信息技术在《常微分方程》课堂教学中的教学设计案例.doc

5.2信息技术在常微分方程课堂教学中的教学设计案例课题常系数齐次线性微分方程的特征根法科目常微分方程教学对象大三学生提供者课时2课时一、教材内容分析常微分方程是数学系的基础课程。这节课是由高等教育出版社2006年七月出版，王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松主编的常微分方程教材第三版，第四章第二节4.2.2中的教学内容。根据教学大纲的要求，这节课的重点是让学生掌握求常系数齐次线性微分方程的特征根法。通过前面的学习，学生们已经知道一般的n阶齐次线性微分方程是没有普遍的解法的，同时对于线性微分方程的一般理论已经有了一定的认识，已经理解了：（1）齐次线性微分方程的解的叠加原理；（2）n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间；（3）基本解组的以任意常数为系数的线性组合构成齐次线性微分方程的通解。在这节课的教学设计中，首先，给学生复习n阶齐次线性微分方程解的结构的相关知识，并以力学典型例子数学摆作为具体的实例，建立一个二阶常系数齐次线性微分方程，从而引入n阶常系数齐次线性微分方程的求解问题；其次，介绍相关的预备知识复值函数与复值解；然后，介绍常系数齐次线性微分方程的特征根法及可化为常系数齐次线性微分方程的欧拉方程的解法；最后，以数学摆的微小振动为例，结合讲述质点振动理论，让学生直观地感受到微分方程为更深刻地理解物理现象提供了有力的工具。二、教学目标分析1、 知识与技能： 1)掌握常系数齐次线性微分方程的特征根法及欧拉方程的解法； 2)了解无阻尼自由振动及有阻尼自由振动的微分方程模型及其求解方法。2、过程与方法： 1)通过对实际问题的讨论，掌握建立常微分方程模型的方法。 2)通过观察不同类型的常系数齐次线性微分方程问题的解题过程，提高学生分类、总结的自学能力。三、学习者特征分析该年级的学生已经学习了数学分析、高等代数这两门基础课，对于学习常微分方程的过程中需要用到的数学分析及高等代数的知识，学生们并不感到陌生。但是有部分同学对这些预备知识的印象很模糊，在学习新知识之前，需要提醒大家复习与预习。四、教学方法的选择与活动设计 （1）教师通过口头语言，辅助以板书、投影等媒体向学生提出要解决的实际问题，全班同学分小组围绕这一问题进行讨论，加深学生对知识的理解； （2）教师通过板书、投影等方式，讲授求常系数齐次线性微分方程时，在特征根的不同类型情况下的基本解组求法，即欧拉待定指数函数法； （3）通过布置与例题同类型课堂练习及对课堂练习的讲解，让学生在模仿解题的过程中，理解掌握解题方法。五、教学环境及资源准备多媒体展示平台，教师机，投影仪，自制ppt课件。六、教学过程教学过程教师活动学生活动设计思路教学活动1提出问题 教师提问：通过多媒体课件说明数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点，在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，我们来确定摆的运动方程。让学生从原有的物理知识出发去讨论摆所受的力，并由此得到以数学摆的运动方程为未知函数的二阶常系数齐次线性微分方程。在让学生相互讨论，交流结果地基础上，提出：很多实际问题都可以通过微分方程来表示。 让学生了解到微分方程的现实作用教学活动2提出问题教师提问：如何求解二阶常系数齐次线性微分方程，从而得出摆的运动方程。通过课件让学生回顾一阶齐次线性微分方程的解法，讨论二者的不同。让学生温故而知新教学活动3讲授预备知识 教师通过板书、课件等方式，讲授复值函数与复值解的相关知识。 让学生记忆在下面的学习中将起着重要作用的复值函数，其中是复值常数。 为下面的内容做铺垫。教学活动4讲授解题方法 教师通过板书、课件等方式，讲授常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，从而引入欧拉待定指数函数法（又称特征根法），并讲授相应的例题。 让学生分类记忆在特征根的不同情形下，求相应基本解组的不同方法。 引导学生学会分类解题教学活动5课堂练习 教师布置与例题同类型的课堂练习，并及时对课堂练习进行讲解。 学生自己思考、解答课堂练习，并针对其中的问题，举手提问。 让学生在模仿解题的过程中，理解、掌握解题方法。教学活动6讲授解题方法 教师提问：请同学们求出教学活动1中所提出的数学摆的运动方程 学生根据本节所学的解题方法，自主解决这个实际问题 前后呼应，让前面提出的问题得到解决教学活动7学习小结及作业布置 对这节课的内容进行总结，指出重点、难点。在作业布置方面，以基础题为主，辅以少量难题。另外，布置思考题以本节课所讨论的力学典型例子数学摆作为具体的物理模型，利用常系数微分方程的理论，讨论有关自由振动的问题：（1）无阻尼自由振动；（2）有阻尼自由振动（见课件）。按时、按量完成作业。巩固新知识教学活动8利用数学软件求解微分方程的内容介绍用Maple求解高阶微分方程的程序。例1用Maple画方程和的向量场和积分曲线。解：程序为(运行结果见右图)例2用Maple求方程的通解。解：程序为diffeq:=diff(x(t),t2)+2diff(x(t),t)+ x(t)=0;dsolve(diffeq,x(t);运行后Maple给出的结果是 感兴趣的学生可在课外参考相关的数学软件书籍 让学生了解通过数学软件求解微分方程的方法七、教学流程图提出问题讲授预备知识讲授解题方法课堂练习课堂讨论学习小结布置作业八、教学评价本节的重点是求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法。学习特征根法的主要目的，是求解常系数齐次线性微分方程，从而更进一步，学会求解常系数非齐次线性微分方程的方法。 、教学目标。明确具体，符合大纲要求教材特点和学生实际，体现能力培养和思想教育； 、教学内容教学内容掌握正确，能反映目标，讲课无科学错误，能分清主次轻重，详略得当，突出重点、难点、疑点 、教学方法较灵活，注意启发学生的思维，教