第02章 平面问题的基本理论_all.ppt

第二章平面问题的基本理论 本章将系统地平面问题的基本理论 基本方程和边界条件 及两种基本解法 是弹性力学中最具典型性和代表性的内容 是后续内容学习的基础 要求掌握的内容如下 1 两类平面问题的定义 2 关于一点应力状态的分析 3 平面区域内的平衡微分方程 几何方程与物理方程 4 平面边界上的应力和位移边界条件的建立 及圣维南原理的应用 5 按位移求解方法和按应力求解方法 本章学习指南 为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论 要求做到 1 清楚地了解上述有关问题的提出与分析的方法 2 自己动手推导公式 以加深理解 3 及时对内容进行总结 掌握其要点 本章学习指南 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 1平面应力与平面应变问题 任何一个弹性体是空间物体 外力为空间力系 实际的弹性力学问题都是空间问题 空间问题的简化与近似 当弹性体具有特殊形状 承受特殊的外力与约束时 可进行简化 使得分析与计算工作量大大减少 所得结果仍然可以满足工程精度要求 平面问题 哪些问题可简化为平面问题 1 平面应力问题 平面应力问题条件 很薄的等厚度薄板 厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度 其所受体力 面力和约束均平行于板面 即只是Oxy面内的量 并沿厚度方向不变 薄板的两个表面不受任何外力和约束的作用 1 平面应力问题 构件几何特征 很薄的等厚度薄板 厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度 薄板的中面为平面 表面面力边界条件 表面不受外力作用 外力与约束 其所受体力 面力和约束均平行于中面Oxy面内 并沿厚度方向Oz不变 而且薄板的两个表面不受外力作用 因此应力沿厚度方向不变 因此只剩下Oxy面内的三个应力分量 且只是坐标x y的函数 沿厚度方向Oz不变 即 应力分量分布特点 由于板很薄 外力沿厚度均匀分布 同时应力沿厚度还是连续分布的 因此应力分量也沿厚度均匀分布 所以板中各点均有 1 平面应力问题 应变分量分布特点 应变分量也只是坐标x y的函数 沿厚度方向Oz不变 且gzx gzy 0 但ez 0 这表明薄板变形时 两底面将发生畸变 但是由于平板很薄 这种畸变也是很小的 1 平面应力问题 平面应力问题小结 1 平面应力问题 就是只有平面应力分量 sx sy和txy 存在 且仅为x y的函数的弹性力学问题 2 厚度较薄的浅梁和深梁 受上部荷载及自重的墙 平板坝的平板支墩等 都属于平面应力问题 2 平面应变问题 平面应变问题条件 弹性体为等截面的很长柱体 体力 面力和约束条件均平行于横截面且不沿长度方向变化 即只有Oxy平面内的体力 面力和约束 且沿z方向不变化 2 平面应变问题 构件几何特征 具有很长纵向轴的柱形体 横截面大小和形状沿轴线长度不变 位移矢量分布特点 只沿x和y方向移动 沿轴线方向位移为0 即u u x y v v x y w 0 外力与约束 体力 面力和约束与纵向轴垂直 即平行于横截面 并且沿长度不变 柱体的两端受固定约束 2 平面应变问题 应变分量分布特点 应变分量为坐标x y的函数 沿z方向为0 即ez gxz gyz 0 只剩下oxy平面内的三个应变分量 应力分量分布特点 应力分量也是坐标x y的函数 沿z方向的切应力为0 即txz tyz 0 由于沿z方向的伸缩要受到约束 故sz 0 2 平面应变问题 平面应变问题小结 1 平面应变问题 就是只有平面应变分量 ex ey和gxy 存在 且仅为x y的函数的弹性力学问题 2 挡土墙 很长的管道和隧洞问题 尽管不是无限长 但对于离开两端较远处 可按平面应变问题来分析计算 结果在工程上是可用的 平面问题的总结 平面问题的总结 平面问题特点 1 基本未知量为8个 均为平面 oxy面 内的物理量 2 所有未知量仅是x和y两个变量的函数 3 相对于空间问题 其基本物理量 基本方程均减少 使得它比一般空间问题简单得多 4 主要有两类 平面应力 平面应变 例题 例1 本章习题2 1 如果某一问题中 sz tzx tzy 0 只存在平面应力分量sx sy和txy 且它们不沿z方向变化 仅为x y的函数 试考虑此问题是否就是平面应力问题 例2 本章习题2 3 如图2 11 试分析说明 在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中 其应力状态接近于平面应力的情况 例题 例3 如图所示的几种受力体是否是平面问题 若是 则是平面应力问题 还是平面应变问题 平面应力问题 薄板弯曲问题 平面应变问题 空间问题 空间问题 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 2平面问题的平衡微分方程 平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条件 根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力分量与体力分量之间的关系 如图 在弹性体内任一点取一微小的正平行六面体 其x y方向的尺寸分别为dx dy 为计算方便 设它在z方向的尺寸为单位长度1 平面问题的平衡微分方程 由于六面体是微小的 各面上的应力可认为是均匀分布 且作用于对应面的中心 同理 六面体所受的体力也可以认为是均匀分布 且作用于它的体积的中心 一般而论 应力分量是变量x和y的函数 作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同 具有微小的差量 平面问题的平衡微分方程 2 由通过中心C点并平行于z轴的直线为转轴 列出力矩的平衡条件 并利用小变形假设 可推导出 切应力互等定理 即txy tyx 3 由x轴和y轴两个方向的平面力系的平衡条件 可推导出 平衡微分方程 即 1 利用连续性假设 根据Taylor级数展开式 略去高价项 可求出各面上的应力分量 平衡微分方程 注意事项 列平衡条件时 应力和体力应分别乘以其作用面积和体积 才能得到合力 应用了两个基本假设 连续性假设 不同面间应力分量采用泰勒级数展开 和小变形假设 受力变形前后微分体尺寸不变 这也是其适用的条件 平衡微分方程中各个量的量纲都相同 其中第一式的各项为x方向的力 第二项为y方向的力 平衡微分方程 注意事项 平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同 平面应变问题中的正应力sz不影响方程的推导 平面问题的平衡微分方程有2个方程 但包含有3个未知函数 只根据静力学条件无法定解 即是超静定的 要想定解 还必须考虑几何学和物理学方面的条件 平衡微分方程表示了平面区域内任意点的微分单元体的平衡条件 必然保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的 因而所考虑的静力学条件是严格和精确的 例题 例2 2 1 如图所示单位宽度薄板悬梁 跨度为l 其上表面承受三角形分布载荷作用 体力不计 试根据材料力学中的应力表达式 由平衡微分方程导出另两个应力分量 例题 解 1 将sx代入平衡微分方程第一式 2 将txy代入平衡微分方程第二式 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 3平面问题中一点应力状态分析 应力是与作用面有关的 sx sy和txy作为基本未知函数 只是表示一点的坐标平面上的应力分量 左图 而校核强度时需要知道过此点的任意斜面上的应力p 而斜面上的全应力又可以按坐标轴分解为 px py 也可沿法向和切向分解为正应力sn和和切应力tn 右图 2 3平面问题中一点应力状态分析 1 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p 2 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力sn和切应力tn 3 若经过该点的某一斜面上的切应力为0 求此斜面上的主应力s和应力主方向a 4 求经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值 一点应力状态分析就是求解上述有关应力分量 具体为 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 求解如下四个问题 过一点任意斜面的全应力 问题1 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p 取如图所示的微分三角板或三棱柱PAB 当平面AB无限接近于P点时 该平面上的应力即为所求 根据该微分单元的力系平衡条件 在x和y轴方向上合力为0 从而有 过一点任意斜面的正应力与切应力 问题2 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力和切应力 平面AB上的正应力sn即为上面所求的全应力p向法线方向n的投影 平面AB上的切应力tn即为上面所求的全应力P向切线方向的投影 或 过一点任意斜面的主应力与主方向 问题3 若经过该点的某一斜面上的切应力为0 求此斜面上的主应力s和应力主方向a 设如图所示的斜面上切应力为0 则该面上的全应力等于正应力 也等于主应力 于是有 又由于有 过一点任意斜面的主应力与主方向 从而有关于方向余弦l m的线性方程组 有 展开得平面问题的主应力特征方程 由求根公式有 过一点任意斜面的主应力与主方向 下面求应力主方向 将所求主应力s2代入第二个方程 两个应力主方向是相互垂直的 将所求主应力s1代入第一个方程 过一点任意斜面的应力极值 问题4 已知任一点处两个主应力s1和s2 及其应力主方向 可求得经过该点正应力 切应力的最大和最小值 为了分析简便 选取x轴和y轴分别与两个应力主方向一致 则该点的应力分量为sx s1 sy s2 txy 0 先求正应力的极值 上式代入正应力公式 2 4 并利用两个方向余弦平方和为1 得sn s1 s2 l2 s2 由此可知 两个主应力就是正应力的最大和最小值 过一点任意斜面的应力极值 再求切应力的极值 将sx s1 sy s2 txy 0代入切应力公式 2 5 并利用两个方向余弦的平方和为1 得 由此可知 当l2 0 5 s1 s2时 切应力的最大和最小值如下 其作用平面的法线方向与x轴和y轴成45 角 一点应力状态分析 总结 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 可求解如下四个问题 1 任何斜面上的应力p 2 任何斜面上的正应力sn和切应力tn 一点应力状态分析 总结 4 经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值 3 主应力s和应力主方向a 例题 例2 3 1 在负载结构中 某点O处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示 平面应力状态 试求 1 主应力的大小及方向 2 沿与水平面成30 倾角的微面上的全应力和正应力 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 4几何方程及刚体位移 平面问题的几何方程是考虑平面问题的几何学条件 根据弹性体内微分线段及角度的几何学知识来推导出形变分量与位移分量之间的关系 与推导平衡微分方程一样 平面问题的几何方程也是要从微分角度导出 这样结果才是精确的 几何方程及刚体位移 如图所示 考虑弹性体内任意点P x y 沿x y方向取两个微小长度的线段PA和PB分别为dx dy 受力变形后P A和B分别移动到P A 和B 1 设P点的位移分量分别为u和v 利用连续性和小变形假设 根据Taylor级数展开式 略去高阶项 可求出A和B的位移分量 几何方程及刚体位移 2 由线应变的定义 可得出线段PA的相对伸缩量如下 即x方向的线应变 由于位移微小 y方向的位移引起的PA伸缩量是高一阶的微量 忽略不计 3 同理 线段PB的相对伸缩量 即y方向的线应变 如下 几何方程及刚体位移 4 由切应变的定义 可得出线段PA和PB之间的直角的改变量 即切应变 由两部分组成 一部分由y方向的位移v引起 即x方向的线段PA的转角 另一部分由x方向的位移u引起 即y方向的线段PB的转角 由此 几何方程及刚体位移 于是 线段PA和PB之间的直角的改变量 即切应变 如下 综合上述三式 就是平面问题中的几何方程 如下 几何方程及刚体位移 平面问题的几何方程适用于两类平面问题意义 平面区域内任一点的微分线段上的形变与位移之间的几何关系 实质上是一种变形的连续性条件 物体在变形前后都是连续的 适用条件 与平衡微分方程一样 满足连续性和小变形假定 几何方程及刚体位移 考虑应变分量全为0的特殊情况 即 无形变 时 由几何方程 仍存在位移解 其中u0和u0分别为物体沿x轴和y轴方向的刚体平移 而w为沿物体绕z轴的刚体转动 当位移分量完全确定时 形变分量即完全确定 当形变分量完全确定时 位移分量却不能完全确定 3个方程 2未知数 为什么 几何方程及刚体位移 对于上述形变和位移之间的关系 可作如下讨论 1 如果物体的位移确定 则形变完全确定 从物理概念角度 当物体变形后各点的位置完全确定时 任一微分线段上的形变也完全确定 从数学推导也可见 当位移函数确定时 其导数也就确定 即形变分量也完全确定 2 当物体的形变确定时 位移不完全确定 从物理概念角度 当保持物体内部形变不变的条件下 物体还可作刚体运动 平移和转动 从数学角度看 由形变求位移是一个积分过程 在常微分中会出现一任意常数 在偏微分中会出现一个与积分变量无关的未定任意函数 该未定项就是刚体平移和刚体转动量 几何方程及刚体位移 综上所述 当形变确定时 与形变有关的位移可以确定 而与形变无关的刚体位移尚未确定 须通过边界上的约束条件来确定 例题 例2 4 1 当应变为常量时 ex a ey b gxy c 试求对应的位移分量 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 5平面问题的物理方程 物理方程 考虑平面问题的物理学条件而得出的应力与应变的关系 又称本构方程和广义胡克定律 E为拉压弹性模量 杨氏模量G为剪切弹性模量m为横向变形系数 泊松比 对于理想弹性体 有 平面应力问题的物理方程 将平面应力问题的条件sz tzx tzy 0代入物理方程 可得 平面应变问题的物理方程 将平面应变问题的条件ez gzx gzy 0和w 0代入左式 可得 并有sz m sx sy 和tzx tzy 0 两类平面问题的物理方程比较 平面应变问题的物理方程 平面应力问题的物理方程 将平面应力问题物理方程中的E和m作如下替换 可得平面应变问题的物理方程 平面问题的基本方程 从平面问题的三套基本方程可见 对于两类平面问题 除了物理方程中的有关系数要进行相应的变换外 其它的平衡微分方程和几何方程完全相同 平面问题的基本方程共有8个 2个平衡微分方程 3个几何方程 3个物理方程 这8个基本方程包含8个未知函数 坐标的未知函数 3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量 要想求解这些未知函数 还必须考虑弹性体边界上的条件 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 6平面问题的边界条件 边界条件 表示边界上位移与约束 或应力与面力之间的关系式 又分为位移边界条件 应力边界条件和混合边界条件 1 位移边界条件 若给定了部分边界上的约束位移分量 则边界上每一点的位移函数应满足如下条件 其中等式左边是位移的边界值 而等式右边则是边界上的约束位移分量 是边界上坐标的已知函数 对于完全固定的边界 其约束位移分量均为0 平面问题的边界条件 2 应力边界条件 若给定了部分边界上面力分量 则由边界上任意点的静力平衡条件 导出边界上每一点的应力与面力的关系式 其中等式左边是应力分量的边界值 而等式右边则是边界上的面力分量 是边界上坐标的已知函数 l和m为该点处边界面外法线的方向余弦 平面问题的边界条件 对于应力边界条件 必须很好地理解和掌握 应注意以下几点 1 应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间的关系 它是函数方程 在边界上每一点都应满足 2 公式 2 3 表示的是区域内任一点的斜面上的应力分量与坐标面上的应力分量之间的关系 适用于平面区域内任一点 而边界条件 2 15 只能应用于边界上 因此 必须将边界S的方程代入 2 15 的应力表达式中 平面问题的边界条件 3 注意式 2 15 中的面力和应力具有不同的正负号规定 且分别作用于通过边界点的不同面上 外法线方向余弦则按三角公式确定正负号 4 平面问题中应力边界条件都是两个 分别表示x和y两个方向的条件 它是边界上微分体的平衡条件 也属于静力学条件 平面问题的边界条件 对于边界面为坐标面的情形 应力边界条件 2 15 可进行简化如下 由于面力和应力具有不同的正负号规定 因此 在正负坐标面上 表达式中的符号是不相同的 在正坐标面上 应力分量与面力分量同号 在负坐标面上 应力分量与面力分量异号 若x a为正x面 若x b为负x面 平面问题的边界条件 由上可知 应力边界条件可采用两种表达形式 1 在边界上取出一个微分体 考虑其平衡条件 便可得出应力边界条件 2 15 或其简化式 2 在同一边界面上 应力分量应等于对应的面力分量 数值相同 方向一致 由于面力的数值和方向是给定的 因此 在同一边界面上 应力的数值应等于对应的面力的数值 而面力的方向就是应力的方向 例如 在斜面上 在正负坐标面上 如同前述简化式 平面问题的边界条件 混合边界条件 一部分边界具有已知位移 因而具有位移边界条件 如式 2 14 另一部分边界具有已知面力 因而具有应力边界条件 如式 2 15 另外 在同一部分边界上还可能出现混合边界条件 即两个边界条件中 一个是位移边界条件 而另一个是应力边界条件 例题 例2 6 1 如图 为左侧受静水压力 下边固定的水坝 试写出其应力边界条件 固定边不写 右侧面 左侧面 例题 例2 6 2 如图 为上 下边分别受均布力作用的三角形悬臂梁 试写出其应力边界条件 固定边不写 上边界 下边界 l sin m cos 面力 体力符号规定 思考题 思考题 如图所示 薄板条在y方向受均匀拉力作用 视为平面应力问题 试证明在板中间突出部分的尖端A处无应力存在 注 Ox是角平分线 边界AC上 l cos 1 m sin 1 边界AB上 l cos 2 m sin 2 边界A点 上述四式成立 1 2 可得 思考题 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 7圣维南原理及应用 弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基本方程 弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移满足边界条件 对于工程实际问题 构件表面面力或者位移是很难完全满足这个要求 这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制 为了扩大弹性力学解的适用范围 放宽这种限制 圣维南提出了局部影响原理 圣维南原理主要内容 如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系 变换为分布不同但静力等效的力系 主失量相同 对同一点的主矩也相同 那么只在作用边界近处的应力有显著的改变 而在距离外力作用点较远处 其影响可以忽略不计 圣维南原理及应用 1 变换的外力必须与原外力是静力等效的 主矢量相同 对同一点的主矩也相同2 只能在局部边界上 小边界 进行静力等效变换 3 根据圣维南局部影响原理 假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力 则其影响仅在力的作用区域附近 离此区域较远处 几乎不受影响 应用圣维南原理时必须注意 圣维南原理及应用 例2 7 1 用一个钳子夹住铁杆 钳子对铁杆的作用相当于一组平衡力系 实验证明 无论作用力多大 在距离力的作用区域比较远处 几乎没有应力产生 圣维南原理及应用 例2 7 2 以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析 圣维南原理及应用 通过圣维南原理的使用 可以将一些难以处理的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件 使得弹性力学问题得到解答 圣维南原理的推广 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系 主矢量和主矩都等于零 那么 这个面力就只会使近处产生显著的应力 而远处的应力可以不计 这是因为主矢量和主矩都等于零的面力 与无面力状态是静力等效的 只能在近处产生显著的应力 圣维南原理及应用 下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理 如图所示 单位厚度的梁 其左右两端作用有一般分布的面力 试分析其边界条件 圣维南原理及应用 按照严格的应力边界条件 2 15 式 应力分量在左右边界上应满足条件 它要求在边界上不同点 所有y值处 应力分量必须处处与面力分量对等 这种严格的边界条件是较难满足的 但是当l h时 左右两端边界是小边界 这时可应用圣维南原理 用如下静力等效条件来代替上述条件 在这一局部边界上 使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的主失量和主矩 绝对值相等 方向相同 圣维南原理及应用 应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为 上式表明 1 等式左右两边的数值是相等的 方向是一致的 2 等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定 应力的正方向就是应力矢量的正方向 正的应力乘以正的矩臂就是应力主矩的正方向 圣维南原理及应用 如果给出的不是面力的分布 而是单位宽度上面力的主矢量和主矩 则具体表达式为 圣维南原理及应用 将小边界上的精确边界条件 2 15 与近似的积分边界条件进行比较 可以得出 1 式 2 15 等号两边均是单位面积上的力 而积分边界条件两边是力或力矩 2 式 2 15 是精确的 而积分边界条件是近似的 3 式 2 15 有两个条件 一般为两个函数方程 而积分边界条件有三个积分条件 均为代数方程 4 在求解时 式 2 15 难以满足 而积分边界条件易于满足 当小边界上的条件难于满足时 便可以用积分积分边界条件来代替 平面问题的应力边界条件处理方法 平面问题的应力边界条件 1 主要边界上的精确应力边界条件在主要边界上 若给定了部分边界上面力分量 则边界上每一点的应力与面力的关系式 平面问题的应力边界条件 对于上述应力边界条件 应注意以下几点 1 表示主要边界上任一点的应力和面力之间的关系 是函数方程 在边界上每一点都应满足 要将边界面方程代入式中各项 2 式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定 外法线方向余弦l和m则按三角公式确定正负号 3 对于边界面为坐标面的情形 上式可进行简化 平面问题的应力边界条件 2 次要边界上的积分边界条件 静力等效变换 对于次要边界 精确的边界条件较难满足 这时可应用圣维南原理 用如下静力等效条件来代替精确的应力边界条件 在这一局部边界上 使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的主失量和主矩 平面问题的应力边界条件 具体解题时 建立次要边界上的积分边界条件的方法有三种 方法一 1 在次要边界上应力的主矢量和主矩的数值应当等于相应面力的主矢量和主矩的数值 绝对值 2 面力的主矢量和主矩的方向就是应力的主矢量和主矩的方向 例题 习题2 8第二部分 列出图2 14所示问题的边界条件 固定边不写 上下边界 左边界 例题 例 如图所示 列出其边界条件 固定边不写 左右边界 上边界 平面问题的应力边界条件 方法二 1 在坐标系的第一象限取微分单元体 根据应力正负号约定标出单元体各侧面上正的应力 按正面正向 负面负向 2 建立次要边界积分边界条件时 应当使与边界面对应微分单元体侧面上的应力合成的主失 主矩 绝对值与面力主失 主矩 绝对值相等 并且应力分量与面力分量方向一致时取正号 方向相反时取负号 平面问题的应力边界条件 如图所示 单位厚度的梁 其左右两端作用有一般分布的面力 分析其边界条件 例题 例 如图所示 列出其边界条件 固定边不写 左右边界 上边界 平面问题的应力边界条件 方法三 1 沿次要边界面取出一个薄片 无厚度 为脱离体 在薄片内侧面标出正的应力 按正面正向 负面负向 2 建立薄片脱离体的平衡条件 力系和力矩的平衡 即可得到积分边界条件 例题 例 如图所示 列出其边界条件 固定边不写 左右边界 上边界 课后作业 作业 1 习题2 8第一部分 列出图2 13所示问题的全部边界条件 2 习题2 9 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 8平面问题的求解方法 位移法 平衡微分方程 2个 两类问题完全相同几何方程 3个 两类问题完全相同物理方程 3个 两类问题不同 只需对系数作替换未知函数 3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量边界条件 8个方程是弹性体内部必须满足的条件 而在边界上则必须满足边界条件 应力 位移 混合 平面问题的基本方程与未知数 平面问题的求解方法 按位移求解 以2个位移分量为基本未知函数 从基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量 导出只含位移分量的基本方程和边界条件 由此解出位移分量 然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量 按应力求解 以3个应力分量为基本未知函数 从基本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量 导出只含应力分量的基本方程和边界条件 由此解出应力分量 然后根据物理方程和几何方程求应变分量和位移分量 求解方法 未知函数及方程较多 难于求解 通常采用消元法 又可分为 按位移求解和按应力求解 按位移求解平面问题 具体过程 按位移求解 以2个位移分量u和v为基本未知函数 为了消元 其它6个未知函数须用u和v表示 1 将应变分量用u和v表示 直接采用几何方程 2 为了将应力分量用u和v表示 将几何方程代入用应变表示的物理方程 以平面应力问题为例 式 2 17 式 2 8 式 2 17 按位移求解平面问题 3 推导求位移分量的方程 将公式 2 17 代入平衡微分方程 得到用u和v表示的平衡微分方程 即为求解位移的基本方程 4 推导用位移表示的边界条件 将公式 2 17 代入应力边界条件 得到用u和v表示的应力边界条件 式 2 18 式 2 17 式 2 19 式 2 17 此外 位移边界条件不变 式 2 14 式 2 18 式 2 19 按位移求解平面问题 总结 总结起来 平面应力问题按位移求解的方法 就是使位移分量u和v满足如下条件 1 在区域内满足平衡微分方程 2 18 2 在边界上满足应力边界条件 2 19 或位移边界条件 2 14 求解出位移分量u和v后 代入几何方程 2 8 求应变分量 代入方程 2 17 求应力分量 将平面应力问题各方程中的E和m作如下替换 可得平面应变问题的位移法求解方程和边界条件 或者 将平面应力问题的解答中的E和m作同样的替换 得到平面应变问题的解答 按位移求解平面问题 总结 平面应力问题按位移求解时 方程 2 18 2 19 和 2 14 是求解位移分量u和v必须满足的条件 其中方程 2 18 2 19 属于静力学条件 而方程 2 14 属于约束条件 从另一方面看 这些条件也是校核位移u和v是否正确的条件 对于已求得的解答 我们可以用这些条件进行校核 应用情况 即使对于平面问题 位移法的方程和边界条件仍很复杂 求解困难 因此得出的函数式解答很少 但由于它能适应各种边界条件问题 它在弹性力学的各种近似解法中有广泛的应用 例题 1 将问题作为一维问题处理 有u 0 v v y 泊松比m 0 代入用位移表示的平衡微分方程 2 18 第一式自然满足 第二式变为 例2 8 1 设如图 a 所示的杆件 在y方向的上端固定 下端自由 受自重体力fx 0 fy rg r为杆的密度 g为重力加速度 的作用 试用位移法求解此问题 求解上述常微分方程 积分得 例题 2 根据边界条件来确定常数A和B 3 代入几何方程 2 8 求应变ey 并将它代入用位移表示的物理方程 2 17 求应力sy 上下边的边界条件为 v y y 0 0和sy y h 0分别代入位移函数及式 2 17 的第二式 可求得待定常数A rgh E和B 0 从而有 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 9按应力求解平面问题 按应力求解 以3个应力分量sx sy txy为基本未知函数 代入物理方程可得到应变分量 然后由几何方程 通过积分得到位移分量 此过程复杂 且积分会带来未定项 使得位移边界条件用应力表示时既复杂又难于求解 因此此类方法通常只考虑边界条件全部为应力边界条件的问题 1 两个平衡微分方程中只有应力分量 可作为求解应力分量的基本方程 上述平衡微分方程中未知的应力分量3个 而方程数只有2个 因此缺少一个方程 还不足以求出应力分量 按应力求解平面问题 消去位移分量 由几何方程消去位移分量 从而得到平面问题的变形协调方程 相容方程 变形协调方程的物理意义 1 是连续体中位移连续性的必然结果2 是形变所对应的位移存在且连续的必要条件 否则变形后会发生重叠或裂缝 2 补充方程 从几何方程和物理方程中消去位移分量和应变分量 导出1个只包含应力分量的补充方程 变形协调方程是形变分量解答是否合理的校核条件 按应力求解平面问题 消去应变分量 将物理方程代入变形协调方程来消去应变分量 并利用平衡微分方程进行简化 从而得到用应力表示的变形协调方程 以平面应力问题为例 对于平面应变问题 可以进行相同的推导过程 也可以将上式中的m作如下替换 得到一个相似的方程 2 22 式 2 21 对于应力边界条件 不用作任何处理 直接利用式 2 15 式 2 22 按应力求解平面问题 总结 归纳起来 平面问题按应力求解时 应力分量sx sy txy必须满足下列条件 1 在区域内满足平面问题的平衡微分方程 2 2 2 在区域内满足用应力表示的变形协调方程 2 21 或 2 22 3 在边界上满足应力边界条件 2 15 其中假设只求解边界条件全部为应力边界条件的问题 4 对于多连体 还须考虑位移的单值条件 位移必须为单值 上述4个条件是求解应力的全部条件 也是校核应力是否正确的全部条件 对于已有的应力解答 可利用这些条件来进行校核 按应力求解平面问题 总结 将平面应力问题各方程中的E和m作如下替换 可得平面应变问题的应力法求解方程和边界条件 或者将平面应力问题的解答中的E和m作同样的替换 得到平面应变问题的解答 求得应力分量sx sy txy后 代入物理方程 2 12 求应变分量 将应变分量代入几何方程 2 8 通过积分求位移分量 其中的积分待定项由边界约束条件来确定 例题 例2 9 1 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 ex Ay2 ex Bx2y gxy Cxy 解 应变分量存在的必要条件是满足应变的变形协调方程 代入上式 可知须满足的条件为 B 0 2A C 例题 例题2 9 2 在无体力的情况下 试考虑下列平面问题的应力分量是否可能存在 sx A x2 y2 sy B x2 y2 txy Cxy 解 弹性体的应力 在单连体中必须满足 1 平衡微分方程 2 应力表示的相容方程 3 应力边界条件 1 为了满足平衡微分方程 代入可得 A B C 2 2 为了满足相容方程 代入可得 A B 0 显然上述两组条件是矛盾的 故此组应力分量不存在 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 10常体力情况下的简化及应力函数 当实际工程问题中体力为常量 即体力分量fx fy不随x和y座标改变时 如重力和常加速度平移时的惯性力 此时 两类平面问题的都能得到简化 将上述条件代入式 2 21 或 2 22 得常体力时的相容方程 此外 还满足平衡微分方程 和应力边界条件 2 13 常体力情况下的简化及应力函数 体力为常量时 按应力法求解平面问题时 应力分量sx sy txy满足的方程为平衡微分方程 2 2 和简化后的相容方程 2 23 同时在边界上满足应力边界条件 2 15 对于多连体 还须考虑位移的单值条件 常体力时的平衡微分方程 相容方程和应力边界条件中均不含弹性常数 得出的解必然与弹性常数无关 故对于两类平面问题都是相同