议数学解题中的三个关键点——切入点、调节点与反思点.pdf

数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期 议数学解题中的三个关键点 切人点 调节点与反思点 常淑凤黄加卫 北师大数学科学学院1 0 0 8 7 5 众所周知 数学是一门基础科学 任何一门自 然科学和工程技术都离不开数学这一基础 而数学 的产生和发展总是在提出问题和解决问题的过程 中进行的 美国数学家哈尔莫斯 P R H a l m o s 认 为 问题是数学的心脏 数学的真正的组成部分是 问题和解 著名数学家及数学教育家乔治 波利亚 G P o l y a 也 强调指出 中 学数学教学首要的 任务 就是加强解题训练 掌握数学就是意味着善于解 题 与之相对应的 普通高中数学课程标准 实 验 也指出 数学必须培养和提高学生分析问题 解决问题的能力 笔者经过多年的教学与实践 认 为在数学解题的过程中 有三个关键点 即解题的 切人点 调节点与反思点值得关注 下文将就此展 开论述 并求教于方家二 1 数学解题首先应注意寻觅适当的切入点 万事开头难 良好的开头常是成功的一半 说 的都是开头的重要 而要开好头关键就是要找准思 维起点 解题更是这样 许多时候常在解题一开始 未找准思维起点 从而不是出错 就是繁琐 但如果 我们能在解题一开始就找准思维起点 再加上科学 思维和合理运算 推理 常能缩短解题长度 使问题 解决得干净利落 简洁明了 那么 怎样才能找准解 题思维起点 即解题的切人点呢 一般而言 应该先 根据题目 的条件和结论进行模式识别 差异分析和 题目 信息的转换 活用等思维活动 以便捕捉到问 题的本质特征 进而寻求解题突破 另外 由于 一 个概 念 或 一 个问 题 在同 二 个体 不同 个体中 完 全可 能具有不同的心理表征 它们分别突出了对象的某 些 而不是全部 性质 而且 在不同的时刻或场合 所得到 激活 的通常又只是这些不同心理表征中 浙江省湖州市第一中学3 1 3 0 0 0 的某一个 于是涉及到具体数学问题的解题切人 点便可能呈现出多姿多彩的特色 为说明这一点 下举一例加以说明 例1 证明 如 果 x x 2 1 y 干丁 1 那么x y 0 分析1 利用函数的单调性知识为切人点 令f x x 十V x 2不丁 则 可 证明f x 在R 上 为增函数 由已 知 可 得x 丫 乎 耳 万 y 不丁 即 f x f 一y 故x 一y 即x y 0 分析2 利用方程知识为切人点 设 x 丫 P 不了 y 丫 夕 不丁 则 分 别是方程S 2 一2 二一1 正根 由题设可知 2 x 一 生 八 1 v9 t 一 z y一 丁 6 0 矛一2 M一1 的一个 1 又由上述方程可得 一 0 于是就有 s t 一2 x 1 1 一y 一 丁十万少 0 所以 t 一2 Z 刃一S t 贝 0 将 t 1 代人该式即得结论x y 0 分析3 利用三角知识为切人点 令 二 一 ta n a 一 ta n g 一 晋 a p 晋 t a n a t a n a 1 t a r 8 故 t a n a s e c a t a n 8 切割化弦并整理得 1 一 0 t a n 月 1 1 s e c p 1 c o s a 户 s i n a s i n S 则 in 宁 宁 co s 宁 0 易得 a p 0 则s i n a 户 0 万方数据 2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期数学通报 所以x y t a n a t o 明一 i n a a c o s a c o 明 0 故 命题得证 分析a 利用等比数列知识为切人点二 由 条 件 可 知x 十丫 夕 不丁 1 y 丫 歹 耳丁 成等 比数列 设x 不 丁 1 k 47 二 V J 甘 得v x 2 1 二生 Db G石A 一x 两边平方并化简得了 2 g z 一1 0 同理可得 矿一2 q y 一1 0 两式相减得2 抓x 刃 0 又4 0 故x y 0 分析5 利用等差数列知识为切人点 解略 分析6 利用函数的综合知识为切人点 构造函 数f x l g x 了 牙 干丁 可以 证明 的信息的 接触 它不断发生了新的变化 即变得 更为丰富和更为精致 最后问题的解决则就取决于 解题者最终能否成功地建构出关于所面临问题的 一个合适的内在表征 因此可见解题者对解题信息 与心理表征进行必要的调节 也即对解题的 调节 点 进行分析和监控 便显得尤为重要 下面以学生 的一道数学问题的部分解题记录的呈现为例加以 说明 例2 已知正数a b c a b c 满足条件a a b b c c k 求证 a b 1 c c a S I S R S m 就有了k 2 a b b C a x 真漂亮 老师你说呢 生 这道题最大的问题还是字母太多了 怎么 才能减少未知数呢 嗯 我想起来了 减少未知数可 用代人消元法加以解决 让我观察一下题目中的式 子有什么特点 好象已知条件的式子中具有某种相 似性 只要考虑一个式子就行了 已知a a k 能 不能变形一下 从而找出与已学知识的联系 噢 这 样行了 可得a a l 从而联想到数列 a 等差数列的一个充要条件是a 二 十a 二2 a 所以 可以这样解 因为a a b 阮 k 所以a k 2 a 构成等差数列 故可设a k 万一 x a 万方数据 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期 其 中 二 音 0 一 字 母 还 是太多了 想了半天 我证不出来 生3 思索了这么长时间还没有头绪 我记得 教师曾说当没有思路时 要重回条件进行分析 看 样 子 只 能 把 条 件 再 变 形 一 下 子 把 除 过 去 化 成 ak b b 气 十 怡 花佗 1 这好象与刚复习过 的对立事件的概率公式有点相像 显 然 0 的证明时 完全可以采取函数法加以解决 但对此解题途径他当时并未充分认识到 从而导致 解题活动未能圆满完成 最后 尚未形成 灾难性 的后果 但已出现了错误的 迹象 的时刻 这时应 当引起 反省 以作出必要的调整 否则就会导致失 败 如生 在解题时 最后一个表达式分组结合失 当 又没有及时反省 导致发出 这太复杂了 的感 叹 解题活动的结果可想而知 总的来说 所谓的解题 调节点 是指这样的时 刻 此时解题者已经或者应当从 元认知 的高度去 采取行动 由上可见 在解题过程中调节点的运用 折射出 解题者对解题信息与大脑中已有的知识脉 络之间的相互转换 沟通的能力 是解题过程中的 又一关键点所在 3 数学解题也应注意审视解题后的反思点 所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后 通过对题目特征 解题思路 解题途径 题目结论 解题中反映出的数学思想方法 特殊问题所包含的 一般意义等方面的概括及反思来进一步显露数学 解题的思维过程 从而开发学习者的解题智慧 以 达到事半功倍 培养学习者思维品质的目的 如果 解题者在运用数学知识解决问题时 缺乏解题后的 反思和回顾 将会导致获得的知识系统性减弱 结 构性趋差 因 此 为了提高数学学习效率 必须加强 正确的解题思想 养成反思的习惯 下举一例对常 见的两个反思点加以说明 例3 设 点 在 A B C内 部 且 有 献 2 苗 3 岔 0 则问 A B C 的 面 积与 AG 的 面 积的 比为多少 解如图2 设D E分 别是A C B C边的中点 则 献十 沈 2 苗 2 苗 办 一 4 Off 故 可 得 前 2 亩 3 岔 2 O E C 2 丽 0 即 苗 与 旅 共 线 且1 苗 1 2 1 苗1 故 有 图 2 S a c S 3 5 下 一 X 幼石 口 A 刃 能够清楚地认识到 如生2在 最 后 的 粤 k 2 十 十 二 性 3X2 2 3 万方数据 2 0 0 7 年第4 6 卷第 1 2 期数学通报 3 1 反思一题多解 领会数学思想 正如上文所述 由于每位解题者思维的角度 方式 水平等方面的差异 因而解题者的解答往往 1 下 I x i Y 2 一 x 2 Y l v 呈多样性 这正是数学教 学中丰富的 矿产资源 必须充分发掘利用 并通 过反思加以提炼 以领悟 数学思想的实质 培养解 题者思维的发散性 洲卉 了工J 尸 尹 砚 产 二 洛 I 一 一 一户 破 奋产 仃勺 日 卜 一 舀 一一一一 一 二 图 3 别 解1 条 件 献 2 苗 3 岔 0 之 所以 不 好 利 用 难 在 式 中 的 OZ 岔有 两 个 不 为1 的 系 数 如果能消去这两个系数 难关就会迎刃而解 如图3 延长O B 至B 使 E 2 苗 延长cc 至己 使 改 乡 3 沈 则 有 演十 瓦 梦 石 少TO 于 是点O就成为 A B C 的重心 因为 S ln 1 S AC S W C B 口 1 几 歹 J A A B C 0 o u 以上三式两端分别相加得二 S o n a c 1 S L C 音 二 故有S A A W 别解 2 5 乙c c今3 设A为坐标原点 B x l y i C x 2 Y Z O x 3 Y 3 设乙B A C B 则 因为S A I W二 音 AI 音 A I 音 AmI A t I Sin e A t I 了 i c o s 6 Av 八B 八C 上 一 与 丽 万 厉 万 丁 厂 一 告 I Ao IZ AI 一 AM AZ z x 2 X 2 y a 2 一 x 两千交 面 平 1 2 一 1 万 I X J 2 一 T 2 y 而 由反 2 苗 3 岔 可 得 6 x 3 二2 x 3 x 2 6 y 3 2 y 3 y 2 于 是 有 一 告 X 2 y 3 一 二 y 2 故有S A IW S A A O C 3 3 2 反思问题延伸 挖掘数学内涵 把有些特殊的数学问题 一般化 是挖掘数学 内涵的一种重要方法 也是数学解题反思的一个重 要方面 下面把上例的结论进行推广 可初步得到 如下几个结论 当然如果把O 点不仅限于 A B C内 部或扩展到平面四边形 又可得到若干相关结论 不再展开 结 论1 设 点 在 A B C 内 部 且有 o A m 亩 m n 沈 0 其中 m 0 则S A A O B S o BW S A n m n m 结 论2 设 点在 A B C内 部 且有 荫 m 亩 沈 0 其 中n m 0 则S n 昆二 S o a o c n 1 m 结 论3 设 点 在 A B C内 部 且有 献 m 丽 剪 0 0 则S A 昆二 S a n s n A m 正如上例一样 有些数学习题从形式上看较为 浅显 但如果在教学中对原形作适当变形 引导学 生作深层次的探究 就能领会到数学的内涵 另外 正如上文所提及到的 数学解题的反思点不仅限于 以上两个方面 限于篇幅 不再赘述 数学解题活动是一个由联想所学知识 运用数 学思想方法 确定解题切人点 监控解题调节点 审 视解题反思点 不断由低级向高级逐步抽象的复杂 的心理过程 因而解题者在解题过程中的思维活动 应逐渐由数学知识 思想方法这些相对具体的层 面 向数学观念 解题策略等更为抽象的层次发展 以使解题者能从更高的观点 更宽的视野 更理性 的眼光 去思考数学问题 领悟数学哲理 考文版 1 中 华人民 共和国 教 育部 普 通高中 数学课程标准 实验 M 北京 人 民教