第二章 恒定电场.ppt

第二章恒定电场 SteadyElectricField 导电媒质中的电流 基本方程 分界面衔接条件 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻 电源电动势与局外场强 通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电场 恒定电场是动态平衡下的电荷产生的 电荷作宏观运动 电荷的分布不随时间变化 即 恒定 它与静电场有相似之处 本章要求 熟练掌握静电比拟法和电导的计算 理解各种电流密度的概念 通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件 基本方程 E的旋度 边值问题 边界条件 电位 一般解法 电导与接地电阻 特殊解 静电比拟 恒定电场知识结构 基本物理量J E 欧姆定律 J的散度 2 1 1电流 Current 2 1导电媒质中的电流 三种电流 传导电流 运流电流 位移电流 传导电流 电荷在导电媒质中的定向运动 位移电流 随时间变化的电场产生的假想电流 定义 单位时间内通过某一横截面的电量 A 运流电流 带电粒子在真空中的定向运动 可以存在于非导体区域 例如 阴极电子发射 电流形式及电流密度 线电流 沿截面可忽略的导线流动 面电流 沿厚度可忽略的面上流动 体电流 在体积中流动 2 1 2电流密度和元电流 1 电流面密度J 电流 体电荷以速度v作匀速运动形成的电流 电流密度 又称为电流面密度 图2 1 1电流面密度矢量 图2 1 2电流的计算 2 电流线密度K 电流 en是垂直于dl 且通过dl与曲面相切的单位矢量 面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流 图2 1 3电流线密度及其通量 电流线密度 3 元电流的概念 元电流是元电荷以速度v运动形成的电流 工程应用 媒质磁化后的表面磁化电流 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布 高频时 因集肤效应 电流趋于导体表面分布 图2 1 4媒质的磁化电流 2 1 3欧姆定律的微分形式 欧姆定律微分形式 由电路理论 图2 1 5J与E之关系 电导率与电阻率的关系 电阻率 电导率 在场论中 J与E共存 且方向一致 简单证明 对两边取面积分 左边 右边 欧姆定律积分形式 所以 图2 1 5J与E之关系 2 1 4焦尔定律的微分形式 导体有电流时 必伴随功率损耗 dt时间内 导体每一单元体积dV内 由于电子运动而转换成得热能 其功率体密度为 焦耳定律微分形式 单位体积的功率 单位 瓦特 米3W m3 移动元体积内的所有电子做功 W 焦耳定律积分形式 提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源 2 2 1电源 Source 2 2电源电动势与局外场强 图2 2 1恒定电流的形成 电源电动势是电源本身的特征量 与外电路无关 2 2 2电源电动势 SourceEMF 1 局外力 电源中使正 负电极之间的电压维持恒定 而使得正 负电荷分离开来的力 称为局外力 注意 分开的力 的方向 2 局外场强 电源中单位正电荷所受的局外力假设为一个等效场强 这个场强称为局外场强 区别于库仑场强 的方向由电源的负极指向正极 与库仑场强方向相反 3 电源电动势 4 电源外的场强 库仑场强 5 电源内的场强 库仑场强与局外场强两种场强之和 两种场强大小相等 方向相反 电源内的合成场强 因此 对闭合环路积分 局外场Ee是非保守场 图2 2 2电源电动势与局外场强 总场强 恒定电场的研究 导体周围介质中的恒定电场 同静电场的求解方法 以及导电媒质中的电场 本章所讨论的内容 2 3 1基本方程 2 3基本方程 分界面衔接条件 边值问题 一 积分形式的基本方程 两个基本场量的面积分和线积分 1 恒定电场传导电流连续性方程 电荷守恒定律 任一闭合面流出的电流等于闭合面内自由电荷减少率 电荷守恒原理 亦称电流连续性方程 恒定电场传导电流连续性方程 恒定电场电荷分布恒定 闭合面内自由电荷减少率为0 恒定电场是一个无源场 电流线是连续的 故 2 电场强度的环路线积分 环路经过电源 环路不经过电源 二 微分形式的基本方程 由积分形式的基本方程利用散度定理和斯托克斯公式推导出 1 电源外导电媒质的恒定电场基本方程的微分形式 2 场量之间的关系 或构成方程或辅助方程 结论 恒定电场是无源无旋场 三 恒定电场 电源外 的基本方程 积分形式 微分形式 构成方程 2 3 2分界面的衔接条件 说明分界面上E切向分量连续 J的法向分量连续 图2 3 1电流线的折射 由 得 在分界面上无电源 即 一 边界条件 图2 3 1电流线的折射 二 恒定电场的折射定律及特殊分界面 1 恒定电场的折射定律 2 良导体 和不良导体 的分界面 不良导体中体电流密度垂直于导体表面 不良导体中的电场强度也垂直于导体表面 电场强度与电流密度同方向 3 导体 第一种媒质 与理想介质 第二种媒质 分界面 理想介质的垂直于导体表面 恒定电场的导体中的 与静电场的导体中的不同 图2 3 1电流线的折射 例2 3 1导体与理想介质分界面上的衔接条件 解 在理想介质中 空气中 导体中 表明1分界面导体侧的电流一定与导体表面平行 表明2导体与理想介质分界面上必有面电荷 图2 3 2导体与理想介质分界面 若 理想导体 导体内部电场为零 电流分布在导体表面 导体不损耗能量 导体周围介质中的电场 表明3电场切向分量不为零 导体非等位体 导体表面非等位面 图2 3 3载流导体表面的电场 2 3 3边值问题 分界面衔接条件 拉普拉斯方程 得 由基本方程出发 由 得 例2 3 2试用边值问题求解电弧片中电位 电场及导体分界面上的面电荷分布 区域 解 选用圆柱坐标系 边值问题为 区域 图2 3 4不同媒质弧形导电片 电位 电场强度 电荷面密度 通解 2 4导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 静电场 恒定电场 电源外 两种场各物理量满足相同的定解问题 则解也相同 那么 通过对一个场的求解或实验研究 利用对应量关系便可得到另一个场的解 两种场可以比拟的条件 微分方程相同 场域几何形状及边界条件相同 媒质分界面满足 两种场 具有相同的场图及相同的等位面 且线与线分布一致 一种场的计算及实验结果可推广到另一种场 可将静电场的镜象法推广至恒定电场 镜像法的比拟 图2 4 1静电场与恒定电流场的镜像法比拟 静电场 恒定电场 当第一种媒质为土壤 第二种媒质为空气 当第一种媒质为空气 第二种媒质为土壤 特例 1 介质内的电场 例2 1 2 分界面上的自由电荷面密度 同轴电缆的内导体半径为a 外导体的内半径为c 其中填充两种漏电介质 介质分界面是同轴圆柱面 分界面的半径为b 内外两层介质的介电常数分别为 电导率分别为 当外加恒定电压时 内导体接正极 求 由于电缆内 外导体的电导率远大于其间填充媒质的电导率 所以在计算内外导体间导电媒质中心恒定电场时 可以把内外导体视为等位体 由对称性可知 媒质中恒定电场仅有径向分量 且场强和电流密度只与半径有关 例2 2球形电容器的内外半径分别为5cm 10cm 加有电压100伏 电容器内有两层均匀介质 其分界面也是同心球面 半径为8cm 电介质的电导率分别为 求球面之间的电流密度 电场强度和电位 2 5 1电导 1 通过电流场计算电导 2 5电导与接地电阻 或设 思路 设 当满足比拟条件时 用比拟法由电容计算电导 2 比拟法 即 例2 5 1求图示同轴电缆的绝缘电阻 解 设 电导 用静电比拟法求解 由静电场 绝缘电阻 图2 5 1同轴电缆横截面 通解 代入边界条件 得 电位函数 解取圆柱坐标系 边值问题 电场强度 图2 5 2弧形导电片 电流 电导 电流密度 电场强度 图2 5 3深埋球形接地器 1 深埋球形接地器 2 5 2接地电阻 解法一通过电流场计算电阻 解法二比拟法 2 非深埋的球形接地器 解用镜像法 图2 5 5非深埋的球形接地器 接地器接地电阻 解 3 浅埋半球形接地器 例2 3 两个平行圆柱形铜棒 轴线间距离为50厘米 直径均为1厘米 垂直通过厚度为1厘米的碳质平面盘 盘面可以认为很大 已知碳盘的电导率为 求铜棒之间碳盘的电阻 提示 铜棒的电导率远大于碳的电导率 所以铜棒可视为等位体 其表面为等位面 当轴线间距离远大于铜棒半径时 可近似认为等效电轴就是铜棒的几何轴线 可用静电场的电轴法球壳单位长度的电容 为危险区半径 2 5 3跨步电压 接地体附近有大电流流过 在人体两足间产生的电压 以浅埋半球接地器为例 人体的安全电压U0 40V 人体电流 8mA危险 30mA危及生命 例2 4一个半径为a的半球形接地导体埋于电导率为的土壤中 1 求接地电阻 基本方程 E的旋度 边值问题 边界条件 电位 一般解法 电导与接地电阻 特殊解 静电比拟 恒定电场知识结构 基本物理量J E 欧姆定律 J的散度 欧姆定律微分形式 分界面衔接条件 结论 恒定电