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四边形周长最小值问题解析 郑永杰 2013年9月22日 四边形周长最小值问题主要有以下几种情形 一 一边长确定 例一 已知抛物线y 与y轴交于点A 0 3 与x轴交于点B 1 0 C 5 0 两点 如图所示 1 求此抛物线的解析式 2 若点D为线段OA的一个三等分点 求直线DC的解析式 3 若一个动点P自OA的中点M出发 先到达x轴上某一点 设为E 再到达抛物线的对称轴上某点 设为F 后到达点A 最后回到点M 求使点P运动的总路程最短的点E 点F的坐标 并求出这个最短总路程的长 小贴士1在一边确定的情况下 要使四边形的周长最小 应通过做已知线段端点的对称点 把另外三条线段转化到一条线段上来 二 相对两边确定 例2 如图 在平面直角坐标系中 矩形OACB的顶点O在坐标原点 顶点A B分别在x轴 y轴的正半轴上 OA 3 OB 4 点D为边OB的中点 1 若点E为边OA上一个动点 当 CDE的周长最小时 求点E的坐标 2 若点E F为边OA上的两个动点 且EF 2 当四边形CDEF的周长最小时 求点E F的坐标 并求CDEF周长的最小值 例3 如图 在平面直角坐标系中 Rt AOB的顶点坐标分别为A 2 0 O 0 0 B 0 4 把 AOB绕点O按顺时针方向旋转90 得到 COD 1 求C D两点坐标 2 求经过A B D三点的抛物线解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上取两点E F E在F上方 且EF 1 当E F在什么位置时 四边形ACEF的周长最小 并求出最小值 小贴士2当四边形中相对两边的长确定时 要使四边形的周长最小 仍然是通过做对称点加平移 把另外两边转化到同一条直线上 三 三边和确定 第四边的长不确定 例4 如图 抛物线y 与x轴交于A B两点 直线BD的函数表达式为y 抛物线的对称轴L与直线BD交于点C 与x轴交于点E 1 求A B C三点坐标 2 若点P为线段AB上的一个动点 点A B不重合 以点A为圆心 以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M 以B为圆心 BP为半径的圆弧与线段BC交于点N 分别连接AN BM MN 求证 AN BM 在点P运动的过程中 四边形AMNB的周长是否有最小值 若有 求出该最小值 如图所示 抛物线y 2x 3与x轴交于A B两点 直线BD的函数表达式为y 抛物线的对称轴l与直线BD交于点C 与x轴交于点E 1 求A B C三个点的坐标 2 点P为线段AB上的一个动点 与点A 点B不重合 以点A为圆心 以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M 以点B为圆心 以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N 分别连接AN BM MN 求证 AN BM 在点P运动的过程中 四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值 并求出该最大值或最小值 小贴士3当一边长确定 另外两边的长不确定 但其和确定时 要使四边形周长最小 只要使第四边最小 为此要把第四边与和确定的两边联系起来 得到关于第四边的函数关系式 再运用函数的有关知识确定第四边的最小值 F 四 相邻两边的长确定 例5 如图 已知A 1 5 B 3 3 C 4 1 在y轴上找一点D 使得四边形ABCD的周长最小 并求出点D的坐标 小贴士4当相邻两边的和确定时 要使四边形的周长最小时 只要使另外两边的和最小 为此用到一个常见的基本图形 如图左 点M N是两定点 点P是直线L上一个动点 作M关于L的对称点M 连结M N交直线L与点P 则PM PN PM PN MM 最小 M M P N 初中数学最值问题说 zhengyongjie2012年12月18日 求最值是近年中考试题的一个热点问题 也是一个难点 笔者根据多年教学经验 结合自己的教学体会 对其进行归纳总结 一 利用轴对称性求最值 例1 如图 在菱形ABCD中 点E F分别为AB BC上的中点 且AB 6 DAB 60 点P是AC上的一个动点 则PE PF的最小值为 变式 菱形两条对角线分别为6 8 其他条件不变 则则PE PF的最小值为 二 把立体转化为平面求最值 例2 如图圆锥的底面半径为1 母线长为3 一只蚂蚁从底面圆周上的点B出发 沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D 问蚂蚁眼怎样的路线爬行 使路程最短 最短路程是多少 三 利用点到直线的距离垂线段最短求最值 例3 如图 在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心 该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60 的BD方向移动 在距离台风中心130km内的地方都要受其影响 1 台风中心在移动的过程中 与气象台A的最短距离是多少 2 台风中心在移动过程中 气象台将受到台风的影响 求台风影响气象台的时间会持续多长 四 利用换元法求最值 例4 求函数y 2x 1的最大值 五 利用根的判别式求最值 例5 讨论函数的最值 七 利用构造几何图形求最值 例7 已知a b是正数 且a b 2 求的最大值和最小值 六 利用韦达定理求最值若a b为实数 且令k 试求k的最大值和最小值 八 构造函数模型 利用函数的增减性求最值 例8 抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全 决定将甲乙两个粮库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A B两仓库 已知甲库有粮食100吨 乙库有粮食80吨 而A库的容量为70吨 B库的容量有110吨 从甲乙两库到A B两库的路程和运费如下表 表中 元 吨 千米 意思是每吨粮食运送1000米所需人民币 1 若甲库运往a库粮食x吨 写出将粮食运往ab两库的总运费y元与x吨的函数关系 2 当甲乙两库各运往ab两库多少吨粮食时 总运费最省 最省的总运费是多少 九 变式题目要有代表性 通性通法 1 题目类型要有代表性 题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容 具有一定的综合性 如 复习一元二次方程时 可设计如下题目 已知 x x 1 0 不解方程求下列算式的值 1 2 3 4 上述小题包括了代数式变形的主要方式 通分 整体代换 分解因式 整式乘法 其他变形题目均为这四种方式或者他们的组合 学生通过这一题目就可以归纳出此类题目的主要解决方式 要选择体现 通性通法 即包含最基本的数学思想方法的题目 不要追求偏 怪 难 最好是一题多解 一题多变 的训练题 比如复习三角形中角度求法时 设计如下题目 如图 ABC中 AB AC 两底角平分线BD CE相交于点O A 50 求 BOC的度数 若把条件 AB AC 去掉 其他条件不变 BOC的度数还能求出吗 请说明理由 如图 OP是 AOB的平分线 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形 请你参考这个作全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在 ABC中 ACB是直角 B 60 AD CE分别是 BAC BCA的平分线 AD CE相交于点F 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系 2 如图 在 ABC中 如果 ACB不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 盐城市2011 27 情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开 得到 ABC和 A C D 如图1所示 将 A C D的顶点A 与点A重合 并绕点A按逆时针方向旋转 使点D A A B在同一条直线上 如图2所示 观察图2可知 与BC相等的线段是 CAC 图1图2 问题探究如图3 ABC中 AG BC于点G 以A为直角顶点 分别以AB AC为直角边 向 ABC外作等腰Rt ABE和等腰Rt ACF 过点E F作射线GA的垂线 垂足分别为P Q 试探究EP与FQ之间的数量关系 并证明你的结论 图3 拓展延伸如图4 ABC中 AG BC于点G 分别以AB AC为一边向 ABC外作矩形ABME和矩形ACNF 射线GA交EF于点H 若AB kAE AC