§8.2--单摆--受迫振动--共振.doc

8.2 单摆 受迫振动 共振一、单摆1、定义：在一条不易伸长的，忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，构成的装置叫做单摆。2、单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角。3、回复力来源：单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。注意：最高点：向心力为零，回复力为最大，合外力等于回复力；最低点：向心力最大，回复力为零，合外力等于向心力。4、周期公式：强调：单摆的周期与振幅和质量无关；秒摆：周期为2s的单摆其摆长约为lm。是等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。lR图1 图2g为等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。不同星球表面，。单摆处于超重或失重状态等效重力加速度分别为，如轨道上运行的卫星，完全失重，等效。不论悬点如何运动还是受别的作用力，等效的重力加速度g的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力F与摆球质量的比值，即等效。摆钟快慢问题的分析方法（超纲）、单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数），再由频率公式可以得到：摆钟快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，若摆钟周期T大于其准确钟的周期T0，则为慢钟；若摆钟周期T小于其准确钟的周期T0，则为快钟。由摆钟的机械构造所决定，无论准确与否，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间都为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T0。因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期T0，即，所以在同一时间t内，钟面指示时间之比等于摆动次数之比。对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除以其周期，而应以准确时间除以其周期，即。二、简谐运动的能量振动过程是一个动能和势能不断转化的过程。在任意时刻动能和势能之和等于振动物体的总机械能。简谐运动中机械能守恒，振动的振幅越大，能量越大。机械能等于它在平衡位置的最大动能或等于它在最大位移时的势能。对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和。三、阻尼振动、受迫振动和共振1阻尼振动和无阻尼振动：振幅越来越小的振动叫做阻尼振动。振幅不变的的振动是等幅振动，也叫做无阻尼振动。Aff固2受迫振动：物体在外界周期性驱动力作用下的振动。物体作受迫振动达到稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关。3共振：当驱动力的频率等于物体的固有频率时发生共振，共振时振幅最大。4受迫振动的振幅与驱动力频率f的关系图：例题精析：例题1：如图为一单摆及其振动图象，回答：（1）单摆的振幅为 ，频率为 ，摆长为 ，一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为 解析：由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3crn横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期 T=2s，进而算出频率f=1/T=0.5Hz，算出摆长l=gT2/42=1m从图中看出纵坐标有最大值的时刻为05 s末和15s末（2）若摆球从E指向G为正方向，为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的 点一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是 。势能增加且速度为正的时间范围是 解析：图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正且增大A处最大，历时1/4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应GA到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点 摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1520s间 摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从 E向G的过程在图象中为从O到A，时间范围是005 s间（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（） A位移；B速度；C加速度； D动量；E动能；F摆线张力解析：过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcosm v2/L也不变；由运动分析，相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选B、D 如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的？ 从（1）、（2）、（3）看出，解决此类问题的关键是把图象和实际的振动一对应起来（4）当在悬点正下方O/处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且则单摆周期为 s比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力 解析：放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆线长为lm，所以T左=1s：钉右侧的半个周期T右=05s，所以TT左十T右=15s 由受力分析，张力T=mgmv2/L，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的1/4所以挡后绳张力变大（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？解析：问题的关键要分析在线断的时间，摆球所处的运动状态和受力情况在最大位移处线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体运动在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以做平抛运动例题2：有一个单摆，其摆长l=102m，摆球的质量m01kg，从和竖直方向成摆角= 40的位置无初速度开始运动（如图所示），问：（1）已知振动的次数n30次，用了时间t608 s，重力加速度g多大？（2）摆球的最大回复力多大？（3）摆球经过最低点时速度多大？（4）此时悬线拉力为多大？（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？为什么？（取sin4000698，cos40 09976，314）【解析】（1）50，单摆做简谐运动，其周期T=t/n=608/30 s2027 s，根据T=2得，g=4102/20272=9791 m/s2。（2）最大回复力为 F1mgsin4o=01979100698 N0068 N（3）单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力，机械能守恒，其总机械能E等于摆球在最高处的重力势能E，或在最低处的速度 v=0219 m/s。（4）由Tmg=mv2/L得 悬线拉力为T=mg十mv2/L=0l10十0l02l92/102052 N（5）秒摆的周期T=2 s，设其摆长为L0，根据T=2得，g不变，则T即TT0= 故L0= T02L/T2=22 l02/ 20272=0993m，其摆长要缩短LLL0l02 m0993 m=0027m例题3：如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的线，下端悬挂一个摆球B，质量为m，设B摆小球作小幅度振动，求振动周期。【分析】将2m的A球和m的B球组成系统为研究对象，系统的重心O点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。【解析】A和B两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此A和B速度之比跟质量成反比，即vA/vB=mB/mA=1/2因此A和B 运动过程中平均速度/=1/2，亦即位移 SA/SB1/2。，因为OAA/OBB/，则OB/OA2/1。对B球来说，其摆长应为2/3 L，因此B球的周期T2。说明：据动量守恒条件，2m在A位置时，m在 B位置，当2 m运动到A/时，m运动到B/。例题4：如图所示，三根细线OA, OB,OC结于O点，A,B端固定在同一水平面上且相距为L，使AOB成一直角三角形，BAO = 300，已知OC绳长也为L，下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法中正确的是300BACOA、当小球在纸面内做小角度振动时,周期为：B.当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为C.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为D.当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为解析:当小球在纸面内做简谐振动时，是以0点为圆心,OC长L为半径做变速圆周运动，OA和OB绳没有松弛，其摆长为L,所以周期是；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球是以OC的延长线与AB交点为圆心做振动,其等效的摆长为L十Lsin600/2=L十L/4 ,其周期为,故选A. 拓展:若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗，在漏斗摆动的过程中，让沙子匀速的从漏斗底部漏出，则单摆的周期如何变化?(因沙子遂渐漏出，其重心的位置先下移后上升，等效摆长先增加后减小，所以周期先变长后减小）。例题5：在图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是（ ） A、T1T2T3T4； B、T1T2=T3T4 C、T1T2=T3T4、； 、 D、T1T2T3T4【解析】单摆的周期与重力加速度有关这是因为是重力的分力提供回复力当单摆处于（1）图所示的条件下，当摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量（mgsin）沿切向分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆是减小的，则运动中的加速度减小，回到平衡位置的时间变长，周期T1T3对于（2）图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回复力，故单摆的周期不变，T2=T3在（4）图所示的条件下，单摆与升降机一起作加速上升的运动，也就是摆球在该升降机中是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动的切向分量也增大，也就是回复力在增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小，T4T3综上所述，只有C选项正确 点评：对于单摆的周期公式，在摆长不变的条件下，能影响单摆振动的周期的因素就是运动过程中的回复力发生的变化，回复力增大，周期变小，回复力变小，周期变大这是判断在摆长不变时单摆周期变化的唯一例题6：有一摆钟的摆长为ll时，在某一标准时间内快amin。若摆长为l2时，在同一标准时间内慢bmin。，求为使其准确，摆长应为多长？（可把钟摆视为摆角很小的单摆）。【解析】设该标准时间为ts，准确摆钟摆长为lm，走时快的钟周期为T1s，走慢时的周期为T2s，准确的钟周期为T3。不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时间都是Ts。（法一）由各摆钟在ts内钟面上显示的时间求解， 对快钟： t60a=T；对慢钟： t 60a=T联立解，可得= 最后可得L=。（法二）由各摆钟在ts内的振动次数关系求解：设快钟的 t s内全振动次数为 nl，慢钟为 n2，准确的钟为n。显然，快钟比准确的钟多振动了60a/T次，慢钟比准确的钟少振动60b/T次，故： 对快钟：nlt/T1n60a/Tt/T+60a/T 对慢钟：n2t/T2n60b/Tt/T60b/T联解式，并利用单摆周期公式T2同样可得L=点窍：对走时不准的摆钟问题，解题时应抓住：由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T。例题7：（1998年全国）图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好触现将摆球A在两摆线所在平面向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两球分开各自做简谐运动以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（ ）A如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种可能:碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇. 因此，不管mAmB，还是mAmB 还是mAmB ，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C、D正确拓展:两球的碰撞是否是弹性碰撞?例题8：如图所示，两个完全相同的弹性小球1,2，分别挂在长L和L/4的细线上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第10次碰撞？解析:因将第1个小球拉开一个不大的距离，故摆动过程应符合单摆的周期公式有，,系统振动周期为，在同一个T内共发生两次碰撞，球1从最大位移处由静止释放后经发生10次碰撞，且第10次碰后球1又摆支最大位移处. 例题9：一单摆的摆长为L，摆球的质量为m，原来静止，在一个水平冲量I作用下开始摆动此后，每当摆球经过平衡位置时，便给它一个与其速度方向一致的冲量I，求摆球经过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到？（50，不计阻力，所施冲量时间极短）解析：设摆球经过平衡位置的次数为n，则摆球达最大偏角时需用时间t=（nl）十 由动量定理和机械能守恒定律得：nImv mv2=mgl（1cos）单摆周期 联立式得：例题10：如图所示，AB为半径R=7.50 m的光滑的圆弧形导轨，BC为长s0.90m的光滑水平导轨，在B点与圆弧导轨相切,BC离地高度h1.80 m，一质量m10.10 kg的小球置于边缘C点，另一质量m20. 20 kg的小球置于B点，现给小球m1一个瞬时冲量使它获得大小为0.90 m/s的水平向右速度，当m1运动到B时与m2发生弹性正碰，g取10 m/s2，求：（1)两球落地的时间差t； (2)两球落地点之间的距离s.解析:(1 )m1与m2发生弹性正碰，则设碰后m1和m2速度分别为v1/和v2/，有得v1一0.3 m/s,v2=0. 6 m/s可见m1以0. 3 m/s速度反弹，从B到C,t=s/v1/=3s, m2以0. 6 m/s速度冲上圆弧轨道，可证明m2运动可近似为简谐运动，在圆弧上运动时间为2.72 s,再从B到C, t2 =s/v2/=1.5s则tt2T/2一t1=1.22 s. (2）利用平抛运动知识不难求得s0.18 m.例题11：如图所示，a、b、Co 质量相等的三个弹性小球（可视为质点），a、b分别悬挂在L1=1.0m，L2=0.25 m的轻质细线上，它们刚好与光滑水平面接触而不互相挤压，ab相距10cm。若c从a和b的连线中点处以v0=5 cm/s的速度向右运动，则c将与b和a反复碰撞而往复运动。 已知碰撞前后小球c均沿同一直线运动，碰撞时间极短，且碰撞过程中没有机械能损失，碰撞后a和b的摆动均可视为简谐振动。以c球开始运动作为时间零点，以向右为正方向，试在图中画也在l0s内C、b两球运动的位移时间图像，两图像均以各自的初位置为坐标原点。（运算中可认为）【答案】如图例题12：有几个登山运动员登上一无名高峰，但不知此峰的高度，他们想迅速估测出高峰的海拔高度，但是他们只带了一些轻质绳子、小刀、小钢卷尺、可当作秒表用的手表和一些食品，附近还有石子、树木等，其中一个人根据物理知识很快就测出了海拔高度，请写出测量方法，需记录的数据，推导出计算高峰的海拔高度的计算式解析:用细线和小石块做一个单摆，量出摆线长L1，并测出单摆周期T1.设小石块重心到细线与小石块的连接处的距离为d，则改变摆线长为L2,测出周期T2，则可得当地重力加速度为又由，得例题13：在长方形桌面上放有：秒表、细绳、铁架台、天平、弹簧秤、钩码，怎样从中选取器材可较为准确地测出桌面面积S？并写出面积表达式【解析】用细绳量桌面长，并用此绳（包括到钩码重心）、钩码、铁架台做成单摆，由秒表测出其振动周期T1；同理量桌面宽，做单摆，测出周期T2 答案：S=巩固练习：1.(07黄冈月考)将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力,如图所示,(甲)图中O点为单摆的悬点,现将小球(可视为质点)拉到A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动,其中B点为运动中最低位置, AOB =COB=, 小于10且是未知量.图(乙)表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线,且图中t =0时刻为摆球从A点开始运动的时刻,根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)求:(1)单摆的周期和摆长;(2)摆球的质量;(3)摆动过程中的最大速度.答案： (1)T=0.4s L =0.4 m(2)0.05 kg(3)0.283 m/s2.有一秒摆,悬点为O,在O点正下方O处有一钉子,如图甲所示,摆从平衡位置向左摆时摆线碰到钉子摆长改变,从平衡位置向右摆时又变为原摆的长度,其振动图象如图乙所示(g=2),则 ( ) A.此摆的周期为2 sB.悬点离钉子的距离为0.75 mC.碰到钉子瞬间,摆球的动量大小不变D.碰钉子后,摆球的角速度增大答案 BCD3.将一单摆向左拉至水平标志线上,从静止释放,当摆球运动到最低点时,摆线碰 到障碍物,摆球继续向右摆动.用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频 闪照