第十二章 轴对称复习.ppt

第十二章轴对称 小结与复习 把一个图形沿着一条直线折叠 如果直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形就叫做轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 这时我们也说这个图形关于这条直线 成轴 对称 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能与另一个图形完全重合 那么就说这两个图关于这条直线对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点 叫做 对称点 一 轴对称图形 1 轴对称图形 2 轴对称 3 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 1 轴对称图形是指 具有特殊形状的图形 只对 图形而言 2 对称轴 只有一条 1 轴对称是指 图形的位置关系 必须涉及 图形 2 只有 对称轴 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分 那么这两个图形就关于这条直线成轴对称 如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体 那么它就是一个轴对称图形 一个 一个 不一定 两个 两个 一条 知识回顾 4 轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 练习 1 国旗是一个国家的象征 观察下面的国旗 是轴对称图形的是 A 加拿大 韩国 乌拉圭B 加拿大 瑞典 澳大利亚C 加拿大 瑞典 瑞士D 乌拉圭 瑞典 瑞士 加拿大韩国澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士 C 2 小明照镜子的时候 发现T恤上的英文单词在镜子中呈现 的样子 请你判断这个英文单词是 A B C D A 3 ABC与 DEF关于直线L成轴对称 则 C是多少度 L 650 750 解 3 1 什么叫线段垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 也叫中垂线 2 线段垂直平分线有什么性质 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 纯粹性 你能画图说明吗 二 线段的垂直平分线 3 逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上 完备性 4 线段垂直平分线的集合定义 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合 三 用坐标表示轴对称小结 在平面直角坐标系中 关于x轴对称的点横坐标相等 纵坐标互为相反数 关于y轴对称的点横坐标互为相反数 纵坐标相等 点 x y 关于x轴对称的点的坐标为 点 x y 关于y轴对称的点的坐标为 x y x y 1 完成下表 2 3 2 3 1 2 1 2 6 5 6 5 0 1 6 0 1 6 4 0 4 0 2 已知点P 2a b 3a 与点P 8 b 2 若点p与点p 关于x轴对称 则a b 若点p与点p 关于y轴对称 则a b 练习 2 4 6 20 抢答 例 已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A 3 5 B 4 1 C 1 3 作出 ABC关于y轴对称的图形 解 点A 3 5 B 4 1 C 1 3 关于y轴对称点的坐标分别为A 3 5 B 4 1 C 1 3 依次连接A B B C C A 就得到 ABC关于y轴对称的 A B C A B A C 归纳 P44 先求出已知图形中的特殊点 如多边形的顶点或端点 的对应点的坐标 描出并连接这些点 就可得到这个图形的轴对称图形 x y 思考 如图 分别作出点P M N关于直线x 1的对称点 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗 15 点 x y 关于直线x 1对称的点的坐标为 2 x y 如图 分别作出 ABC关于直线x 1 记为m 和直线y 1 记为n 对称的图形 它们的对应点的坐标之间分别有什么关系 如图 点 x y 关于直线x 1对称的点的坐标为 2 x y 关于直线y 1对称的点的坐标为 x 2 y 点 x y 关于直线x m对称的点的坐标为 2m x y 关于直线y n对称的点的坐标为 x 2n y Y m X O A 4 5 B 1 3 C 4 1 x n G 1 5 类似 若两点 x1 y1 x2 y2 关于直线y n对称 则 归纳 若两点 x1 y1 x2 y2 关于直线x m对称 则 y1 y2 x1 x2 X2 2m x1 y2 2n y1 m n 1 如图 ABC中 边AB BC的垂直平分线交于点P 1 求证 PA PB PC 2 点P是否也在边AC的垂直平分线上呢 由此你能得出什么结论 结论 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 这个点到三角形三个顶点的距离相等 4 利用轴对称变换作图 如图 要在燃气管道L上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 泵站修在管道什么地方 可使所用的输气管道线最短 A B L P 1 有A B C三个村庄 现准备要建一所学校 要求学校到三个村庄的距离相等 请你确定学校的位置 A B C 利用轴对称变换作图 1 如图 A B两地在一条河的两岸 现要在河上建一座桥MN 桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 假设河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 作法 1 将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E 2 连接AE交河对岸与点M 则点M为建桥的位置 MN为所建的桥 证明 由平移的性质 得BN EM且BN EM MN CD BD CE BD CE 所以A B两地的距 AM MN BN AM MN EM AE MN 若桥的位置建在CD处 连接AC CD DB CE 则AB两地的距离为 AC CD DB AC CD CE AC CE MN 在 ACE中 AC CE AE AC CE MN AE MN 即AC CD DB AM MN BN所以桥的位置建在CD处 AB两地的路程最短 A B M N E C D 2 如图 A B是两个蓄水池 都在河流a的同侧 为了方便灌溉作物 要在河边建一个抽水站 将河水送到A B两地 问该站建在河边什么地方 可使所修的渠道最短 试在图中确定该点 作法 作点B关于直线a的对称点点C 连接AC交直线a于点D 则点D为建抽水站的位置 证明 在直线a上另外任取一点E 连接AE CE BE BD 点B C关于直线a对称 点D E在直线a上 DB DC EB EC AD DB AD DC AC AE EB AE EC在 ACE中 AE EC AC 即AE EC AD DB所以抽水站应建在河边的点D处 某中学七 4 班举行文艺晚会 桌子摆成两直条 如图中的AO BO AO桌面上摆满了桔子 OB桌面上摆满了糖果 坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果 然后回到座位 请你帮助他设计一条行走路线 使其所走的总路程最短 作法 1 作点C关于直线OA的对称点点D 2 作点C关于直线OB的对称点点E 3 连接DE分别交直线OA OB于点M N 则CM MN CN最短 A O B E D M N G H 证明 在直线OA上另外任取一点G 连接 点D 点C关于直线OA对称 点G H在OA上 DG CG DM CM 同理NC NE HC HE CM CN MN DM EN MN DE CG GH HC DG GH HE DG GH HE DE 两点之间 线段最短 即CG GH HC CM CN MN即CM CN MN最短 4 如图 C为马厩 D为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定这一天的最短路线 作法 1 作点C关于直线OA的对称点点F 2 作点D关于直线OB的对称点点E 3 连接EF分别交直线OA OB于点G H 则CG GH DH最短 F A O B D C E G H 证明 在直线OA上另外任取一点G 连接 点F 点C关于直线OA对称 点G M在OA上 GF GC FM CM 同理HD HE ND NE CM MN ND FM MN NE FE CG GH HD FG GH HE 在四边形EFGH中 FG GH HE FE 两点之间 线段最短 即CG GH HD CM MN ND即CM MN ND最短 4 如图 在等腰直角三角形ABC中 ACB 90 点D为BC的中点 DE AB 垂足为点E 过点B作BF AC交DE的延长线于点F 连接CF 1 求证 AD CF 2 连接AF 试判断 ACF的形状 并说明理由 A F B D E F C 5 如图 在Rt ABC中 C 90 DE是AB的垂直平分线 连接AE CAE DAE 1 2 求 B的度数 6 如下图 ABC中 AC 16cm DE为AB的垂直平分线 BCE的周长为26cm 求BC的长 C 7 如图 在 ABC中 DE是AC的垂直平分线 AC 5厘米 ABD的周长等于13厘米 则 ABC的周长是 A B D E C 18厘米 三 等腰三角形 知识点回顾 1 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对等边 四 等边三角形 知识点回顾 1 等边三角形的性质 等边三角形的三个角都相等 并且每一个角都等于600 2 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 1 如图 在 ABC中 AB AC时 1 AD BC 2 AD是中线 3 AD是角平分线 BAD CAD BD CD AD BC BAD CAD AD BC BD CD 练习 2 有一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm 则周长为 20cm 3 若等腰三角形的一个角为400 则另外两个角的度数为 700 700或400 1000 4 已知 如图 AB ACAD DC BC则 A A B C D 360 5 已知 如图AB AB CDAD BD则 BAC A B C D 1080 1 哪个在镜子中的像跟原来的一样 直线表示进镜子 垂直放置在纸条前 口木E目人晶SN中田 课堂练习 6 如图 在 ABC中 AB AC 16cm AB的垂直平分线交AC于D 如果BC 10cm 那么 BCD的周长是 cm A B C D E 26cm 7 如图 P Q是 ABC边上的两点 BP PQ QC AP AQ 求 BAC的度数 6 等腰三角形的一个角为100 底角为 7 等腰三角形的周长为16cm 腰比底长2cm 则腰长为 8 等腰三角形的一边长为3cm 另一边长为8cm 则它的周长是 9 如下图 ABC中 AC 16cm DE为AB的垂直平分线 BCE的周长为26cm 求BC的长 C 作业布置 已知 如图 ABC中AB ACE为AC延长线上的一点且CE BDDE交BC于F求证 DF EF A B C D E F 提示 过D作DG AE交BC于G证 DFG EFC即可 G 20世纪著名数学家赫尔曼 外尔所说的 对称是一种思想 人们毕生追求 并创造次序 美丽和完善 本章知识回顾 轴对称图形 如果一个图形没一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 则称这个图形是轴对称图形 成轴对称 如果两个图形沿一直线对折后 它们能完全重合 则称这两个图形成轴对称对称轴 这一条直线叫对称轴 1 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 1 轴对称图形是指 具有特殊形状的图形 只对 图形而言 2 对称轴 只有一条 1 轴对称是指 图形的位置关系 必须涉及 图形 2 只有 对称轴 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分 那么这两个图形就关于这条直线成轴对称 如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体 那么它就是一个轴对称图形 一个 一个 不一定 两个 两个 一条 知识回顾 轴对称的性质 对应点所连的线段被对称轴垂直平分对应线段相等 对应角相等 1 对应点所连的线段被对称轴 3 如果一个图形是轴对称图形 那么连结对称点的线段与对称轴关系 对称轴垂直平分连结对称点的线段 4 线段的垂直平分线的点到的距离相等 这条线段两端点 5 一个角的角平分线上的点到的距离相等 这个角的两边 2 轴对称图形的 相等 相等 垂直平分 对应线段 对应角 轴对称的性质 等边三角形一定是等腰三角形 等腰三角形不一定是等边三角形 轴对称图形 3条 三个角都相等 每边上 三线合一 都是60 轴对称图形 1条 等边对等角 三线合一 等腰三角形 等边三角形的性质 判定 两边相等 三边相等 或两角相等 或三角相等 有一个角是60 的等腰三角形 两边相等的三角形 三边相等的三角形 等腰三角形的顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简写成 三线合一 AB AC BD CD 已知 BAD CAD AD BC 三线合一 AB AC BAD CAD 已知 BD CD AD BC 三线合一 AB AC AD BC 已知 BD CD BAD CAD 三线合一 观察与思考 1 国旗是一个国家的象征 观察下面的国旗 是轴对称图形的是 A 加拿大 韩国 乌拉圭B 加拿大 瑞典 澳大利亚C 加拿大 瑞典 瑞士D 乌拉圭 瑞典 瑞士 加拿大韩国澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士 C 2 小明照镜子的时候 发现T恤上的英文单词在镜子中呈现 的样子 请你判断这个英文单词是 A B C D A 3 ABC与 DEF关于直线L成轴对称 则 C是多少度 L 3 一个角的角平分线就是这个角的对称轴 4 直线BD是长方形ABCD的对称轴 5 等腰三角形的对称轴最多有条 最少有条 圆的对称轴有条 它的对称轴是 6 以下是部分常用的交通标志图 仔细观察哪些是轴对称图形 1 2 3 4 5 6 7 如图 画出所示图形关于直线l的对称图形 A l l A B C l 1 2 3 1 B 答 轴对称图形是 1 2 3 5 6 无数 直径所在的直线 A B C 杨洋家住A处 晓华家住B处 陈凯家住C处 三人约好周日一起到购书中心买书 现三人正在商量应该在哪里集合 才能使集合地到他们三家的距离相等 你能在图中帮他们找到集合地吗 关于x轴对称的点横坐标 纵坐标 关于y轴对称的点横坐标 纵坐标 点 x y 关于x轴对称的点坐标 点 x y 关于y轴对称的点坐标 点M a b 3 与点N 2 a 关于x轴对称 试求a b的值 X y X y 不变 互为相反数 不变 互为相反数 1 分别以虚线为对称轴画出下列各图的另一半 并说明完成后的图案可能代表什么含义 2已知如图 一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶 M N分别表示位于公路AB两侧的村庄 1 当汽车行驶到什么位置时 与村庄M N的距离相等 答 如图 当汽车行驶到P3时 与村庄M N的距离相等 A B M N P3 根据 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2已知如图 一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶 M N分别表示位于公路AB两侧的村庄 2 当汽车行驶到什么位置时 到村庄M N的距离之和最短 答 如图 当汽车行驶到P4时 到村庄M N的距离之和最短 A B M N P4 根据 两点之间线段最短 又问 若村庄M N在公路AB的同侧 则又如何解决此题 N1 P5 答 若村庄M N在公路AB的同侧时 当汽车行驶到P5时 到村庄M N的距离之和最短 A 3 如图 七 1 班与七 2 班两个班的学生分别在M N两处参加植树劳动 现要在道路AB AC的交叉区域内设一个茶水供应点P 使P到两条道路的距离相等 且使PM PN 请你用折纸的方法找出P点并说明理由 B C M N 练一练 如图 1 等腰 ABC中 AB AC 顶角 A 100 那么底角 B C 2 ABC中 AB AC B 72 那么 A 3 等腰 ABC中有一个角为50 那么另外两个角分别是多少 36 40 40 随堂练习 3 已知等腰三角形有一个外角等于100 求等腰三角形的三个内角 思考 当外角是80 时等腰三角形的三个内角又如何呢 等腰三角形的底角都是锐角 钝角三角形不可能是等腰三角形 2 等腰三角形若两边长为 和 求它的周长 1 判断 等腰三角形的角平分线 中线和高互相重合 有一个角是60 的等腰三角形 其它两个内角也为60 4 如图 是齐新新同学照镜子时看到的对面墙上钟表指针的情况 你能告诉他当时的时间大约是几点几分吗 5 如图 在 ABC中 DE是AC的垂直平分线 AC 5厘米 ABD的周长等于13厘米 则 ABC的周长是 A B D E C 6 如图 在 ABC中 C 900 AD平分 BAC DE AB交AB于E BC 30 BD CD 3 2 则DE A B C D 18厘米 E 12 7 研究下列数字 找出它们的规律 并加以猜想 121 112 12321 1112 123 9 321 2 111111111 答 当时的时间大约是四点十分 8 如图 在 ABC中 AB AC 16cm AB的垂直平分线交AC于D 如果BC 10cm 那么 BCD的周长是 cm 大显身手 9 如图 ABC ACB的平分线相交于F 过F作DE BC交AB于D 交AC于E 若AB 9cm AC 8cm 则 ADE的周长是多少 AC AE EC AE EF AB AD DB AD DF 10 如图 ABC中 AB AC AE AD 则DF CB 为什么 11 如图 把一张矩形的纸沿对角线折叠 重合部分是一个等腰三角形吗 为什么 拓展题 动手折一折5 将图中的三角形纸片沿虚线折叠 图中由粗实线围成的图形面积与三角形面积之比为2 3 已知图中三个阴影的三角形面积之和为1 试确定重叠部分的面积 解 设重叠部分的面积为x 则粗实线围成的图形面积为1 x 三角形面积为1 2x 由题意得 1 x 2 3 1 2x 解得x 1 答 重叠部分的面积为1 A B C E F F 12 在 ABC中 AB AC A 36 BE是 ABC的角平分线 过E点作EF AB 则图中有几个等腰三角形 13 在 ABC中 DE是AC的垂直平分线 AE 3cm ABD的周长为13cm 请求出 ABC的周长 8 如图 把直角三角形ABC C 90 折叠 使点A与点B重合 得到折痕ED 再折叠 点C恰好与点D重合 那么 A 度 15 如图 ABC中AB AC D在BC上 E在AC上且AD AE 若 BAD 那么 EDC能确定吗 若能确定 求出 EDC的度数 若不能确定请你说明理由 14 若一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为35 求顶角的度数 28 16 13 已知 如图 于 求证 17 如图 ABC中 A 90 AB AC BD是 ABC的角平分线 请你说明AB AD BC 18 如图 ABC中 ABC 90 D E是AC上点 且AD AB CE CB 请问 DBE的大小是否确定 若确定请求出大小 若不确定 请说明理由 19 如图 已知CE CF分别平分 ACB和它的外角 EF BC EF交AC于D 你能说明DE DF的理由吗 20 如图 A 80 BD BE CD CF 求 EDF的度数 21 已知 ABC中 ABC的平分线BO与外角 ACD的平分线CO相交于O 过O作BC的平行线交AB于E 交AC于F 请根据上述已知条件画出图形 是否存在等腰三角形 EF与BE FC有什么关系 O F E 22 如图 ABC中 ACB 90 AD平分 BAC AD的垂直平分EF交BC的延长线于M 试说明2 M B 90 23 在 AFG中 AFG 90 AB BC CD DE EF FG 则 A 度 24 如图 OC CD DE EF 1 当EF OA于E时 求 AOB的度数 2 当 A0B 5 时 与线段OC一样长的线段 最多能画多少条 注 每条线段的两个端点分别位于射线OA OB上 22 请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰三角形 36 A B C 折成3个等腰三角形呢 23 请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形 1 对 A进行讨论 2 对 B进行讨论 3 对 C进行讨论 分类讨论 24 已知点A的坐标为 1 1 在y轴上找一点P 使 POA为等腰三角形 这样的点P共有多少个 实验室 P1 P2 P3 P4 其中 以OA为腰的三角形有 OAP1 OAP2 OAP3 以OA为腰的三角形有 OAP4 25 如图 ABC中 AB AC D为AB上一点 E为AC延长线上一点 且BD CE DE交BC于G 求证 DG EG 思路因为 GDB和 GEC不全等 所以考虑在 GDB内作出一个与 GEC全等的三角形 如果把已知中的 与结论 互换 而其它条件不变 那此题是否成立 26 如图 AD是 ABC的角平分线 AB AC E是AD上任意一点 那么AB AC 与EB EC的大小能确定吗 若能确定比较大小 若不能确定 请说明理由 1 本节课将进行系统的梳理和复习 让学生构建知识体系 教学提示 对称思想 2 本章中的主要数学思想是 转化思想 分类讨论思想 生活中的轴对称 用坐标表示轴对称 归纳与整理 性质 轴对称图形 两个图形关于某条直线对称 性质 判定 等边三角形 特殊 1 下列图形中 不是轴对称图形的是 A角B线段C任两边都不相等的三角形D等边三角形 2 下列图形中 只有一条对称轴的是 A B C D 3 点P 1 2 关于y轴对称点的坐标是 C C 1 2 4 如图四边形ABCD是轴对