第一节 无穷小.ppt

北京工业大学 高等数学教程 第一章无穷小与极限 1 1无穷小 1 1 1数列无穷小 1 数列的定义 数列是指定义在正整数集上的函数 依按自变量增大的次序 数列的对应值可以排成 称为数列的通项 或一般项 数列简记为 例如 数列 简记为 简记为 简记为 简记为 数列中的每个数称为数列的一项 2 数列的几何表示法 数列中的每一个数都可用数轴上的一个点 来表示 这些点的全体就是数列 变化过程称为n趋于无穷大 3 数列的变化过程包含两个相关的无限过程 自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程 n的主动变化过程是 不断增大 每次加1 即n从1开始 遵循这样的变化规则 一定可以大于每个固定的正数 我们将n的这种 记为 表示n无限增大的过程 即n要多大就有多大 或者说 n可以大于任意给定的正数 即与0的距离可以 如果n可以大于任意给定的正数 那么 就可以小于任意给定的正数 我们称无限接近于0 任意小 数列的变化趋势可以概述为 无论给定一个多么小的正数 都可以有 只要即可 数列是无穷小 此时我们称当n无限增大时 定义1 1 数列无穷小 如果对于任意给定的正数 都存在正整数N 使得当时 不等式 成立 记为 或 则称数列是无穷小 设为数列 几何解释 只有有限个 至多有N个 落在其外 定义 定理1 1 无穷小比较定理1 证 设为无穷小 则也是无穷小 使得对于所有正整数n 由定义 故也是无穷小 如果存在正数C 例1证明 如果则为无穷小 证 数列从第N 1项起 则 因是无穷小 有 注意到当时 幂函数在单调增加 所以 即是无穷小 例2证明下列数列都是无穷小 证因 4 是 1 的推广 因为是无穷小 注意到 根据定理1 1及例1 可知上述四个数列都是无穷小 解因 且 因此 不是无穷小 注 1 1 2时函数无穷小 我们用表示x无限增大的过程 只要即可 即x可以大于任意给定的正数 不妨设 则等价于 任意给定的正数 且无限接近0 我们称时 是无穷小 可以小于 在数轴上 常量对应于定点 变常量对应于动点 定义1 2 时函数无穷小 如果对于任意给定的正数 总存在正数X 当时 有 记为 或 设在有定义 c为常数 则称当时 为无穷小 如果 则称当时 为无穷小 记为 记为 如果当 都是无穷小 则称当时 是无穷小 的几何意义 完全落在带形区域内 函数的图形 有 例4用定义证明 当时 为无穷小 证 取 所以 当时 为无穷小 同理 当或时 也是无穷小 定理1 2 无穷小比较定理2 如果存在常数 类似于定理1 1 有 是无穷小 设当 或 时 也是无穷小 则当 或 时 证 因是无穷小 有 当时 幂函数在单调增加 所以 例5设则当时 为无穷小 故当时 是无穷小 例6证明当时 为无穷小 证 因 不妨设 所以 当时 是无穷小 当时 例7证明当时 不是无穷小 证 有 不妨设 所以 当时 不是无穷小 由定义1 2 当时 不是无穷小 当时 1 1 3时函数无穷小 表示且可以任意小 特别地 当时 是无穷小 定义1 3 时函数无穷小 有 则称当时 是无穷小 记为 或 注意 点是否有定义无关 问题 设 是否为无穷小 表示 表示且可以任意小 表示且可以任意小 当或时 都是无穷小 类似于定理1 1和定理1 2 有 定理1 3 无穷小比较定理3 设当时 是无穷小 也是无穷小 则当时 如果存在常数 例8证明 如果则当时 证 是无穷小 因是无穷小 故当时 是无穷小 由幂函数在单调增加 例9证明 证 由定理1 3 有 不妨设 因 于是 例10证明 证 因此 因 显然 先证 不妨设 即 于是 所以 因是奇函数 有 作单位圆O 例11设 证 证明 不妨设 因 于是 于是 故 1 1 4无穷小的统一定义 函数都可以满足不等式 对于前面的无穷小定义稍加比较就可以发现 如果对于任意给定的正数 无论哪种情况 所不同的是 随自变量变化趋势的不同 不等式成立的范围 或空心邻域 也不同 如果把不同情形下的无穷小统一表述为 或 则共有七种不同情况 当函数定义域为正整数时 为简单起见 一般可以用等 表示无穷小 当函数定义域为实数集时 可以取 若 记作 或 则有关于无穷小的统一定义形式 如果把a的和有关的邻域记为 定义1 4设在点的某个空心邻域内有定义 都存在点的空心邻域 有了无穷小定义的统一形式 我们今后讨论无穷小或一般的极限理论时就可以重点讨论其中最具代表性的情形 只是邻域不同而已 其他情形则可以类似给出 关于无穷小的概念需注意以下几个方面 1 无穷小是函数的自变量按照一定的变化趋势变化时 函数的一种特殊的变化趋势 因此 我们说某个函数是无穷小时 必须同时指出自变量x的变化趋势 例如 2 零是无穷小 但无穷小不一定等于零 例如 一个固定的正数无论多么小 总存在比它更小 另外 不能把无穷小与很小的正数相混淆 的正数 就不是无穷小 3 关于无穷小的分类 某空心邻域 特别地 如果当 为正无穷小 同样地 如果当 为负无穷小 显然 正 负无穷小都是非零无穷小 并且存在点的 例12设试证当 是无穷小 但不是非零无穷小 证 因 所以 是无穷小 任意给定的空心邻域 都存在正整数n满足 即 使得 故 是无穷小 但不是非零无穷小 1 1 5无穷小的性质 定理1 5 局部有界性 证 有界 若 因 取 有 则在的某个空心邻域内 则存在点的某个空心邻域 即在的空心邻域内有界 证 设 且 且 于是 即 定理1 6有限个无穷小之和为无穷小 则存在点的某个空心邻域 证 例13设为n次多项式 且则 注意 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小 因 可写成 所以 即是n个无穷小之和 定理1 7无穷小与有界函数的乘积为无穷小 证 设 内 有 由定理1 3 有 则 都是无穷小 例如 当 且在点的某个空心邻域 例14证明 证 因 不妨设 于是 又 推论1 1有限个无穷小的乘积是无穷小 证由定理1 5和定理1 7 即有推理1 1成立 由定理1 7 有 1 1 6无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 若 记作 或 则称时为无穷大 定义1 5设在点的某个空心邻域内有定义 都存在点的空心邻域 分别称为正无穷大和负无穷大 说明 1 如果把上面定义中的分别改为 1 两个正 负 无穷大之和仍为正 负 无穷大 2 有界变量与无穷大的和 差仍为无穷大 3 无穷大与无穷大之积仍为无穷大 2 由无穷大的定义容易证明 无穷小与无穷大的关系 则当时 意义 有关无穷大的讨论 都可归结为无穷小的讨论 设在的某空心邻域内有定义 使得 定理1 8设在点的某个空心邻域内有 常数 定义 如果当时 且存在 例15证明 证1 不妨设 因 于是 由定理1 9 有 例15证明 证2 不妨设 因 于是 先证明 所以 故 例16证明在内