简得即 0 32 3 k kk 0 3 1 2 k kkk 解得 1 k0l 即 m2 k2 90 的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B C 两 点 求线段 BC 的中点 M 轨迹方程 考例 4 解 解 A 2p 0 设直线 AB 的方程为 y k x 2p k0 与抛物线方程联立方程组可解得 B 点的坐标为 由于 AC 与 AB 垂直 则 AC 的方程为 与 2 2 2 2 k p p k p 2 1 px k y 抛物线方程联立方程组可解得 C 点的坐标为 又 M 为 BC 中点 设 2 22 2 kpppk M x y 则 消去 k 得 y2 px 即点 M 的轨迹 kp k p y ppk k p x2 2 2 是抛物线 考点 5 交轨法与几何法题型交轨法与几何法题型 例例 5 抛物线的顶点作互相垂直的两弦 OA OB 0 4 2 ppxy 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 38 页 2020 2 114 16 求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹 解解 1 交轨法 交轨法 点 A B 在抛物线上 设 0 4 2 ppxy A B 所以 kOA kOB 由 OA 垂直 OB 得 kOA kOB 1 得 4 2 A A y p y 4 2 B B y p y A y p4 B y p4 yAyB 16p2 又 AB 方程可求得 即 yA yB y 4px yAyB 0 4 44 2 22 p y x p y p y yy yy A BA BA A 把 yAyB 16p2代入得 AB 方程 yA yB y 4px 16p2 0 又 OM 的方程为 x P yy y BA 4 由 消去得 yA yB即得 即得 04 22 pxyx 222 4 2 pypx 所以点 M 的轨迹方程为 其轨迹是以为圆心 半径为的 222 4 2 pypx 0 2 pp2 圆 除去点 0 0 说明 说明 用交轨法求交点的轨迹方程时 不一定非要求出交点坐标 只要能消去参数 得到 交点的两个坐标间的关系即可 交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况 解解 2 2 几何法 几何法 由解 1 中 AB 方程 yA yB y 4px 16p2 0 可得 AB 过定点 4p 0 而 OM 垂直 AB 所以由圆的几法性质可知 M 点的轨迹是以为圆心 半径为的 0 2 pp2 圆 所以方程为 除去点 0 0 222 4 2 pypx B5 1 给出定点 A a 0 a 0 和定直线 l x 1 B 是直线 l 上的动点 BOA 的角平分 线交 AB 于点 C 求点 C 的轨迹方程 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系 解 引入参数 记 是以 OA 为始边 OB 为终边的角 且让 由此引入点 B 的参数形式的坐标 1 tan 从而得到 AB 的直线 2 2 方程为 OC 的直线方程为 利用万能公式消去 得 1 1 tan ax a y 2 tan xy a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 又易知 时 点 C 是原点 它的坐标恰好适合方程 当 a 1 时方程表示抛物线弧段 0 a1 时 方程表示双曲线弧 段 说明 说明 此方法为参数法 实为参数法中的交轨法 实战训练 1 点 M x y 与定点 F 1 0 的距离和它到直线 x 4 的距离的比为 2 则动点 M 的轨迹方程为 A B 1 34 22 yx 1 34 22 yx C 3x2 y2 34x 65 0 D 3x2 y2 30 x 63 0 目的 掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤 同时掌握双曲线第二定义 避免错误使 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 39 页 2020 2 114 16 用 答案 D 解析 两边平方即得 3x2 y2 30 x 63 02 4 1 22 x yx 2 P 是椭圆上的动点 作 PD y 轴 D 为垂足 则 PD 中点的轨迹方程为 1 916 22 yx A B C 1 169 22 yx 1 964 22 yx D 1 49 22 yx 1 94 22 yx 目的 掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤 理解其适用的题型 答案 D 解析 设 PD 中点为 M x y 则 P 点坐标为 2x y 代入方程 即得1 916 22 yx 1 94 22 yx 3 已知双曲线 a 0 b 0 A1 A2是双曲线实轴的两个端点 MN 是垂直于实1 2 2 2 2 b y a x 轴所在直线的弦的两个端点 则 A1M 与 A2N 交点的轨迹方程是 A B C 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y D 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 目的 熟悉参数法求轨迹方程的基本思路 理解相交点轨迹方程的解题技巧 答案 A 解析 设 M x1 y1 N x1 y1 A1M 与 A2N 交点为 P x y A1 a 0 A2 a 0 则 A1 M 的方 程是 A2M 的方程是 两式相乘 结合即得 ax ax y y 11 ax ax y y 11 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 4 抛物线的准线 l 的方程是 y 1 且抛物线恒过点 P 1 1 则抛物线焦点弦的另一个端点 Q 的轨迹方程是 B A x 1 2 8 y 1 B x 1 2 8 y 1 x 1 C y 1 2 8 x 1 D y 1 2 8 x 1 x 1 目的 认识到用定义法求轨迹方程能减少运算量 是重要的解题方法 答案 B 解析 设焦点为 F Q x y 则由抛物线定义得 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 40 页 2020 2 114 16 化简即得 22 1 1 1 2 yxPQyQFAF 5 ABC 中 A 0 2 B 0 2 且成等差数列 则 C 点的轨迹方程是 CBABCA 目的 求曲线方程应注意根据题意检验方程的完整性 答案 0 1 1216 22 x xy 解析 知 C 点轨迹是以 A B 为焦点 且 2a 8 的椭圆82 ABCBCA 6 若 A 点是圆 x 2 2 y 2 2 1 上的动点 点 B 1 0 M 分 AB 的比为 2 1 则 M 点的轨迹方 程是 目的 熟悉代入法及定比分点坐标公式 答案 9 1 3 2 3 4 22 yx 解析 设 A x1 y1 M x y 则由定比分点公式得 3 3 2 11 y y x x 代入 x 2 2 y 2 2 1 即得yyxx3 23 11 9 1 3 2 3 4 22 yx 7 直线与 x y 轴交点的中点的轨迹方程是 1 2 a y a x 目的 理解参数法及其参数限制对方程的影响 注意解题的完整性 答案 x y 1 1 0 xx 解析 设直线与 x y 轴交点为 A B 中点为 M x y 1 2 a y a x 2 0 0 aBaA 则 消去 a 得 x y 1 2 1 2 a y a x 8 6 向量在解析几何中的应用 考纲要求 利用平面向量的知识解决解析几何中的夹角 平行 垂直 共线 共点等问题 考点 1 平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份 是数形结合的重要体现 平面向量与 几何向量问题的综合及应用通常涉及向量夹角 平行 垂直 共线 共点等问题的处 理 目标是将几何问题坐标化 符号化 数量化 从而将推理转化为运算 研究夹角 问题是从数量积入手 研究共线 共点问题则从实数与向量的积入手 处理几何问题 常常需要建立直角坐标系 选取合适的线段作为向量 处理解析几何问题时 更好地 需要将向量用坐标表示 利用平面向量的有关定理 公理列出方程 从而获得结论 思维 规律方法 1 向量的工具性作用体现 2 注意向量的坐标形式在解题中的作用 考点解析 EG1 03年津 O是平面上一 定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 41 页 2020 2 114 16 则P的轨迹一定通过 ABC的B A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 EG2 已知点 设为直角坐标平面内 轴正方向上的 1 0 AxRy 2 mji yx 单位向量 若向量 且 4 jyimxp jyimxq qp 求动点的轨迹方程 并讨论方程所表示的曲线 yxM 设直线与点的轨迹交于 两点 问是否存在实数使得3 2 1 xylMBCm 若存在 求出的值 若不存在 试说明理由 2 9 ACABm 目的 学会解决向量形式下直线与圆锥曲线的关系问题 解析 解解 且 4 22 ymxp 22 ymxq qp 点到两定点 的距离之差为 4 yxM 0 1 mF 0 2 mF 当 即时 点的轨迹是一条射线 方程为 42 m2 mM 2 0 xy 当 即时 点轨迹是以 为焦点的双曲线的右支 m24 2 mM 0 1 mF 0 2 mF 方程为 2 1 44 2 22 x m yx 解解 当时 显然不合题意 2 m 当时 动点的轨迹方程为 2 mM 2 1 44 2 22 x m yx 设 则 11 yxB 22 yxC 2 2 21 xx 1 1 2211 yxACyxAB 又得 2 9 ACAB 2 9 1 1 2121 yyxx 把代入上式并整理 3 2 1 3 2 1 2211 xyxy046 85 2121 xxxx 由消去得 1 44 3 2 1 2 22 m yx xy y020412 5 222 mxxm 把 代入 并解得 5 12 2 21 m xx 5 204 2 2 21 m m xx9 2 m 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 42 页 2020 2 114 16 当时 方程 为 9 2 m0143 2 xx14 21 xx 而且 因此满足条件的值不存在 2 1 x2 2 xm EG3 已知 若点满足 4 0 1 0 ANP6ANAPPN I 求点的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 P II 求的取值范围 PN III 若求上的取值范围 1 0 M MPN 在 0 目的 运用向量 函数 不等式工具探讨圆锥曲线的轨迹和几何性质 解析 设为点的轨迹方程 该 22 22 4 1 6 3 4 6 1 1 43 P x yANx y PNxyANAPPN xy xxy P 曲线是以为焦点 长轴长为 4 的椭圆 1 0 1 0 II 为椭圆的右焦点 为右准线 设到右准线的距离为 1 0 N4x 00 P xyP 当 00 00 41 4 2 22 13 2222 PNxxd d dxePNxPN d 时 当时 1PN 2 0 P3PN 2 0 P III 令 13 PNtt 22 4 46 4 2 cos1 13 3 4 4 2 4 4 tt PMt MNMPNttt tttt 1 cos1 0 23 MPNMPN 实战训练 1 已知是长轴为 4 的椭圆上的三点 点是长轴的一个顶点 过椭圆中心 A B CA B C 如图 且 O0ACBC 2BCAC I 求椭圆的方程 如果椭圆上的两点 使的平分线 P QPCQ 垂直于 是否总存在实数 使 AO PQAB O A C B 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 43 页 2020 2 114 16 请给出证明 目的 综合运用向量 直线与圆锥曲线的位置关系 对称性等几何性质解决问题 解析 I 由条件 设所求的椭圆方程为 其中 22 22 1 xy ab 24a 则 且 0ACBC 2BCAC 90ACB 2 2OAOCOBAC 代入椭圆方程得 1 1 C 2 4 3 b 即椭圆方程为 2 2 3 1 44 x y 若的平分线垂直于 则倾斜角互补 设所在的直线方程PCQ OAPCQC PC 为 由方程组1 1 yk x 可得 2 2 1 1 3 1 44 yk x x y 2222 31 66 3 1 40kxkkxk 且 代入中可得 2 2 66 31 PC kk xx k 2 2 361 1 31 CP kk xx k 1 1 yk x 2 2 321 31 P kk y k 同理可得 22 22 22 2222 22 321321 3613211 3131 36136131313 3131 QQPQ kkkk kkkk kk xyk kkkkkk kk 又 总存在使 1 3 AB kPQAB PQAB 2 已知常数 a 0 向量 经过定点 A 0 a 以为方向向 0 1 0 namnm 量的直线与经过定点 B 0 a 以为方向向量的直线相交于点 P 其中 mn 2 R 求点 P 的轨迹 C 的方程 若过 E 0 1 的直线 l 交曲线 C 于 M N 两点 求的取值范围 2 2 aENEM 解 设 P 点的坐标为 x y 则 ayxBPayxAP 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 44 页 2020 2 114 16 又 2 1 2 0 0 1 amnanmamn 故 由题知向量与向量AP axaynm 故平行 又向量与向量BP 2 axaymn 故平行 两方程联立消去参数 得点 P x y 的轨迹方程是 6 分 2 2 222222 xaayxaayay 即 故点 P 的轨迹方程为 2 2 a 122 22 xy 此时点 E 0 1 为双曲线的焦点 若直线 l 的斜率不存在 其方程为 x 0 l 与双曲线交于 2 2 0 M 2 2 0 N 此时 8 分 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 ENEM 若直线 l 的斜率存在 设其方程为化简得代入 1 kxy122 22 xy 直线 l 与双曲线交于两点 0 14 1 2 22 kxxk 1 0 10 1 8 4 222 kkkk解得且 设两交点为 则 10 2211 yxNyxM 1 2 1 1 2 2 21 2 21 k xx k k xx 分 此时 1 1 22112211 kxxkxxyxyxENEM 1 2 1 2 1 1 2 1 1 22 2 21 2 21 2 21 kk k xxkxxkxx 当 2 1 1 2 1 2 1 01 11 2 2 k ENEMkk故时 当 2 1 1 2 1 2 1 01 11 2 2 k ENEMkkk故时或 综上所述 的取值范围是 13 分ENEM 2 1 2 1 3 无论 m 为任何实数 直线与双曲线恒有公共点 mxyl 0 1 2 2 22 b b yx C 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 抚顺四中高三数学总复习讲义 圆锥曲线 编辑 尹风林 fly 第 45 页 2020 2 114 16 若直线 过双曲线 C 的右焦点 F 与双曲线交于 P Q 两点 并且满足l FQFP 5 1 求双曲线 C 的方程 解 把代入双曲线 mxy 0 2 21 2 2222 2 22 bmxxb b