数学 难题 中考.doc

一 有理数1（2008泰州）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算nl2+1，将所得结果记为a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1，结果为a2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+1，结果为a3；依此类推，则a2008=26考点：规律型：数字的变化类专题：规律型分析：根据题意，进行计算a1=26；因为2+6=8，所以a2=65；因为6+5=11，所以a3=122；因为1+2+2=5，所以a4=a1发现：每3个一循环，则20083=6691，则a2008=a1=26解答：解：26，65，122每3个数一循环，20083=6691，a2008=a1=26点评：此类题主要应根据要求进行正确计算，发现几个一循环，找到规律，再进行计算二 勾股定理与平方根2试题直角三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为1考点：勾股定理；三角形的内切圆与内心分析：连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答解答：解：连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是AOC，BOC，AOB的高线，设到三边的距离是x，则三个三角形的面积的和是：1 2 ACx+1 2 BCx+1 2 ABx=1 2 ACBC，就可以得到x=13清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文积求勾股法，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：S6 =m；第二步： m =k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程考点：勾股定理；勾股定理的证明专题：阅读型分析：先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题解答：解：（1）当S=150时，k= m = S 6 = 150 6 = 25 =5，所以三边长分别为：35=15，45=20，55=25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k倍，则三边为3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边其面积S=1 2 （3k）（4k）=6k2，k2=S 6 ，k= S 6 （取正值），即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数点评：此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答三 整式4(2011大庆）已知；a、b、c是ABC的三边的长，且满足a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3，试判断ABC的形状考点：因式分解的应用分析：利用分组分解法提公因式法对等式进行变形，再进一步判定三角形的形状解答：解：a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3，（a3-a2b）+（ab2-b3）+（bc2-ac2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，a=b或a2+b2=c2，则三角形是等腰三角形或直角三角形点评：此题考查了因式分解在图形中的应用，要能够熟练运用分组分解法和提公因式法进行因式分解5（2009台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式下列三个代数式：（a-b）2；ab+bc+ca；a2b+b2c+c2a其中是完全对称式的是（）A B C D考点：完全平方公式分析：在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论解答：解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：（a-b）2=（b-a）2；是完全对对称式将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca是完全对称式将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2故a2b+b2c+c2a不是完全对称式故选A点评：本题是信息题，考查了学生读题做题的能力正确理解所给信息是解题的关键6已知1+x+x2+x3+x4=0，求1+x+x2+x3+x2009的值00考点：因式分解的应用分析：1+x+x2+x3+x2009可以整理为（1+x+x2+x3+x4）+（x5+x6+x9）+（x2005+x2006+x2009），经过两次提公因式可得（1+x+x2+x3+x4）（1+x5+x10+x2005）解答：解：1+x+x2+x3+x2009=（1+x+x2+x3+x4）+（x5+x6+x9）+（x2005+x2006+x2009）=（1+x+x2+x3+x4）+x5（1+x+x2+x3+x4）+x2005（1+x+x2+x3+x4）=（1+x+x2+x3+x4）（1+x5+x10+x2005）由于1+x+x2+x3+x4=0，所以原式=0点评：寻找公因式1+x+x2+x3+x4是此题的关键7（2006安徽）老师在黑板上写出三个算式：52-32=82，92-72=84，152-32=827，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112-52=812，152-72=822，（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性考点：平方差公式专题：规律型分析：通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数解答：解：（1）112-92=85，132-112=86（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）当m，n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数当m，n-奇-偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数所以，任意两奇数的平方差是8的倍数点评：本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力四 分式8（2011宁德）已知：a1=x+1（x0且x-1），a2=1（1-a1），a3=1（1-a2），an=1（1-an-1），则a2011等于（）Ax Bx+1 C-1x Dx x+1 考点：分式的混合运算专题：规律型分析：先计算出a2=-1 x ，a3=x x+1 ，a4=x+1，依次循环，每三个数为一轮，则a3n=x x+1 ，a3n+1=x+1，a3n+1=-1 x ，从而得出a2011即可解答：解：a1=x+1（x0且x-1），a2=1（1-a1），a3=1（1-a2），an=1（1-an-1），a2=-1 x ，a3=x x+1 ，a4=x+1，a3n=x x+1 ，a3n+1=x+1，a3n+2=-1 x ，2011=6703+1，a2011=x+1故选B点评：本题是一道找规律的题目，考查了分式的混合运算，解题的关键是得出规律：a3n=xx+1 ，a3n+1=x+1，a3n+2=-1 x 9（2011襄阳）关于x的分式方程mx-1 +3 1-x =1的解为正数，则m的取值范围是m2且m3m2且m3考点：分式方程的解专题：计算题分析：方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围解答：解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，解得x=m-2，分式方程m x-1 +3 1-x =1的解为正数，x=m-20且x-10，即m2且m3，故答案为m2且m3点评：本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度（2011安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）（2，4）或（3，4）或（8，4）考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质专题：数形结合分析：分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可解答：解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQx轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=1 2 OA=5，根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQx轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5，根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD-QD=5-3=2，则P2（2，4）；当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQx轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4，根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4），综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）点评：这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题如图，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，A点坐标为（10，0），B点坐标为（6，3）动点P、Q分别从C、A两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（0t5），（1）当t为多少时，四边形PQAB是平行四边形？（2）当t为多少时，四边形PQAB是等腰梯形？考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；直角梯形专题：计算题；动点型分析：（1）当PQAB为平行四边形时，利用平行四边形的性质和Q（10-2t，0）P（t，3）推出 6-t=10-2t，从而可求出t（2）当PQAB为等腰梯形时，根据勾股定理求出AB=5，再利用等腰梯形的性质可得9t2-60t+109=25，解得t即可解答：解：（1）Q（10-2t，0）P（t，3）BPAQPQAB为平行四边形时，BP=AQ则BP=6-t，AQ=2tBP=AQ推出 6-t=2t解得t=2（2）BPAQPQAB为等腰梯形时QP=ABAB= 42+32 =5PQ= (10-2t)2+32 AP=PQ，9t2-60t+109=259t2-60t+84=03t2-20t+28=0（3t-14）（t-2）=0解得t1=14 3 ，t2=2又t=2时PQAB为平行四边形 （ （1）中已证 ）所以t=14 3 ，点评：此题主要考查等腰梯形的性质，平行四边形的性质，直角梯形的性质等知识点，涉及到的知识点较多，综合性较2012吉林）如图，在ABC中，A=90，AB=2cm，AC=4cm动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QFBC，交AC于点F设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2（1）当t=11s时，点P与点Q重合；（2）当t=45 4 5 s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质专题：动点型分析：（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t由相似三角形比例线段关系可得PQ=1 2 t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AC=2，列一元一次方程求出t的值；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：当1t4 3 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；当4 3 t2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形面积S由关系式“S=S正方形APDE-SAQF-SDMN”求出解答：解：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，t+t=2，解得t=1s，故填空答案：1（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=tQFBC，APDE为正方形，PQDABC，DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=1 2 DP=1 2 AP=1 2 t由AP+PQ+BQ=AC=2，得t+1 2 t+t=2，解得：t=4 5 ，故填空答案：4 5 （3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=1 2 t，求得t=4 3 s，进一步分析可知此时点E与点F重合；当点P到达B点时，此时t=2因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：当1t4 3 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ此时AP=BQ=t，AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；易知ABCAQFPBMDNM，可得AF=2AQ，EF=2EGEF=AF-AE=2（2-