第三章_常微分方程.ppt

数学建模简明教程 国家精品课程 第三章常微分方程 一 引言 二 模型的建立 机理分析法 三 SARS传播模型中参数的确定 四 SARS传播模型的求解 五 参数的灵敏度分析 2003年全国数模竞赛的A题 SARS Severe 制提供可靠 足够的信息的传染病模型 传播 要求建立一个能够预测以及能为预防和控 AcuteRespiratorySyndrome 非典型肺炎 的 天发病 SARS自02年11月发现以来 迅速蔓延 播的恶性传染病 潜伏期约2 12天 通常在4 5 非典型肺炎是21世纪第一个在世界范围内传 一 引言 到世界28个国家 据世界卫生组织报告 截至03 延创造条件的重要性 这是人们十分关注的问题 研究传染病的传播规律 为预测和控制传染病蔓 中得到了许多重要的经验和教训 认识到定量地 的经济发展和人民生活带来了很大影响 我们从 患者即高达百人以上 SARS的爆发和蔓延给我国 人 其中343人死亡 高峰期 北京市每日新增 792人死亡 我国情况尤为严重 病例高达5327 年6月13日 全世界的SARS病例已达8454人 共 建立SARS传播的数学模型 可以在一般情 和控制 最后给出参数的灵敏度分析以探讨SARS的预防 参数 从而利用Runge Kutta方法求解该模型 针对SARS传播模型讨论如何确定模型中的关键 介绍利用机理分析法建立SARS传播模型 然后 是依据机理分析的方法来建模 为此 本章首先 流行的观测往往也不完善和充分 因此通常主要 况分析受感染人数的变化规律 然而实际SARS 问题分析 1 SI模型 推知 二 模型的建立 机理分析法 SI模型 i t曲线 di dt i曲线 关于SI模型的结论 1 最终全部感染为病人 2 模型没有考虑病人可以治愈 3 i 0 5时 di dt最大 传染病高潮到来 此时 2 SIS模型 推知 SIS模型的解 SIS模型的分析 i t曲线 关于SIS模型的结论 1 接触数的临界值为 2 SI模型可视为本模型的特例 此时 3 SIR模型 推知 相平面S I分析 SIR模型的相轨线 i s 关于SIR模型的结论 4 SARS的传播模型 就是抓住主要矛盾 忽略一些不必要的因素和 次要矛盾 理假设的前提下 确定主要因素之间的关系 也 手 微分方程建模是从实际问题出发 在某些合 把所有的因素全部考虑在内建立模型 将无从下 迁出以及潜伏期和地理环境等因素的影响 如果 治愈率的大小等 另外 还要考虑人群的迁入 多 如患病者的数量 易感者的数量 传染率和 事实上 SARS在传播过程中涉及的因素很 关于SARS的假设 3 假设病人被感染后需先进入潜伏期 在潜伏期 2 结合SARS的病理特性 假设其传播方式为接 1 所研究地区的人口总量一定 不考虑人口迁入 迁出 自然出生和自然死亡 触性传播 不与患病者接触就不会被感染 内不具备传染性 传染他人 易感者感染的机会与接触患病者的机会成正比 6 假设SARS康复者不会被再次感染 且无传染性 4 假设易感者与患病者在人群中混合充分均匀 并且传染率为常数 5 假设SARS患者被发现后就立即被隔离 被隔离 者不具备传染性 SARS患者只在被发现前可以 人口分类 在此用绝对人数 SARS传播仓室模型的框图 参数说明 SARS模型 三 SARS传播模型中参数的确定 型 可参照传染病的一般原理 充分利用卫生 仿真 模拟来确定参数随时间变化的函数关系 型所面临的一个关键问题 针对SARS传播模 事实上 确定模型的参数往往是一般传染病模 反映到模型中 亦是应当回答的一个重要问题 面 如何将我国一系列强有力的隔离预防措施 历史数据 如对其传染率就难以估计 另一方 是对这一突发的新型恶性传染病缺乏认识 无 在SARS流行初期 建模所碰到困难主要 部门每天发布的精确数据 通过对数据的动态 北京地区确诊病人的死亡率和治愈率 先建立简单的SIR模型 从而 有 因此 只要得到免疫率参数 就可以拟合出传染系数 四 SARS传播模型的求解 1 Runge Kutta方法 迭代公式解法 p阶公式 如果有 二阶Runge Kutta公式