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第二章误差与不确定度 本章要点 误差的概念与表示方法 随机误差 系统误差和粗大误差的特性和处理方法 测量不确定度的概念和评定方法 测量数据处理的方法 本章是测量技术中的基本理论 搞测量就得与误差打交道 2 1误差的概念与表示方法 误差 测量值 真值 例如 在电压测量中 真实电压5V 测得的电压为5 3V 则 误差 5 3V 5V 0 3V 真值为 表征某量在所处的条件下完善地确定的量值 真值是一个理想的概念 真值客观存在 却难以获得 实际值 实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用 实际值 约定真值 2 1 1测量误差 例如 现在是什么时间 能准确地报出北京时刻吗 2 1 2误差的来源 1 仪器误差 指针式仪表的零点漂移 刻度误差以及非线性引起误差 数字式仪表的量化误差 如5位半的电压表比3位半量化误差小 比较式仪表中标准量本身的误差 如天平的砝码 均为仪器误差 2 方法误差 由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差 例如 用普通模拟式万用表测量高阻上的电压 电压表内阻 3理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差 例如 用谐振法测量频率时 常用的公式为 但实际上 回路电感L中总存在损耗电阻r 其准确的公为 4影响误差 由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差 例如 环境温度 预热时间 电源电压 内部噪声 电磁干扰等条件与要求不一致 使仪表产生的误差 5人身误差 由于测量者的分辨能力 疲劳程度 责任心等主观因素 使测量数据不准确所引起的误差 研究误差理论的目的是分析产生误差的原因和规律 识别误差的性质 正确处理测量数据 合理计算所得结果 在一定测量条件下 尽力设法减少误差 保证测量误差在容许的范围内 1 绝对误差 定义 被测量的测量值x与其真值A0之差 称为绝对误差 在实际测量中 约定真值 实际值 A表示 修正值 与绝对误差大小相等 符号相反的量值称为修正值 一般用C表示 2相对误差 例 用二只电压表V1和V2分别测量两个电压值 V1表测量150伏 绝对误差 x1 1 5伏 V2表测量10伏 绝对误差 x2 0 5伏 从绝对误差来比较 x1 x2谁准确 表示相对误差 相对误差可以有多种形式 真值相对误差 实际值相对误差 测量值 示值 相对误差 满度 或引用 相对误差 常用 因通常A0 A X X故常用X方便 测量值相对误差 x与满度相对误差S 的关系 测量值x靠近满量程值xm相对误差小 电工仪表将满度相对误差分为七个等级 例 检定量程为100 A的2级电流表 在50 A刻度上标准表读数为49 A 问此电流表是否合格 解 x0 49 Ax 50 Axm 100 A 二级表 用分贝 dB 表示相对误差 相对误差也可用对数形式 分贝数 表示 主要用于功率 电压的增益 衰减 的测量中 功率等电参数用dB表示的相对误差为 电压 电流等参数用dB表示的相对误差为 随机误差 不可预定方式变化的误差 同随机变量 系统误差 按一定规律变化的误差 粗大误差 显著偏离实际值的误差 2 1 5测量结果的评价 系统误差 小 准确度高 系统误差和随机误差都较小 称精确度高 x 粗大误差 2 1 6不确定度 不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念 在传统误差理论中 总想确定 真值 而真值却又难以确定 导致测量结果带有不确定性 国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值 引入了不确定度的概念 不确定度愈小 测量结果的质量愈高 愈接近真值 可信程度愈高 2 2随机误差 2 2 1定义与性质 测量术语 等精度测量 在相同条件 同一人 同一仪器同一环境 同一方法 下 对同一量进行重复测量 称为等精度测量 随机误差定义 在等精度测量下 误差的绝对值和符号都是不定值 称为随机误差 也称偶然误差 或然误差 简称随差 随机误差概念 不可预定方式变化的误差 同随机变量 举例 对一电阻进行n 100次等精度测量 表2 2按大小排列的等精度测量结果 随机误差性质 服从正态分布 具有以下4个特性 对称性 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等 单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多 有界性 绝对值很大的误差出现的机会极少 不会超出一定的界限 抵偿性 当测量次数趋于无穷大 随机误差的平均值将趋于零 2 2 2随机误差的统计处理 随机误差与随机变量的类同关系 1 数学期望 设x1 x2 xi 为离散型随机变量X的可能取值 相应概率为p1 p2 pi 其级数和为 若 绝对收敛 则称其和数为数学期望 记为E X 在统计学中 期望与均值是同一概念 算术平均值与被测量的真值最为接近 由概率论的大数定律可知 若测量次数无限增加 则算术平均值 必然趋于实际值 2 方差 标准差 方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值 随机变量X的方差为X与其期望E X 之差的平方的期望 记为D X 即 例 两批电池的测量数据 测量中的随机误差也用方差 来定量表征 式中 是某项测值与均值之差 称为剩余误差或残差 记作 将剩余误差平方后求和平均 扩大了 离散性 故用方差来表征随机误差的离散程度 标准差 方差的量纲是随机误差量纲的平方 使用不方便 为了与随机误差的量纲统一 常将其开平方 用标准差或均方差表示 记作 应当指出 剩余误差 i应包含系统误差 和随机误差 i 因这里只讨论随机误差 故认为系统误差已消除 即 正态分布 在概率论和误差理论的研究中 已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述 正态分布的概率密度函数为正态分布 当知道正态分布的两个基本参数 算术平均值 和标准差 该 正态分布的曲线形状则基本确定 给出了 时 三条不同标准差的正态分布曲线 标准差小 曲线尖锐 说明测量误差小的数据 占优势大 即测量精度高 本书附录A给出了正态分布在对称区间的积分表 其中 式中k为置信因子 a为所设的区间宽度的一半 K 1时 K 2时 K 3时 图2 7正态分布下不同区间出现的概率 2 2 3有限次测值的算术平均值和标准差 上述正态分布是 n 下求得的 但在实际测量中只能进行有限次测量 1 有限次测量的算术平均值 对同一量值作一系列等精度独立测量 其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近 设被测量的真值为 其等精度测量值为x1 x2 xn 则其算术平均值为 由于 的数学期望为 故算术平均值就是真值 的无偏估计值 实际测量中 通常以算术平均值代替真值 2 有限次测量数据的标准差 贝塞尔公式 上述的标准差是在n 的条件下导出的 而实际测量只能做到有限次 当n为有限次时 可以导出这时标准差为 2 20 这就是贝塞尔公式 由于推导中不够严密 故 被称为标 准差的估值 也称实验标准差 3 平均值的标准差 在有限次等精度测量中 如果在相同条件下对同一量值分m组进行测量 每组重复n次测量 则每组数列都会有一个平均值 由于随机误差的存在 这些平均值并不相同 围绕真值有一定分散性 这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差 当需要更精密时 应该用算术平均值的标准差 来评价 已知算术平均值 为 在概率论中有 几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和 的定理 可进行下面推导 因 故有 所以 当n为有限次时 用标准差的估值即可 则 2 21 结论 2 21 式说明 算术平均值的标准差是任意一组n次测量样本标准差的 分之一 即算术平均值的标准差估值 比样本标准差的估值 比样本标准差的估值 小 倍 表明了各组平均值再平均以后数值更集中了 这是由于随机误差的抵偿性 测量次数越多 抵消程度越大 平均值离散程度越小 这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据 所以 用算术平均值作为测量结果 减少了随机误差 意义 2 21 式给实际测量带来了方便 人们只要测量一组数据 求得标准差 将其除以 则相当于得到了多组数据 的算术平均值的标准差 归纳 有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤 1 列出测量值的数据表 2 计算算术平均值 3 残差 4 标准差的估计值 实验标准差 5 算术平均值标准差的估计值 例2 6对某信号源的输出频率进行了8次测量 得测量值 的序列 见表2 3 求测量值的平均值及标准偏差 表2 3例2 6所用数据 解 1 平均值 注意 这里采用的运算技巧 2 用公式 计算各测量值残差列于表2 3中 3 标准差估值 4 的标准偏差 因整数位不变 2 15对某直流稳压电源的输出电压Ux进行了10次测量 测量结果如下 求输出电压Ux的算术平均值及其标准偏差估值 解 Ux的算术平均值 标准偏差估值 残差 2 2 4测量结果的置信度 1 置信度与置信区间 百分比 范围 置信度 置信概率 就是用来描述测量结果处于某一范围内可靠程度的量 一般用百分数表示 置信区间 即所选择的这个范围 一般用标准差的倍数表示 如 给定2个标准差 范围内数据的可信度是百分之几 条件 必须先知道测值的分布 才能讨论置信问题 2 正态分布下的置信度 K 1时 K 2时 K 3时 k 3时 即在以3倍标准差 3 区间内 随机误差出现的概率为99 73 而在这个区间外的概率非常小 图2 7正态分布下不同区间出现的概率 3 t分布下的置信度 n 20 在实际测量中 总是进行有限次测量 只能根据贝塞尔公式求出标准差的估值s x 但因测量次数较少 如n 20时 测值不服从正态分布 英国人科萨特 Gosset 但常以 student 笔名发表文章 证明了这时服从t分布 也称 学生 氏分布 t分布的图形如图2 9所示 图形类似于正态分布 但t分布与标准差 无关 与测量次数n关系紧密 从图2 9可以看出 当n 20以后 t分布与正态分布就很接近了 可以用数学证明当n 时 t分布与正态分布完全相同 t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题 4 非正态分布 以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布 包括t分布 在测量实践中会遇到有些情况下 误差是非正态分布的 下面介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题 1 均匀分布 均匀分布又称为等概率分布 矩形分布 是仅次于正态分布的一种重要分布 如图2 10所示 其特点是在误差范围内 误差出现的概率各处相同 如仪器中的度盘回差所导致的误差 数字仪器中的量化误差 在 1单位以内不能分辨的误差 数据计算中的舍入误差 舍掉的或进位的低位数字的概率是相同的 等 均为均匀分布误差 均匀分布的概率密度为 a x b 可以证明 图2 10所示的均匀分布的数学期望为 标准差为 2 24 2 25 2 3粗大误差 在一定条件下 测量值显著偏离其实际值所对应的误差 产生原因 主要是表现为读数错误 测量方法错误 仪器有缺陷 电磁干扰及电压跳动等 粗大误差无规律可循 故必须当作坏值予以剔除 剔除是要有一定依据的 在不明原因的情况下 首先要判断可疑数据是否是粗大误差 其方法的基本思想是给定一置信概率 确定相应的置信区间 凡超出置信区间的误差就认为是粗大误差 具体检验方法常见的有三种 2 3 1定义 2 3 2处理 2 3 3剔除法则 检验方法常见的有三种 1莱特检验法 n 200 3s x 2肖维纳检验法 判则不严 3格拉布斯检验法 理论与实验证明较好 Gs 在一组测量数据中 可疑数据应极少 否则 说明系统工作不正常 2 3 4应用举例 例2 12对某温度进行多次等精度测量 所得结果列于表2 7中 试检查数据中有无异常 表2 7例2 12所用数据 1 莱特检验法 从表中可以看出x8 20 30 残差较大 是个可疑数据 故可判断x8是异常数据 应予剔除 再对剔除后数据计算得 其余的14个数据的 均小于 故为正常数据 2 肖维纳检验法 以n 15查表2 5得k 2 13 Ks x 2 13 0 033 0 07 故用肖维纳检验法 也是异常数据 剔除后 再按n 14查表2 5得k 2 10 均小于 故余下的均为正常数据 3 按格拉布斯检验法 取置信概率Pc 0 99 以n 15查表2 6得G 2 70 Gs 2 7 0 033 0 09 剔除x8后重新计算判别 得n 14 pc 0 99下G值为2 66 GS 2 66 0 016 0 04 可见余下数据中无异常值 2 4系统误差 上面所述的随机误差处理方法 是以测量数据中不含有系统误差为前提 实际上 测量过程中往往存在系统误差 在某些情况下的系统误差数值还比较大 对系统误差的研究较为复杂和困难 研究新的 有效的发现和减小系统误差的方法 已成为误差理论的重要课题之一 2 4 1系统误差的产生原因 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成 这些误差因素是可以掌握的 1 测量装置方面的因素 仪器机构设计原理上的缺点 如指针式仪表零点未调整正确 仪器零件制造和安装不正确 如标尺的刻度偏差 刻度盘和指针的安装偏心 仪器各导轨的误差 天平的臂长不等 仪器附件制造偏差 如标准环规直径偏差等 2 环境方面的因素 测量时的实际温度对标准温度的偏差 测量过程中温度 湿度等按一定规律变化的误差 3 测量方法的因素 采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差 4 测量人员方面的因素 由于测量者的个人特点 在刻度上估计读数时 习惯偏于某一方向 动态测量时 记录某一信号有滞后的倾向 2 4 2系统误差的检查和判别 系统误差 简称系差 的特征是 恒定系差 多次测量同一量值时 误差的绝对值和符号保持不变 变值系差 条件改变时 误差按一定的规律变化 1 恒定系统误差的检查和处理 恒定系差 恒差 常用的判断方法有以下几种 1 改变测量条件 测量条件指测量者 测量方法和环境条件等 在某一测量条件下有许多恒差为一确定不变值 如改变测量条件 就会出现另一个确定的恒差 例如 对仪表零点的调整 2 理论分析计算 凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差 只要对测量方法和测量原理进行定量分析 就可找出系差的大小 分压比校准 3 用高档仪器比对 校准 用高档仪器定期计量检查 可以确定恒差是否存在 如电子秤校验后 则知其是偏大还是偏小 用校准后的修正值 数值 曲线 公式或表格 来检查和消除恒差 4 统计法 排除随机误差 剩下即系统恒差 下面分析恒定系统误差对测量结果的影响 设一系列重复测量值为x1 x2 xn 测量值中含有随机误差 i和恒定系统误差 设被测量的真值为x0 则有 当n足够多时 上式表明 当测量次数n足够大时 随机误差对 的影响可忽略 而系统 中 利用修正值C 可以在进行平均前的每个测量值xi 误差 会反映在 中扣除 也可以在得到算术平均值后扣除 对于因测量方法或原理引入的 恒定系差 可通过理论计算修正 2 变值系差的判定 常用的有以下两种判据 1 剩余误差观察法 a 剩余误差大体上正负相间 且无显著变化规律 可认为不存在系统误差 b 剩余误差有规律的递增或递减 且在测量开始与结束误差符号相反 则存在线性系统误差 c 变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负 再由负变正 且循环交替重复变化 则存在周期性系统误差 d 则同时存在线性和周期性系统误差 若测量列中含有不变的系统误差 用剩余误差观察法则发现不了 2 累进性系差的判别 马利科夫判据 图2 13 a b 表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差 如由于蓄电池端电压的下降引起的电流下降 在累进性系差的情况下 残差基本上向一个固定方向变化 马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法 具体步骤是 将n项剩余误差 按顺序排列 分成前后两半求和 再求其差值D 当n为偶数时 当n为奇数时 若则说明测量数据存在累进性系差 2 41 3 周期性系差的判别 阿贝 赫梅特判据 周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时 会产生这种周期性系差 如图2 14 a 所示 如钟表的轴心在水平方向有一点偏移 设它的指针在垂直向上的位置时造成的误差为 当指针在水平位置运动时 逐渐减小至零 当指针运动到垂直向下位置时 误差为 如此周而复始 造成的误差如图2 14 b 所示 这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差 阿贝 赫梅特判据具体步骤是 把测量数据I项剩余误差 按测量顺序排列 将 两两相乘 然后求其和的绝对值 2 42 用贝塞尔公式求方差 再与方差相比较 若 2 43 则可认为存在周期性系统误差 存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用 但是 若虽然存在变值系差 而剩余误差最大值处于允许范围以内 则测量数据可用 第2次课到此作业 13 14 17 18 19 20 2 4 3削弱系统误差的典型技术 消除或减弱系统误差应从根源上着手 1 零示法 当检流计G中I 0 G只要示零精度高 2 替代法 置换法 直流电桥平衡条件 步骤 1 调R3 使G 0 R3不动 2 调RS 使G 0 RX RS RS为标准电阻箱可调可读 3 交换法 对照法 第一次平衡 WXl1 W1l2第二次平衡 WXl2 W2L1 WXl1 WXl2 W1l2 W2l1 4 微差法 条件 当待测量与标准量接近时 B XB A 被测电池电压x B A 9 0 1 9 1V测量误差由式 2 44 可求得 0 2 5 0 1 9 0 2 0 05 0 2 可见 采用微差法测量 测量误差主要决定于标准量的误差 而测试仪表误差的影响被大大削弱 本例说明 用误差为5 的电压表进行测量 可得0 2 的测量精确度 应当指出 在现代智能仪器中 可以利用微处理器的计算控制功能 消弱或消除仪器的系统误差 利用微处理器消弱系差的方法很多 如直流零位校准 自动校准 相对测量等 可参阅有关的课程 2 4 4等精度测量结果的数据处理 重点内容 当对某被测量进行等精度测量时 测量值中可能含有系统误差 随机误差和粗大误差 为了给出正确合理的结果 应按下述基本步骤对测得的数据进行处理 1 对测量值进行修正 列出测量值xi的数据表 2 计算算术平均值 3 列出残差 4 按贝塞尔公式计算标准差的估值 5 按莱特准则 或格拉布斯准则 粗大误差 若有粗大误差 应逐一剔除后 重新计算 检查和剔除 和s 再判别 直到无粗大误差 6 判断有无系统误差 如有应查明原因 修正或消除系统误差后重新测量 7 算术平均值标准差的估计值 8 写出最后结果的表达式 即 式中k为置信因子 可查表2 4 例2 14对某电压进行16次等精度测量 测量数据xi中已记入修正值 列于表2 8中 要求给出包括误差在内的测量结果表达式 解 1 求出算术平均值 2 计算 列于表中 并验证 3 计算标准偏差估值 4 按莱特准则判断有无 查表中第5个数据 应将对应 视为粗大误差 加以 剔除 现剩下15个数据 5 重新计算剩余15个数据的平均值 及重新计算 列于表2 8中 并验证 6 重新计算标准偏差 7 按莱特准则再判断 现各 均小于 则认为剩余15个数据中不再含有粗大误差 8 对 作图 判断有无变值系统误差 如图2 18 从图中可见 无明显累进性或周期性系统误差 图2 18残差图 9 计算算术平均值的标准偏差 10 写出测量结果表达式 取置信系数k 3 2 5误差的合成与分配 研究 先讲合成 例 P IU U和 I如何影响 P I U R U和 R如何影响 I 方法 推导一个普遍适用的公式 2 5 1测量误差的合成 1误差传递公式 设 若在 附近各阶偏导数存在 则可把y展为台劳级数 若用 分别表示x1及 x2分项的误差 由于 的中高阶小量可以略去 则总合的误差为 则台劳级数 同理 当总合y由m个分项合成时 可得 即 绝对误差的传递公式 2 45 这是绝对误差的传递公式 例 方案1 方案2 方案3 解 方案1 用公式P IU 由式 2 45 可得 CU CU 则算得功率的相对误差为 P IU U2 R I2R 方案2 用公式P U2 R 由式 2 45 可得 则 求导 方案3 用公式P I2R 由式 2 45 可得 则 式 2 45 是求绝对误差的公式 在已知各分项误差的相对误差 求总的相对误差是不方便的 实际上只要对式 2 45 稍加变换就可以得到求相对误差的公式 将式 2 45 两端同除以y 同时考虑y为x1 x10 x2 x20时的函数值f则 由数学中用对数求导数的方法 用对数求导数 则可求出相对误差 相对误差传递公式 2 46 方案2 用相对误差传递公式 lnP 2lnU lnR 若 的函数关系为和 差关系时 常先求总合的绝对误差 若函数关系为积 商或乘方 开方 关系时 常先求总合的相对误差比较方便 y x1 x2 x3 用哪种方法求相对误差方便 2系统误差的合成 由误差传递公式 很容易求得确定性系统误差的合成值 由式 2 45 一般说来各分项误差 x由系统误差 及随机误差 构成 即 2 47 若测量中各随机误差可以忽略 则总合的系统误差 y可由各分项系统误差合成 2 48 若 1 2 m为确定性系统误差 则可由上式直接求出总合的系统误差 对于各分项系统误差不能确定的情况 我们将在后面讨论 3 随机误差的合成 式 2 47 已给出 若各分项的系统误差为零 则可求得总合的随机误差为 上式是随机误差的符号 实际随机误差应用方差或标准差表征 比较式 2 48 及式 2 49 可重要结论 确定性误差是按代数形式总合 随机误差是按几何形式总合 2 49 2 5 2测量误差的分配 这种制定误差分配方案的工作是经常会遇到的 下面介绍一些常见的误差分配原则 1 等准确度分配 设 0 1 2 副边总电压U 880V 则 测量允许的最大总误差为 U 2 17 6V 例 用量程为500V交流电压表测副边总电压 要求相对误差小于 2 问应选几级电压表 用引用相对误差为 的电压表测量电压时 若电表的满刻度值为Um 则可能产生的最大绝对误差为 这个数值应不大于每个 副圈分配到的测量误差 Ui 即要求 可见选用1 5级 1 5 的电压表能满足测量要求 可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的 而且由于两次测量的电压值基本相同 可根据式 2 51 等准确度分配原则分配误差 则 2 等作用分配 等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等 但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的 即 由式 2 48 及式 2 49 可求出应分配各分项的误差为 2 52 2 53 例2 18通过测电阻上的电压 电流值间接测电阻上消耗的功率 已测出电流为100mA 电压为3V 算出功率为300mW 若要求功率测量的系统误差不大于5 随机误差的标准偏差不大于5mW 问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求 P UI 300mw3v100mA 5 教材p485mW 在按等作用分配原则进行误差分配以后 可根据实际测量时各分项误差达到给定要求的困难程度适当进行调节 在满足总误差要求的前提下 对不容易达到要求的分项适当放宽分配的误差 而对容易达到要求的分项 则可适当把分给的误差再改小些 以使各分项测量的要求不致难易不均 3 抓住主要误差项进行分配 当各分项误差中第k项误差特别大时 按照微小误差准则 若其他项对总合的影响可以忽略 这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题 只要保证主要项的误差小于总合的误差即可 即当 时 就可以只考虑主要项的影响 即 2 54 2 55 主要误差项也可以是若干项 这时可把误差在这几个主要误差项中分配 对影响较小的次要误差项则可不予考虑或酌情分给 少量误差比例 2 5 3最佳测量方案的选择 对于实际测量 我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好 所谓测量的最佳方案 从误差的角度看就是要做到 2 56 2 57 当然 若能使上述各式中每一项都能达到最小 总误差就会最小 有时通过选择合适的测量点能满足这一要求 但是通常各分项误差 是由一些客观条件限定的 所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件 了解各分项误差可能达到的最小数值 然后比较各种可能的方案 选择合成误差最小者作为现有条件下的 最佳 方案 常用选择方法有 1 函数形式的选择 当有多种间接测量方案时 各方案的函数表示式不同 应选其中总合误差最小的函数形式 前述电阻功率例中 当 问采用哪种测量方案较好 方案1 P UI 方案2P U2 R 方案3 P I2R 可见 在题中给定的各分项误差条件下 应选择第一方案P UI 2 测量点的选择 在前面引用 满度 相对误差中曾指出 用指针式三用表电压 电流档测量时 应正确选择量程 使测值靠近满度 即测量点要选在满量程附近 测量结果的相对误差小 对电阻档测量点应选择何处呢 现介绍一般性方法 则 由误差合成公式 2 45 可求得绝对误差为 则相对误差表达式为 令 求极小值 可求得 结论 指针处于中央位置时 测量电阻的相对误差最小 第三次课到此作业 12 21 23 24 25 2 6测量不确定度 2 6 1测量不确定度的概念 以上介绍的测量误差理论虽然很全面和系统 但是被测量的真值还是难以确定 测量结果总是带有不确定性 在国外 推出了以 不确定度 作为测量误差的数字指标 表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的度 是测量理论中很重要的一个新概念 1993年国际标准化组织 国际电工委员会 国际计量局 国际法制计量组织等7个国际组织联合制定发布了 GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement GUM 测量不确定度表示指南 我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨 于1999年发布了适合我国国情的 测量不确定度评定与表示 计量技术规范 JJF1059 1999 这个规范原则上等同采用了GUM的基本内容 是实验测试 产品质量认证和计量检定考核的法律依据 使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨 1 不确定度的定义和分类 测量不确定度从词义上理解 意味着对测量结果有效性的可疑程度或不肯定程度 从传统上理解 它是被测量真值所处范围的估计值 但是真值是一个理想化的概念 实际上往往难以测得 而可以具体操作的则是变化的测量结果 因此 现代的测量不确定度被定义为 不确定度是与测量结果相联系的一种参数 用于表征被测量之值可能的分散性程度 这种测量不确定度的定义表明 Y y U 其中 y 是被测量值的估计 通常取多次测量值的算术平均值 U 是测量不确定度 在UGM中规定 这个参数可以是标准偏差s或是s的倍数ks 也可以是具有某置信概率P 例如P 95 或P 99 下置信区间的半宽 不确定度 标准不确定度 扩展 展伸 不确定度 扩大uC的置信区间 提高置信概率 A类标准不确定度uA 类同随机误差的处理 B类标准不确定度uB 查已有信息求得 合成标准不确定度uC A B类的合成 不确定度分类 2 测量不确定度的来源 测量不确定度来源于以下因素 1 被测量定义的不完善 实现被测量定义的方法不理想 被测量样本不能代表所定义的被测量 2 测量装置或仪器的分辨力 抗干扰能力 控制部分稳定性等影响 3 测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响 4 计量标准和标准物质的值本身的不确定度 在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度 以及在测量过程中引入的近似值的影响 5 在相同条件下 由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性 3 测量不确定度与误差的关系 误差理论中两个重要概念 不确定度是对经典误差理论的一个补充 表2 9误差与不确定度的区别 2 6 2标准不确定度的评定 用标准差表征的不确定度 称为标准不确定度 用u表示 测量不确定度所包含的若干个不确定度分量 均是标准不确定度分量 用ui表示 其评定方法如下 1 A类标准不确定度的评定 A类评定是用统计分析法评定 其标准不确定度u的求法等同于由系列观测值获得的标准差 即A类标准不确定度就等于标准差 即 标准差的求法同前面随机误差的处理方法 具体步骤归纳如下 1 对被测量X进行n次测量 得测值x1 x2 xn 2 求算术平均值 和剩余误差 3 用贝塞尔公式求标准差的估值 2 58 4 求算术平均值标准差的估值 2 59 5 则A类标准不确定度为 2 60 这里需要说明的是 观测次数n应充分多 才能使A类不确定度的评定可靠 一般认为n应大于5 但也要视实际情况而定 当A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时 n不宜太小 反之 n小些关系也不大 2 B类标准不确定度的评定 B类评定不用统计分析法 而是要从 获得信息 然后求出其分布的估计 概率分布假设 和置信区间 要有一定的经验及对一般知识有透彻的了解 即B类标准不确定度 2 61 包含因子k 或称覆盖因子 置信因子 可查表2 10 k一般在2 3范围内 表2 10常用分布与k u xi 的关系 a 1 100 两点 a 2 2 100 反正弦 a 3 3 100 梯形 a 3 100 均匀 矩形 a 6 6 100 三角 a 2 2 95 45 正态 a 3 3 99 73 正态 u xi k p 分布类型 3 例2 22由手册查得纯铜在温度20 时的线膨胀系数a为16 52 并已知该系数a的误差范围为 求线膨胀系数a的标准不确定度 解 根据手册提供的信息可认为a的值以等概率位于区间 至 内 且不可能位于此区间之外 故假设a 服从均匀分布 已知其区间半宽 则纯铜在温度 为20 的线膨胀系数a的标准不确定度为 16 92 3 自由度 1 自由度概念 在方差的计算中 和的项数减去对和的限制数 根据概率论与数理统计所定义的自由度 在n个变量剩余误差 的平方和 如果n个 中 之间存在着k个独立的线性约束条件 即n个变量中 独立变量的个数仅为n k 则称平方和 的自由度为n k 因此若用 贝塞尔公式 2 58 计算单次测量标准差 式中 的n个变量 之间存在唯一的线性约束条件 故 平方和 的自由度为n 1 则由式 2 58 计算的标准差 的自由度 也等于n 1 由此可以看出 系列测量的标准差的可信赖程度与自由度有密切关系 自由度愈大 标准差愈可信赖 由于不确定度是用标准差来表征 因此不确定度评定的质量如何 也可用自由度来说明 每个不确定度都对应着一个自由度 并将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数 所得差值称为不确定度的自由度 2 自由度的确定 1 A类标准不确定度的自由度 对A类评定的标准不确定度 其自由度 即为标准差 的自由度 由于标准差有不同的计算方法 其自由度也有所不同 并且可由相应公式计算出不同的自由度 例如 用贝塞尔法计算的标准差 其自由度 n 1 2 B类标准不确定度的自由度 对B类评定的标准不确定度uB 由相对标准差来确定自由度 其自由度定义为 2 62 式中 u 评定u的标准差 u u一评定u的相对标准差 例如 当 u u 0 5 则u的自由度 2 当 u u 0 25 则u的自由度 8 当 u u 0 10 则u的自由度 50 当 u u 0 则u的自由度 即u的评定非常可靠 表2 11给出B类标准不确定度评定时不同的相对标准差所对应的自由度 2 6 3测量不确定度的合成 1 标准不确定度的合成 当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时 测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度uc表示 这里不讲推导 只介绍应用结论公式 2 67 当不确定度分量相互独立时 ij 0 则 2 67 简化为 2 68 均方根合成 2 扩展 展伸 不确定度 合成标准不确定度可表示测量结果的不确定度 但它仅对应于标准差 由其所表示的测量结果y uc含被测量Y的真值的概率仅为68 然而在一些实际工作中 如高精度比对 一些与安全生产以及与身体健康有关的测量 要求给出的测量结果区间包含被测量真值的置信概率较大 即给出一个测量结果的区间 使被测量的值大部分位于其中 为此需用扩展不确定度 也有称为展伸不确定度 表示测量结果 扩展不确定度由合成标准不确定度uC乘以包含因子k得到 记为U 即 U kuC 用扩展不确定度作为测量不确定度 则测量结果表示为 Y y U 图2 7正态分布下不同区间出现的概率 包含因子k由t分布的临界值tp 给出 即 k tp 式中 是合成标准不确定度uc的自由度 根据给定的置信概率P与自由度 查t分布表 得到tp 的值 当各不确定度分量则相互独立时 合成标准不确定度uc的自由度 由下式计算 2 73 式中 i 各标准不确定度分量ui的自由度 往往由于缺少资料难以确定每一个分量的 i则自由度 无法按式 2 73 计算 也不能按式 2 72 来确定包含因子k的值 为了求得扩展不确定度 一般情况下可取包含因子k 2 3 归纳 Y y U y是被测量值的估计 通常取多次测量值的算术平均值 K的选择由置信概率 常取0 95或0 99 和概率分布 正态分布 t分布 均匀分布等 确定 通常K 2 3 2 6 4测量不确定度应用实例 1 测量不确定度计算步骤 综上所述 评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为 1 分析测量不确定度的来源 列出对测量结果影响显著的不确定度分量 2 评定标准不确定度分量 并给出其数值ui和自由度 i 3 分析所有不确定度分量的相关性 确定各相关系数 ij 4 求测量结果的合成标准不确定度uc及自由度 5 若需要给出扩展不确定度 则将合成标准不确定度uc乘以置信因子k 得扩展不确定度U kuc 6 给出不确定度的最后报告 以规定的方式报告被测量的估计值y及合成标准不确定度uc或扩展不确定度U 并说明获得它们的细节 根据以上测量不确定度计算步骤 下面通过实例说明不确定度评定方法的应用 2 电压测量的不确定度计算 1 测量方法 用标准数字电压表在标准条件下 对被测直流电压源10V点的输出电压值进行独立测量10次 测得值如下 说明 本例中以UD表示电压值 u和U表示不确定度 计算10次测量的平均值得 10 000104V 并取平均值作为测量结果 的估计值 2 不确定度评定 分析测量方法 可知在标准条件下测量 由温度等环境因素带来的影响可忽略 因此对电压测量不确定度影响的因素主要有 标准电压表的示值稳定度引起的不确定度ul 标准电压表的示值误差引起的不确定度u2 电压测量重复性引起的不确定度u3 分析这些不确定度特点可知 不确定度u1 u2应采用B类评定方法 而不确定度u3应采用A类评定方法 下面分别计算各主要因素引起的不确定度分量 1 标准电压表的示值稳定度引起的标准不确定度分量ul在电压测量前对标准电压表进行24h的校准 并知在10V点测量时 其24h的示值稳定度不超过 15 V 取均匀分布 按表2 10得标准电压表示值稳定度引起的不确定度分量为 因给出的示值稳定度的数据很可靠 故取 其自由度 2 标准电压表的示值误差引起的标准不确定度分量u2标准电压表的检定证书给出 其