第05章 图像复原110504.ppt

第5章图像复原 教学要求 了解图像退化的常见原因及图像复原的目的理解图像退化与图像增强的关系掌握图像退化模型连续图像退化的数学模型离散图像退化的数学模型掌握图像复原方法无约束恢复有约束恢复了解MATLAB图像处理工具箱去模糊函数 5 1图像退化目的及原因 5 1 1图像的退化与复原图像的退化是指图像在形成 传输和记录过程中 由于成像系统 传输介质和设备的不完善 使图像的质量变坏 图像复原就是采取一定的方法尽可能地减少或消除图像质量的下降 恢复图像的本来面目 方法 根据图像退化的先验知识建立退化现象的数学模型 再根据模型进行反向的推演运算 以恢复原来的景物图像 图像复原过程如下 找退化原因 建立退化模型 反向推演 恢复图像建立图像恢复的反向过程的数学模型 就是图像恢复的主要任务 经过反向过程的数学模型的运算 要想恢复全真的景物图像比较困难 因此须有一个质量标准来衡量全真景物图像的程度 5 1 2图像复原和图像增强的区别二者的目的都是为了改善图像的质量 但目标不同 图像增强不考虑图像是如何退化的 而是试图采用各种技术来增强图像的视觉效果 因此 图像增强可以不顾增强后的图像是否失真 只要看得舒服就行 而图像复原就完全不同 需知道图像退化的机制和过程等先验知识 据此找出一种相应的逆处理方法 从而得到复原的图像 图像复原要明确规定质量准则 衡量接近原始景物图像的程度 由于引起退化的因素众多而且性质不同 为了描述图像退化过程 所建立的数学模型往往多种多样 而恢复的质量标准也往往存在差异性 因此图像复原是一个复杂的数学过程 图像复原的方法 技术也各不相同 如果图像已退化 应先作复原处理 再作增强处理 图像增强 提高图像的可懂度 主观角度 图像复原 提高图像的逼真度 客观角度 5 1 3图像退化原因 图像在形成 传输和记录过程中 由于受到多方面的影响 造成图像质量的退化 degradation 1 射线辐射 大气湍流等造成的照片畸变 2 A D过程会损失部分细节 造成图像质量下降 3 镜头聚焦不准产生的散焦模糊 4 成像系统中始终存在的噪声干扰 5 相机与景物之间的相对运动产生的运动模糊 6 底片感光 图像显示时会造成记录显示失真 7 成像系统的像差 非线性畸变 有限带宽 8 携带遥感仪器的飞机或卫星运动的不稳定 以及地球自转等因素引起的照片几何失真 5 1 4图像复原的应用及分类 应用 在航空航天 国防公安 生物医学 文物修复等领域具有广泛的应用 分类方法 无约束恢复有约束恢复传统复原方法 基于平稳图像 线性空间不变的退化系统现代复原方法 非平稳图像 非线性方法 信号与噪声的先验知识未知 5 2图像退化的数学模型 为了便于研究 须将具体的退化现象抽象成数学模型 建立图象的退化模型 5 2 1连续图像退化的数学模型连续图像退化的一般模型如图5 1所示 图5 1图像退化一般模型 其中H x y 概括了退化系统的物理过程 就是所要寻找的退化数学模型 数字图像的图像恢复问题可看作是 根据退化图像g x y 和退化算子H x y 的形式 沿着反向过程去求解原始图像f x y 或者说是逆向地寻找原始图像的最佳近似估计 图像退化的过程可以用数学表达式写成如下的形式 g x y H f x y n x y 5 1 退化的图像是由成像系统的退化加上额外的系统噪声而形成的 假定退化系统是线性位移不变系统 且受加性噪声n x y 的干扰 则退化图像可表示为g x y f x y h x y n x y 推导 因为 一幅连续图像f x y 可以看作是由一系列点源组成的 因此 f x y 可以通过点源函数的卷积来表示 即式中 函数为点源函数 表示空间上的点脉冲 在不考虑噪声的一般情况下 连续图像经过退化系统H后的输出为因此 在线性和空间不变系统的情况下 退化算子H具有如下性质 1 线性 设f1 x y 和f2 x y 为两幅输入图像 k1和k2为常数 则 2 空间不变性 如果对任意f x y 以及a和b 则对于线性空间不变系统 输入图像经退化后的输出为 在频域上可以写成 显然 在已知噪声统计特性前提下 进行图像复原的关键问题是寻找降质系统在空间域上的冲激响应函数h x y 或者降质系统在频率域上的传递函数H u v 可见 图像复原实际上就是已知g x y 求f x y 的问题或已知G u v 求F u v 的问题 它们的不同之处在于一个是在空域 一个是在频域 5 2 2离散图像退化的数学模型 1 一维离散退化模型 设f x 为具有A个采样值的离散输入函数 h x 为具有B个采样值的退化系统的冲激响应函数 则经退化系统后的离散输出函数g x 为输入f x 和冲激响应h x 的卷积 即 为了避免上述卷积所产生的各个周期重叠 设每个采样函数的周期为M 分别对f x 和h x 用添零延伸的方法扩展成周期M A B 1的周期函数 即 输出为 因为fe x 和he x 已扩展成周期函数 故ge x 也是周期性函数 用矩阵表示为 因为he x 的周期为M 所以he x he x M 即 可将上式写成更简洁的形式 即 设f x y 大小为A B h x y 被均匀采样为C D大小 为避免交叠误差 采用添0延拓的方法 将它们扩展成M A C 1和N B D 1个元素的周期函数 5 2a 5 2b 2 二维离散退化模型 则输出的降质数字图像为 5 3 二维离散退化模型可以用矩阵形式g Hf 5 4 g f是MN 1维列向量 H是MN MN维矩阵 其方法是将g x y 和f x y 中的元素排成列向量 5 5 5 6 Hj j 0 1 2 M 1 为子矩阵 大小为N N 由延拓函数he x y 的第j行构成 给定了退化图像g x y 退化系统的点扩展函数h x y 和噪声分布n x y 就可以得到原始图像f的估计 实际计算的工作量十分庞大 假设图像大小M N 512 相应矩阵H的大小为MN MN 262144 262144 这意味着要解出f x y 需要解262144个联立方程组 其计算量十分惊人 5 7 g Hf n 5 8 通常有两种解决上述问题的途径 1 通过对角化简化分块循环矩阵 再利用FFT快速算法可以大大地降低计算量且能极大地节省存储空间 其中D为H的本征值 W的第i m个分块表示为 的第k n个位置的元素为 如就相当于求F u v 2 分析退化的具体原因 找出H的具体简化形式 如匀速运动造成模糊的PSF 点扩展函数 就可以用简单的形式表示 这样使复原问题变得简单 例 假设已知原始图像 求退化图像g x y 解 其中 从而 即 作业 在离散退化模型中 原始图象退化系统的点函数设加性噪声求退化图象 5 3无约束恢复 逆滤波 1 原理 由离散退化模型可知 其中噪声项为 逆滤波法是指在对n的统计特性不确定的情况下 依据这样的最优准则 即寻找一个对原始图像的估计 使得在最小二乘方误差的意义下最接近g 即要使噪声n的模或范数 norm 最小 即目标函数 为最小 在求最小值的过程中 不做任何约束 称这种复原为非约束复原 由极值条件 解出为 对上式作傅立叶变换 得 可见 如果知道g x y 和h x y 也就知道了G u v 和H u v 根据上式 即可得出 再经过反傅立叶变换就能求出 逆滤波是最早应用于数字图像复原的一种方法 它适用于极高信噪比条件下的图像复原问题 并用此方法处理过由漫游者 探索者等卫星探索发射得到的图像 因为对于向量 且有 2 非约束图像复原的病态性质 由式进行图像复原时 由于H u v 在分母上 当u v平面上的某引起点或区域H u v 很小或等于零 即出现了零点时 就会导致不稳定解 因此 即使没有噪声 一般也不可能精确地复原f x y 如果考虑噪声项n x y 则出现零点时 噪声项将被放大 零点的影响将会更大 对复原的结果起主导地位 这就是无约束图像复原模型的病态性质 为此改进的方法有 在H u v 0及其附近 人为地仔细设置的值 使N u v 不会对F u v 产生太大影响 下图给出了H u v 同改进的滤波特性的一维波形 从中可看出与正常的滤波的差别 使具有低通滤波性质 因为H u v 带宽比噪声带宽窄的多 即使 D0的选取原则是将H u v 为0的点除去 但复原图像振铃效应严重 3 逆滤波法的特点 优点 形式简单适用于极高信噪比条件下 且降质系统的传递函数H不存在病态性质的图像复原问题 缺点 具体求解的计算量很大 需要根据循环分块矩阵条件进行简化 当H等于0或接近于0时 还原的图像将变得无意义 这时需要人为对传递函数进行修正 以降低由于传递函数病态而造成的恢复不稳定性 5 4有约束复原 无约束复原是指除了使准则函数最小外 再没有其他的约束条件 但是由于传递函数易存在病态问题 这使得无约束图像复原具有相当大的局限性 最小二乘类约束复原是指除了要求了解关于退化系统的传递函数之外 还需要知道某些噪声的统计特性或噪声与图像的某些相关情况 根据所了解的噪声的先验知识的不同 采用不同的约束条件 可得到不同的图像复原技术 5 4 1 基本原理 在最小二乘类约束复原中 令Q为f的线性算子 要设法找一个最优估计 使得形式为的 服从约束条件的函数最小化 求这类问题的最小化 常采用拉格朗日乘子算法 也就说 要寻找一个 使得准则函数 为最小 式中 Q为的线性算子 为一常数 称为拉格朗日乘子 对上式求导得 求解得到 式中 1 这个常数必须调整到约束被满足为止 式中各字母的含义 怎么求 下面介绍一种方法 当我们把估计图像代回到退化系统中 得到的输出会和已退化的图像有差异 该差异定义为残差r 由于噪声存在 残差不会等于零 因此残差的范数应该反映出噪声的特性 一般它是的函数 当增加或减少以达到时 即为所求的 虽然噪声的具体情况不容易描述 但它的均值和方差在实际应用中可以测量出来或近似计算出来 从而确定 利用迭代求解值的步骤 1 选择的初始值 并利用和估算出 2 将代入中 计算出 3 比较与 若 则增加 若 则减小 4 求出并求出 重复 2 3 直到满足这时的就是确定的值 5 将满足条件的值代入 得到的就是有约束恢复的恢复图像 唯一解 求解上式的关键就是如何选用一个合适的变换矩阵Q 选择的Q的形式不同 就可得到不同类型的有约束的最小二乘类图像复原方法 由有约束恢复可知 5 4 2 维纳滤波 对于维纳滤波 用图像f和噪声的相关矩阵表示约束条件Q 定义 在一般情况下 图像信号可近似地认为是平稳随机过程 维纳滤波将原始图像f和对原始图像的估计看作为随机变量 假设Rf和Rn为f和n的自相关矩阵 其定义为 式中 E 代表数学期望运算 Rf和Rn均为实对称矩阵 在大多数图像中 邻近的像素点是高度相关的 而距离较远的像素点的相关性却较弱 通常 f和n的元素之间的相关不会延伸到20 30个像素的距离之外 因此 一般来说 自相关矩阵在主对角线附近有一个非零元素带 而在右上角和左上角的区域内将为零值 如果像素之间的相关是像素之间距离的函数 而不是它们位置的函数 可将Rf和Rn近似为分块循环矩阵 因而 用循环矩阵的对角化 可写成 式中 W为一个MN MN矩阵 包含M M个N N的块 M N的含义见二维离散模型部分 W的第i m个分块为 i m 0 1 M 1 其中 WN为一个N N矩阵 其第k n个位置的元素为 k n 0 1 N 1 前面式子中 A和B的元素分别为Rf和Rn中的自相关元素的傅立叶变换 这些自相关的傅立叶变换被分别定义为fe x y 和ne x y 的谱密度Sf u v 和Sn u v 6 9 定义QTQ R 1fRn 代入上式 得 进一步可推导出 式中 D 为D的共轭矩阵 再进行矩阵变换 6 10 6 11 假设M N 则 式中 u v 0 1 2 N 1 H u v 2 H u v H u v 6 12 对上式作如下分析 1 如果 1 称之为维纳滤波器 注意 当 1时 并不是在约束条件下得到的最佳解 即并不一定满足 若 为变数 此式为参变维纳滤波器 使用参变维纳滤波法时 H u v 由点扩展函数确定 而当噪声是白噪声时 Sn u v 为常数 可通过计算一幅噪声图像的功率谱Sg u v 求解 由于Sg u v H u v 2Sf u v Sn u v 所以Sf u v 可通过上式6 12求得 2 当无噪声影响时 Sn u v 0 称之为理想的反向滤波器 逆滤波器可看成是维纳滤波器的一种特殊情况 3 如果不知道噪声的统计性质 也就是Sf u v 和Sn u v 未知时 式 6 12 可以用下式近似 式中 K表示噪声对信号的频谱密度之比 说明 维纳滤波是一种统计意义上的复原方法 因为 维纳滤波就是选用变换矩阵具有下列形式 可将上式写为 这表明统计意义上噪声与信号之比 那么的物理含义就是 在一簇估计值中 选择统计意义上抑制噪声最好的估计值作为恢复图像 在离散情况下 拉普拉斯算子可用下面的差分运算实现 11 40 4 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x y x f y y x f x y x f 5 4 3约束最小平方滤波 在所有可能估计值中选取最平滑的 也就是说灰度值空间变化最小的作为恢复图像 现在的问题是如何将其表示成的形式 图像的平滑程度可用拉普拉斯算子来描述 f 利用f x y 与下面的模板算子进行卷积可实现上面的运算 6 13 在离散卷积的过程中 可利用延伸f x y 和p x y 来避免交叠误差 延伸后的函数为Pe x y 建立分块循环矩阵 将平滑准则表示为矩阵形式 6 14 当 说明灰度值在x y方向上的变化都达到最小 图像是最平滑的 式 6 14 中每个子矩阵Cj j 0 1 M 1 是Pe x y 的第j行组成的N N循环矩阵 即Cj如下表示 6 15 根据循环矩阵的对角化可知 可利用前述的矩阵W进行对角化 即 11 44 6 16 如果要求约束条件 g Hf n 2得到满足 在Q C时 有 5 17 式 5