概率论与数理统计》课后习题答案第四章.doc

习题4.1 1设10个零件中有3个不合格 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X的数学期望解 可得的概率分布为于是的数学期望为 2.某人有n把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开求此人直至将门打开所需的试开次数X的数学期望解 可得的概率分布为于是的数学期望为 3设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X，求X 的数学期望。解 由题意，则的数学期望为 4设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的 ，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。解 设该地每年因交通事故死亡的人数为，由题意服从泊松分布.因即 于是的数学期望为 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。5设随机变量X在区间上服从均匀分布，求.解 因X在区间上服从均匀分布，故的数学期望为于是6设连续型随机变量X的概率密度为又知,求的值解 由密度函数的性质可得即又由，可得即求解可得 .7设随机变量X 的概率密度为求数学期望解 8.设随机变量X的概率分布为 X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4求 ；（2）.解 (1) 其中 则 (2）9假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？解 设为一周内机器发生故障的次数，由题意，；又设为一周的利润（单位：万元），则于是一周的期望利润为10计算第1,2,3各题中随机变量的方差。解 （1）因的分布律为故 于是 (2) 因的概率分布为可得的数学期望为，又 于是 （3）由题意，则的方差为 11.设随机变量的概率密度为求的方差.解故12.设某公共汽车站在5分钟内的等车人数服从泊松分布，且由统计数据知，5分钟内的平均等车人数为6人,求.解 由题设知，随机变量的期望为，则泊松分布的参数，于是的方差，故13.已知随机变量X的概率密度为(1)设,求.(2)设,求解 由随机变量的密度函数可知，服从参数为的指数分布，则，则（1）（2）又 故有 14*.设随机变量X和Y同分布，均具有概率密度令已知A与B相互独立，且.试求：（1）a的值.（2）的数学期望. 解 由题意知故于是由及A与B相互独立知 解得 (2) 习题4.21. 设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为求.解 2.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为试求.解 3.设随机变量X,Y的概率密度分别为求.解 由的密度函数可知，分别服从参数为的指数分布，则 ， 于是 4.设随机变量X与Y相互独立，且，求解 由数学期望的性质知 又由相互独立可得 于是有 5将一颗均匀的骰子连掷10次，求所得点数之和的数学期望及方差。解 设为第i次掷骰子所出的点数，则10次掷骰子的点数之和为 由数学期望的性质，有 其中 故 又因相互独立，故 其中 于是 6.设（X,Y）的概率密度函数为求cov(X ,Y).解 由已知得，因此，7.设(X,Y)的联合概率分布为 X Y -1 0 1 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.3 0.1求解 由(X,Y)的联合概率分布可得及 则可得 故 8.*设X与Y是相互独立的两个随机变量，且均服从参数为的指数分布。试求随机变量的协方差.解 因相互独立且均服从参数为的指数分布，则 于是，的协方差为9.设随机变量X与Y均服从标准正态分布，相关系数为0.5.求.解 由题设知则 习题.1设X是掷一颗骰子所出现的点数，若给定e=1，2 ，实际计算并验证切比雪夫不等式成立 解 因X的概率函数为所以可见切比雪夫不等式成立。2已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3109，标准差是0.7 109试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2109至9.4109之间的概率的下界.解 设每升血液中的白细胞数为随机变量，由题设则由切比雪夫不等式3将一颗骰子连续掷4次，点数总和记为，试估计解 利用习题4.2的5题计算结果，可求得 则由切比雪夫不等式有4设随机变量X与Y的数学期望均为2,方差分别为1和4，而相关系数为0.5，试用切贝雪夫不等式估计证明 则由切比雪夫不等式，有 5设事件发生的概率记为P, P未知，若试验1000次，用发生的频率替代概率P，估计所产生的误差小于10%的概率为多少？解 设1000次试验中事件A发生次数为X，。由于P未知，用切比雪夫不等式估计最后一步是由于p的二次函数p（1- p），当p=0.5时取最大值0.25。习题4.41. 随机变量序列X1 ，X2 ， ，Xn ，相互独立同分布N（m ，），当n充分大时，可否认为近似服从正态分布N（nm ，n），为什么？ 解 可以，事实上，由于X1 ，X2 ， ，Xn ，相互独立同分布N（m ，），当n充分大时，由定理4.10知，近似服从正态分布N（nm ，n），且进一步由定理3.8得，精确地服从正态分布N（nm ，n）。2设随机变量序列 ，X1 , X2 ， ，Xn ，相互独立同分布，其概率密度i=1,2, , 问它们是否满足中心极限定理，为什么？ 解 不满足。因为 可见，Xi的数学期望不存在。因此不满足中心极限定理。3一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1为了使整个系统起作用，至少需有85个部件。求整个系统工作的概率。.解 设为100个部件中正常工作的部件数，由题意，.根据棣莫佛拉普拉斯中心极限定理，有近似服从正态分布。于是，系统正常工作的概率为 4设有30个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T1,T2,T30服从参数=0.1的指数分布。其使用情况使第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。令T为30个器件使用的总时间，求T超过350小时的概率。解 由已知条件可知 记，由勒维林德伯格中心极限定理知近似服从正态分布，则所求概率为 5抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受。问应检查多少产品才能使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.解 设检查产品的个数为，其中的次品个数为，则.由题意，要求，使 由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，近似服从正态分布，于是即 查表得，所以故 , 即应该检查145个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.6某商店负责供应某地区1000人的某种商品，设该商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,并假设这段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应准备多少这种商品才能以99.7%的概率保证该商品不脱销？解 设为1000人中需要商品的人数，由题意，由中心极限定理知，近似服从正态分布.设应准备件商品，则若想不脱销，需满足，于是有 查表得 ，所以7*某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元概率。解 设在一年内发生事故的汽车数量为，则，由中心极限定理，近似服从正态分布，所求概率为 .综合练习四一、填空题1.若的分布函数为，则的数学期望（ ）.2.设随机变量且，则（ 1 ）.3.设随机变量，则（ 3 ）.4.设随机变量服从泊松分布，且，则（ 4 ）.5.若随机变量X的概率密度为，则（ 2 ）.6.设的密度函数为，则的方差（ ）.7.设，令，则的方差（ ）.8.设（X ，Y） N ，则（ ）9.设的协方差，且，则（ 91 ）.10.设，令，则（ 10 ）. 二、选择题 1.已知随机变量服从二项分布，且，则参数的值为（ (b) ）.2.已知随机变量的数学期望为，则必有（ (b) ）.3.设X服从泊松分布，且，则 （ (c) ）.4.设随机变量的分布密度为 , 则 （ (a) ）.5对于两个随机变量X与Y，若，则（ (b) ）. 6.若二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则（ (b) ）.7.设为不为零的常数，随机变量X与Y的协方差为，令，则的协方差为（ (d) ）.8.设随机变量独立同服从参数为的指数分布。令,则（ (d) ）.9.设，则由切比雪夫不等式有（ (c) ）. 10.设随机变量相互独立且均服从参数为的指数分布，则下列结论正确的是（ (a) ）.其中.三、解答题1.从分别标有号码1 ，2 ， ，6的6张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码X的数学期望解 可得的概率分布为于是的数学期望为 2.设某型号的轮船横向摇摆的随机振幅X的密度函数为求（1）；（2）遇到大于其振幅均值的概率解 （1） （2）摇摆的随机振幅X大于其振幅均值的概率 3 某公司经销某种原料，根据历史资料表明；这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从(300,500)上的均匀分布每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压一吨，则公司损失0.5（千克）问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解 设公司组织货源t吨。则显然应该有又设Y 为在t吨货源的条件下的收益（单位：千元），则收益额Y为需求量X的函数，即当时，则此t吨货源全部售出，共获利1.5t。当时，则售出X吨（获利1.5X），且还有吨积压（获利所以共获利由此知以上是关于t的一元二次函数，用求极值的方法得，当吨时，能使达到最大，即公司应该组织450吨货源。4. 设随机变量的概率密度为对独立重复观察4次，表示观察值大于的次数，求.解 设A表示事件“表示观察值大于”，则由题意，服从二项分布，即，则有 ，于是 5. 证明函数在当t=EX时取得最小值，且最小值为 证明 因为 可见，当即时，取得最小值，且6.设(X,Y)的联合概率分布为 X Y -1 0 1 -1 a 1 b解 由联合分布的性质有即（1）（2）通过上表求得X,Y的边缘分布律见下表 X Y -1 0 1 -1 a 1 b 于是X与Y不相关的充要条件为由此得 或解方程组 得 得故当或时X与Y不相关。（3）当时可以验证，对任意的（i,j）,均有，故X与Y相互独立。 当时，由于，故X与Y不独立。7.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 求解 又 故 8.设随机变量X与Y相互独立，且分别具有下列概率密度： 试求：解 因为X的概率密度为：故,即又故,即于是由期望与方差的性质可得：9*.设随机变量X与Y相互独立,并有相同的分布令试求U与V的相关系数。解 因为 则10*.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（20,100）上的均匀分布，且顾客消费额是相互独立的。试求：（1）该餐厅每天的营业额；（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额760元内的概率。解 设每天400位顾客中第i位顾客消费额为Xi， 则i=1，2，3，400，。又顾客消费额是相互独立的，故该餐厅每天的营业额为（1）（2）设表