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文档简介

隐函数与参量函数微分法 一 隐函数的导数 定义 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 两边对x求导 当遇到y的函数f y 时 将求出的这些导数代入 至于隐函数求二阶导数 与上同理 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点 例3 解 补证反函数的求导法则 由隐函数的微分法则 例4 解 证 切线方程为 故在两坐标轴上的截距之和为 二 对数求导法 有时会遇到这样的情形 即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦 观察函数 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 目的是利用对数的性质简化求导运算 对数求导法 适用范围 例6 解 等式两边取对数得 例7 解 这函数的定义域 两边取对数得 两边对x求导得 两边取对数得 两边对x求导得 同理 例8 解 两边取对数得 两边对x求导得 例9 解 两边取对数得 两边对x求导得 例10 解 等式两边取对数得 一般地 三 由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题 消参困难或无法消参如何求导 参量函数 由复合函数及反函数的求导法则得 容易漏掉 例11 解 所求切线方程为 例12 证 例13 解 由极坐标和直角坐标的变换关系知 切线斜率为 故切线的直角坐标方程为 例14 解 四 相关变化率 相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 例15 解 水面上升之速率 五 小结 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 对数求导法 对方程两边取对数 按隐函数的求导法则求导 参数方程求导 实质上是利用复合函数求导法则 相关变化率 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率
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