立体几何中的向量方法求距离.ppt

立体几何中的向量方法 二 求空间距离 1 点到平面的距离 定义 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离 即这个点到平面垂线段的长度 几何法 利用定义先作出点P到平面的垂线段PO 再归结到某三角形中计算PO的长度或用等体积法 点到平面的距离公式 如图 设P是平面 外一点 点P到 的距离为d 作PO 于O A是 内任一点 n是平面 的法向量 则 O d 例1 已知正方形ABCD的边长为4 CG 平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离 D A B C G F E 解 如图所示建立空间直角坐标系 则 S B C D A 解 如图所示建立空间直角坐标系 则C 1 1 0 练习1 如图SA 平面ABCD DAB ABC 90 SA AB BC 1 AD 2 求点A到平面SCD的距离 2 直线到平面的距离 定义 与平面平行的直线上任一点到平面的距离 叫做这条直线到这个平面的距离 由以上定义可知 直线与平面的距离 本质上是点到平面的的距离 所以 计算公式还是 A O 如图建立直角坐标系 则B 2 2 0 练习2 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 M N分别是BC和CD的中点 求直线BD与平面C1MN的距离 x y z 解 BD 平面C1MN 只需求点B与平面C1MN的距离 3 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线 叫做这两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做这两个平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段都相等 公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 求两平行平面的距离 其实就是求点到平面的距离 所以计算公式还是 d A O P 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 E F M N分别为A1B1 A1D1 B1C1 C1D1的中点 1 求证 平面AEF 平面BDMN 2 求平面AEF和平面BDMN的距离 x y z O 例2 4 异面直线的距离 和两条异面直线都垂直相交的直线 叫做两条异面直线的公垂线 两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分 叫做这两条异面直线的公垂线段 两条异面直线的公垂线的长度 叫做两条异面直线的距离 异面直线的距离公式 如图 设CD是异面直线a b的公垂线段 P是直线a上任意一点 A是直线b上任意一点 两条异面直线的距离为d 是与异面直线a b都垂直的向量 则 d b A P C D a 例3 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 求异面直线DA1与AC的距离 A B D C A1 B1 C1 D1 x y z 解 如图建立空间直角坐标系 则 A B C D M N 练习3 在长方体ABCD A1B1C1D1中AB 4 AD 3 AA1 2 M N分别为CD BB1的中点 求异面直线MN与A1B的距离 5 点与直线的距离 定义 从直线外一点P向直线引垂线 点P和垂足O之间的距离叫做点P到直线的距离 d P A O 设A是上不同于垂足O的一点 是的方向向量 则 点与线的距离的计算方法较多 下面介绍一种 例4 三棱锥P ABC的三条侧棱两两垂直 且PA PB 3 PC 6 D是PC的中点 G是 ABC的重心 求G到直线AD的距离 A B C x y z p G D 解 如图建立空间直角坐标系 由重心坐标公式得G 1 1 2 小结 1 空间距离包括点与点 点与线 点与面 线与线 平行或异面 线与面 面与面六种形式 但可化归为点与点 点与线 点与面 线与线 异面 四种形式 2 点与面 线与面 面与面 线与线 异面 有统一形式的计算公式 补充 如图 已知一个结晶体的形状为平行六面A