作为数学欣赏的对称.pdf

2 0 1 4 年6 月 教育纵横 一 写意的对称 作为数学欣赏的对称 山西永济市永济中学刘彦学 华中师范大学数学与统计学学院徐章韬 对称无处不在 无论是北京人民大会堂 还是普通 的民居 民宅 无不蕴含对称 在装饰图案中能够找到所 有1 7 种对称性图案 树叶以其主脉为对称轴 蜂巢 蛛网 呈正多边形 蝴蝶的双翼是对称的 鹰 鲱鱼 大象等则 是呈左右对称的 人体也有比较完美的对称 甲烷的分子 结构是正四面体对称的 c 形似足球 是3 2 面对称体 微 生物中如牛雨滴和痘等病毒皆呈正二十面体状 这些由 简单成分通过自组装而形成更为复杂的对称体 如优先 形成球形 可能是由于具有最小表面积 才对外界的 攻 击 显示出惰性 水中的倒影和镜中的映象与客观环境 形成以水面和镜面为对称平面的对称 一石激起千层 浪 水面上圆形波浪呈中心对称 浪的起伏在空间上是 对称的 根据对称原理 能设计并制造天平称量重物 当 指针指向表盘 正 中位置时 两端处于 平 衡状态 说 明被称量的物体 等 质量 人们也常以天平喻示人的思 想和言行公 正 和公 平 人及其事物之间的关系是否 平 等 在数学中 对称的概念略有拓广 常把某些具有 关联或对立的概念视为对称 二 数学中的对称 数学对象如数 式 方程 集合 运算 概念 命题等 都是现实对象的模型 对称也体现在这些模型中 对称 也是创造数学的一种思想方法 反映人们对美 和谐 平 衡 匀称的诉求 1 数的对称性 在文学里有 自对偶 如 上海自来水来自海上 这是一种 回文 倒着念和顺着念 意思都一样 另一种 是 互对偶 如 东边日出西边雨 道是无晴却有晴 如 魏囊 果把 东边 与 西边 无晴 与 有晴 的位置对调一下 成为 西边日出东边雨 道是有晴却无晴 前后意义并 没有改变 数学里也有这种现象 如 数字 2 1 2 1 等是 回文数 表面上看这些数平淡无奇 考察它们的结构 不 仅是对称的 还是很特殊的对称 自身对称进而有自相 似结构 自相似结构是分形几何最基本的概念之一 它 的产生开创了一个研究方向 分形结构在生物界体现的 是 全息胚 病毒利用简单结构自组装成球形对称结 构 其中的 简单结构 就是 全息元 共轭 概念也蕴 含着 对称性 可以看成对称概念的拓广 比如 n V6 血一 V6 6 0 是一对共轭无理数 a b i 血一6 i 是一 对共轭复数 引进共轭复数后有一个漂亮的结果 实系 数方程的根成对出现 而且还可以引伸到数域的 对称 数域的自同构与同构 更一般地 数论中的奇数和 偶数 从奇偶性上区分 质数与合数 从可分解性上区 分 互为相反数的正数与负数也可视为对称关系 2 式的对称性 a x 2 b x c O 血 0 的两根满足关系 戈1 戈 一旦尚戈F 出 二 是关于戈 和戈 的对称多项式 戈 慨 X 2 戈 X 1 X 等也是 但戈 一戈 不是 戈 慨 和戈伍提初等对称多项式 凡关于抓戈 的 对称多项式都可以用初等对称式表示 推而广之 代数 基本定理指出 咄 a l X d 0 a o O 有n 个根 也有 韦达定理 形如研 戈2 慨 X l X 2 慨伍 慨彬3 慨删 慨 1 X 的多项式 不论把哪两个根对换一下 也就是不管 作怎样的排列 多项式都不变动 这就是对称多项式 任 意对称多项式都可以用初等对称多项式表示 海伦公式 也是以对称多项式的形式出现的 p p a p b p c p 为三角形的半周长彳艮多三角公 式 如s i n 书 s i n c o 驴 c o s s i 邶 都表现了对称 过定 高中版中 拿擞 5 1 万方数据 鎏囊壹 横 2 0 1 4 年6 月 点 物 方向向量为 C O S O Z C O s 3 c o s T 的直线方程 常写作 竺塑 x x 2 x x 3 也是一种对称的表达方式 C O S O Z C O s gc o s T 可看作对称的符号 各种类型的方程 如代数方程 三角方程 微分方程等表示其两端所联系的数量 函数 及导数等对象所成的组合在数值上是相等的 3 命题的对称性 对偶 关系也是一种 对称 从命题的角度看 原 定理与逆定理 否定理与逆否定理等也存在 对称 关 系 从逻辑关系看 充要条件只是两个相关命题在对称 意义下的转移和变换 体积一定的几何体以球的表面 积最小 与 表面积一定的几何体以球的体积最大 是对 偶命题 在线性规划中有对偶问题 对于线性规划中的 每一个最大值问题 相应地存在一个特定的包含同样数 据的最小值问题 事实上 只有当最小值问题存在有限 解时 最大值问题才存在有限解 在射影几何中 点和直 线之间建立了对偶关系 进而有对偶原理 平面几何的 定理中 如果把点换成直线 直线换成点 并把诸种关系 换成相应的对偶关系 所得到的新命题依然成立 集合 论中的棣莫弗公式就是关于差集的对偶原理 与之同构 的逻辑代数的运算中也有相应的对偶原理 0 1 律 互补 律 尽管数学概念一次次地扩张 若能掌握这种对称 偶 性 就能从整体上把握数学结构 高屋建瓴 达到和 谐 统一 4 运算的对称 数学有三种基本结构 序结构 代数结构 拓扑结 构 代数结构对应着 运算关系 从运算角度看 加与减 乘与除 乘幂与开方 指数与对数 微分与积分 矩阵与 逆矩阵等 这些互逆运算都可以看作一种 对称 关系 它们相反而相成 如牛顿一莱布尼兹公式是微积分的基 本公式 是因为它揭示了微分 积分这一对基本矛盾 微 分中有一条定理或公式 积分中也有相应的定理或公 式 反之亦然 这实际上是一种逆向思考法 函数与反函 数也是一种 对称 它们的图像关于直线y 戈对称 运算 也是一种对应 映射 对应可看作广义的对称 笛卡尔建 立了方程与几何图形的对应关系 康托建立了实数与数 轴的对应关系 推动了数学的发展 5 几何对称 在平面上 空间中 可以考虑关于点的对称 线的对 5 2 中 7 擞 7 高中版 称 面的对称 奇函数的图像关于原点对称 圆关于圆心 是中心对称的 关于任意一条直径所在的直线是轴对称 的 正方形关于其中心是中心对称的 关于对角线 对边 中点的连线是轴对称 球关于球心是中心对称的 关于 任意一条直径所在的直线是轴对称的 正如毕达哥拉斯 所说 一切立体图形中最完美的是球形 一切平面图形 中最完美的是圆 它们在各个方向上都是对称的 等 腰三角形是轴对称的 圆柱 圆锥 旋转曲面 椭球面等 这些图形都是轴对称图形 偶函数的图像关于纵轴对 称 杨辉三角是张非常 轴 对称的图表 它的对称性还 表现在二项式定理的表达形式上 平面区域和空间区域 的对称常归结为围成这些区域的边界曲线和边界曲面 的对称性 但最终归结为构成这些曲线和曲面的点的对 称性 在代数中 平面曲线三是用该曲线上点的坐标扒y 所 满足的方程厂 戈 y 0 表示的 若对于任意的点 戈 Y L 必有 叫 Y 满足 1 叫 y o 且 抓叫 y 欹戈 Y 则称 曲线L 关于Y 轴对称 此时也说函数厂 戈 y 关于变量戈对 称 或者说厂 戈 y 是关于变量戈的偶函数 用类似的方法 由 厂 戈 y 欹戈 了 及厂 叫 一y 砜戈 y 说明曲线L 关于戈轴 及原点的对称性 于是将曲线厶厂 戈 y 0 的对称性归结 为讨论函数尺戈 y 的对称性 正多面体关于点 线 面的几何对称性 不仅给我们 以美的享受 还体现出 变量 的某种对称性 而后者给 我们论证与计算带来极大的方便 什么是对称呢 人们 常说圆比正方形更对称 正方形比梯形更对称 正六边 形比正三角形更对称 可以这样理解 具有某种对称性 的图形 就是经过某些刚体运动后仍能回到自身的图 形 例如 圆经过绕圆心的任意旋转以及以任何过圆心 的直线为镜面的反射都能回到自身 正方形绕其中心旋 转要 耵 莩 2 耵或以其对角线和对边中点连线的反射 ZZ 才能回到自身 而梯形就更差了 它只有绕其中心旋转 2 k w 才能回到自身 因此 对称是与变换联系在一起的 一 个具有某些关系的集合的对称性是指该集合上具有比 较多的对称变换 显然 对称变换所满足的性质与群中 元素的运算非常类似 如果我们抛开元素和运算的具体 内容和形式 而注重两者之间的本质关系 就能得到群是 对称概念的数学描述 研究群就是为了研究复杂的对称 万方数据 2 0 1 4 年6 月 横瓿囊 三 对称作为一种思考方式 数学中不少概念与运算 都是由人们对 对称 问题 的探讨派生出来的 数学中的对称美除了作为数学自身 的属性外 还可以启迪人们思考 研究问题的方法 按美 学思想来设计是自然的 对称是数学家长期追求的目 标 甚至有时把它作为一种尺度 大约在公元前七世纪 古希腊人在圆柱和圆锥的截口上发现了椭圆 到公元前 2 世纪才知道椭圆是平面上到两点之和为常数的动点的 轨迹 然而古希腊人没有想到 也不可能想到这些发现 有什么用途 希腊人之所以研究椭圆 可以说除这种对 称美感之外 再没有什么其他动力了 倘若没有这些研 究 开普勒就不可能发现行星运行规律 牛顿也不会发 现万有引力定律了 人们通常采用以e 为底的自然对数 而不是以1 0 为底的常用对数 为什么做出这样的选择 原因之一就是对对称美的考虑 对数的引进对于简化运 算大有好处 借助对数可将乘 除运算转化为加 减运 算 但在求对数l g N b 时 常用对数却不十分理想 真数 及常用对数l g N 的增长表现出明显的不对称性 当真数 均匀增长时 其常用对数l g N 的增长却不是均匀的 为了 克服这种不均匀性 人们尝试用较小的底数 经试验如 采用1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 为底时 不对称性的情况 将不断得到改善 若用 1 1 肮 1 的极限为底 则可以达 到完全的对称 这个数列的极限就是e 出于对对称美的 追求就十分自然地引出了自然对数 在欧氏几何中 点 与直线的关系是不对称的 过两点总可作一条直线 但 是 两直线总可得一个交点却并不成立 自从引进了 无 穷远点 后 两平行直线相交于无穷远点 直线也成为一 种封闭图形 无穷远点就是直线两端的连接点 从而点 和直线就具有对称性 为什么只引进一个无穷远点 而 不引进两个无穷远点 通过引进一个无穷远点 就可以 在直线与点之间建立对偶关系 进而就有了对偶定理 如果引进两个无穷远点 就会破坏这种对偶性 在解析 几何里 代数方程与几何图形问建立了一种对称 使代 数与几何化为一体 达到完美的统一 对称性是事物经过某些变换后仍然保持不变性或 某些不变性 其应用范围早已远远超出空间图形这个狭 碍的领域 渗透到数学 物理等诸多学科 对称不仅是一 种审美标准 还是一种思考的方向 与哲学中的不变性 相对性 客观性 偶然性 时空的本质和结构以及事物的 演化等一系列概念都有相当的关系 故杨振宁先生深有 感受地说 对称决定力量 参考文献 1 杨振宁 对称与2 0 世纪物理学 M 上海 华东师范 大学出版社 1 9 9 8 2 段学复 对称 M 北京 人民教育出版社 1 9 7 9 3 德 H 魏托对称 M 北京 商务印书馆 1 9 8 6 墨圆 上接第3 2 页 片断二中 学生对于直接画出来的一般曲边梯形感 觉比较抽象 还是和第一次相似 拘泥于曲边梯形概念 的教学 因此让学生去解决一般曲边梯形的面积 是否 可以将以直代曲的化归和求曲边梯形的面积的探究从 特殊到一般 片断三中 首先是各角度都有特殊到一般数学思想 的渗透 在此过程中 学生将陌生的曲边图形通过分 割化归为熟悉的矩形 梯形问题 也蕴含了化归和以曲 代直的数学思想 在由近似到精确的过程中 包含了逼 近和极限的思想 由于上述思想的渗透是分解在概念得 到 分割 逼近 求极限及小结的各个环节中 最后的割 圆术介绍正是突出了以曲代直 逼近 极限等的类比 因 此方法与思想的渗透效果更有效 3 教学素材处理要关注情感态度价值观的教学 三维目标要求数学教学中要关注情感态度价值观 的教学 通过典型例子的教学 追寻数学发展的历史足 迹 帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用 体会 我国古代数学发展的辉煌 感受数学家的创新精神 逐 步形成正确的数