相似三角形综合大题解析.doc

相似三角形综合大题参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2012昌平区二模）如图，在RtABC中，ABC=90，过点B作BDAC于D，BE平分DBC，交AC于E，过点A作AFBE于G，交BC于F，交BD于H（1）若BAC=45，求证：AF平分BAC；FC=2HD（2）若BAC=30，请直接写出FC与HD的等量关系考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）首先证明HBG=HAD，再证明GBF=BAF，再根据GBF=HBG可得HAD=BAF，进而得到结论；过点D作KDFC交AF于K，然后可以证出=进而得到FC=2KD，再证明DKH=DHK得到KD=HD，进而得到FC=2HD；（2）与（1）中的证明方法类似，首先证明=，再根据MDFC可得=，然后再证明MD=HD，进而得到结论解答：解：（1）BDAC，AFBE，ADH=HGB=90BHG=AHD，HBG=HADABC=FGB=90，BAF+AFB=90，GBF+AFB=90GBF=BAFBE平分DBC，GBF=HBGHAD=BAF即 AF平分BAC在RtABC中，ABC=90，BAC=45，C=BAC=45，AB=BCBDAC，AD=DC=AC过点D作KDFC交AF于K，=FC=2KD，BE平分DBC，BEAF，DBE=EBF，HGB=FGB=90BFH=BHFBHF=DHKBFH=DHKKDBC，DKH=BFHDKH=DHKKD=HDFC=2HD（2）过点D作MDFC交AF于M，在RtABC中，ABC=90，BAC=30，=，=，=，MDFC，=，BE平分DBC，BEAF，DBE=EBF，HGB=FGB=90BFH=BHFBHF=DHMBFH=DHMMDBC，DMH=BFHDMH=DHMMD=HD=FC=HD点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是证明KD=HD和MD=HD此题综合性较强，找准角之间的相等关系是解决此题的难点2（2012香坊区二模）已知：在ABC中，ACB=90，AC=2BC，D是线段AC上一点，E是线段CD上一点，过点D作DFBE交BE的延长线于点F，连接CF（1）当点D是线段AC的中点时（如图1），求证：BFDF=CF：（2）当点D与点A重合时，在线段EF上取点G，使GF=DF，连接DG并延长交CF于点H，交 BC延长线相交于点P（如图2），CH：HF=4：5，EG=，求PH的长考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）过点C作CMCF交BE于点M，可以证得MCF是等腰直角三角形，则MF=CF，证明BFDF=MF即可；（2）首先证明ECFEBD，得到EFC=BDC，则可以证明HFGHDF，HFGHDF，根据CHBD，可以证得：PCHPBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得解答：证明：（1）过点C作CMCF交BE于点MBCM+ECM=DCF+ECM=90，BCM=DCMCBM+CEM=FDC+FED=90，CEM=FEDCBM=FDC点D是AC的中点，AC=2CD，AC=2BCCD=BCCBMCDF，BM=DF，CM=CF，MCF=90，MCF是等腰直角三角形，CMF=45，sin45=，MF=CF，BFBM=MF，BFDF=CF；（2）设CH=4k，CH：HF=4：5，HF=5k，BCE=DFE，CEB=FED，ECBEFD，=，=，CEF=BED，ECFEBD，EFC=BDC，RtACB中，tanBAC=，在RtGFD中，tanFDG=，BDC=FDG=EFC，又FHG=DHFHFGHDF=，HG=k，DH=10k，GD=k，在RtGFD中，GF=k，DF=3k，=又HFD=DFCFHDFDC，FDH=FCD=BDC，CFABFBD=BFC=FDH，tanFBD=，在RtFBD中，BF=6k，AB=15k，EF=k+，BE=k，CEFBED，=，即=，k=，HD=10k=2，CHBD，PCHPBD，=，=，PH=点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形的对应边的比相等，用k表示PH、HD的长度是关键3（2012西青区一模）在ABC中，ACB=90，ABC=30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为 （0180），得到ABC（）如图，当ABCB时，设AB与CB相交于点D证明：ACD是等边三角形；（）如图，连接AA、BB，设ACA和BCB的面积分别为S1、S2求证：S1：S2=1：3；（）如图，设AC的中点为E，AB的中点为P，AC=a，连接EP求当为何值时，EP的长度最大，并写出EP的最大值 （直接写出结果即可）考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）当ABCB时，BCB=B=B=30，则ACD=90BCB=60，ADC=BCB+B=60，可证：ACD是等边三角形；（2）由旋转的性质可证ACA和BCB，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；（3）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，根据图形求出此时的旋转角及EP的长解答：（）证明：如图，ABCB，BCB=ABC=30，ACA=30又ACB=90，ACD=60又CAB=CAB=60，ACD是等边三角形（） 证明：如图，AC=AC，BC=BC，又ACA=BCB，ACABCB=tan30=，S1：S2=AC2：BC2=1：3（）当=120时，EP的长度最大，EP的最大值为解：如图，连接CP，当ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，此时=ACA=120，B=30，ACB=90，AC=AC=AB=a，AC中点为E，AB中点为P，ACB=90CP=AB=a，EC=a，EP=EC+CP=a+a=a点评：本题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题4（2012南岗区校级二模）在ABC中，已知BAC=45，高线CD与高线AE相交于点H，连接DE（1）如图1，ABC为锐角三角形时，求证：AECE=DE；（2）如图2，在（1）的条件下，作AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=CF，AE=6，求GH的长考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）过点D作DNDE交AE于点N，易证得ADNCDE，由全等三角形的对应边相等，可得CE=AN，DE=DN，即可得DEN是等腰直角三角形，则可证得AECE=DE；（2）易证得DBECFE，根据相似三角形的对应边成比例，可得DE=EC，设EC=x，则DE=x，由（1）结论可得：6x=2x，则可求得DE等线段的长度，又由ADHCDB，可求得DH与CA的长，然后过F做FMAE交CD于点M，由相似三角形的对应边成比例，即可求得GH的长解答：解：（1）过点D作DNDE交AE于点NCDAD，BAC=45，ACD=45，AD=CDADN+NDC=ADC=90=NDC+EDC，ADN=EDC，高线CD与高线AE相交于点H，DAH+B=90，DCB+B=90，DAH=DCB，在ADN和CDE中，ADNCDE（ASA），CE=AN，DE=DN，DEN=45，EN=DE，AEEC=AEAN=EN=DE；（2）由（1）可得：BED=45，AEBC，AEC=90，EF平分AEC，CEF=45，CEF=BED，CFE=180CEFACB=18045ACB，BAC=45，B=180BACACB=18045ACB，B=CFE，DBECFE，BD=CF，DE=EC，设EC=x，则DE=x，由（1）结论可得：6x=2x，解得：x=2，EC=2，DE=2，过D作DKBC于K，DEB=45，DK=EK=DE=2，CK=EK+EC=4，tanDCK=，CD=2，BD=CD=，BC=5，CF=，AEDK，EK=EC，EH=DK=1，CH=CD=，AH=AEEH=5，AH=BC，由（1）得：DAH=DCB，AD=BC，在ADH和CDB中，ADHCDB（SAS），DH=BD=，CA=2，过F做FMAE交CD于点M，则CFMCAH，=，FM=，CM=，MH=，又GHFM，DHGDMF，即，GH=点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用5（2012徐汇区校级模拟）在OAC中，AOC=90，OB=6，BC=12，ABO+C=90，M、N分别在线段AB、AC上（1）填空：cosC=（2）如图1，当AM=4，且AMN与ABC相似时，AMN与ABC的面积比为1：9或1：27；（3）如图2，当MNBC时，将AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，EMN与ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）根据相似三角形的判定得出AOBCOA，进而得出AO的长，即可求出cosC的值；（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用AMN=B时，（如图1）AMNABC，当AMN=C时，（如图2）AMNACB分别求出即可；（3）首先得出AMNABC，当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别求出即可解答：解：（1）AOOC，ABO+BAO=90ABO+C=90，BAO=C又ABO=COA，AOBCOAOB=6，BC=12，6：OA=OA：18，OA=6，AC=12，cosC=；故答案为：；（2）cosC=，C=30，tanABO=，ABO=60，BAC=30，AB=BC=12AMN=B时，如图1，AMNABCAM=4，SAMN：SABC=AM2：AB2=42：122=1：9当AMN=C时，如图2，AMNACBAM=4，SAMN：SABC=AM2：AC2=42：（12）2=1：27故答案为：1：9或1：27；（3）可以求得：SABC=AOBC=612=36MNBC，AMNABCSAMN：SABC=MN2：BC2SAMN：36=x2：122SAMN=x2当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），MNBC，ANM=C=30ANM=BACAM=MN=x将AMN沿MN折叠，ENM=ANM=30AFN=90MF=MN=AM=xSFMN：SAMN=MF：AMy：x2=x：x=1：2y=x2（0x8）；当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），MNBC，CN：AC=BM：ABCN：12=（12x）：12，CN=12xCNGCBA，SCNG：SABC=CN2：BC2SCNG：36=（12x）2：122SCNG=（12x）2S阴=SABCSAMNSCNG=36x2（12x）2即y=x2+18x72（8x12）点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据直线EN与线段AB位置关系进行分类讨论得出是解题关键6（2012道外区二模）已知：如图1，四边形ABCD中，ABC=ADC=90，连接AC，tanCAD=，过点D作DEAB，点E为垂足（1）求证：AE+BC=DE；（2）连接BD，设BD与AC交于点F，DE与AC交于点G，若AG：FG=3：2，AE=6（如图2），求线段BC的长考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：探究型分析：（1）过点D作DHBC交BC的延长线于H，由DEB=EBH=DHB=90可知四边形DEBH为矩形，故可得出CDH=ADE，再由相似三角形的判定定理得出DCHDAE，由相似三角形的对应边成比例即可求出CH=AE，故可得出结论；（2）过点F作FMDE交DE于M，由题意可得=，故可得出AE及FM的长，由相似三角形的判定定理得出DCHDAE，由相似三角形的对应边成比例即可求出CH=AE，根据四边形DEBH为矩形得BE=DH；tanBDE=，在RtDFM中可得出DM=8，FD=4，设AG=3a（a0），AG：FG=3：2，FG=2a，故可得出DFGAFD，由相似三角形的对应边成比例可求出FD2的值，在RtAGE中，AEG=90，AG=6，AE=6，在RtFMG中，FMG=90，FG=4，FM=4，GE=6，DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，+BC=DE，BC=DE=183=15解答：解：（1）如图1，过点D作DHBC交BC的延长线于H，DEB=EBH=DHB=90，四边形DEBH为矩形，ADC=90，CDH+EDC=ADE+EDC=90，CDH=ADE，又DHC=AED=90，DCHDAE，=，CH=AE，DE=BH而BH=BC+CH=BC+AE，+BC=DE（2）如图2，过点F作FMDE交DE于M，FMG=90，又AED=90，FMG=AED，而FGM=AGE，=，AE=6，FM=4，由（1）知，DCHDAE，=，而由四边形DEBH为矩形得BE=DH，=，tanBDE=，在RtDFM中，FMD=90，tanFMD=，FM=4，DM=8，FD=4，设AG=3a（a0），AG：FG=3：2，FG=2a，DFG=AFD，BDE=DAC，DFGAFD，=，FD2=FAFG，（4）2=（3a+2a）2a，a=2，FG=4，AG=6，在RtAGE中，AEG=90，AG=6，AE=6，GM=4，在RtFMG中，FMG=90，FG=4，FM=4，GE=6，DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，+BC=DE，BC=DE=183=15点评：本题考查了相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、解直角三角形的知识，难度较大7（2012路南区一模）如图，在ABC中，AB=BC，ABC=120，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP将ABP绕点P按顺时针方向旋转角（0180），得到A1B1P，连接AA1，直线AA1分别交直线PB、直线BB1于点E，F（1）如图，当060时，在角变化过程中，APA1与BPB1始终存在相似关系（填“相似”或“全等”），同时可得A1AP=B1BP（填“=”或“”“”关系）请说明BEF与AEP之间具有相似关系；（2）如图，设ABP=，当120180时，在角变化过程中，是否存在BEF与AEP全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图，当=120时，点E、F与点B重合已知AB=4，设AP=x，S=A1BB1面积，求S关于x的函数关系式考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）由旋转角相等得到一对角相等，且两对边相等，可得出三角形APA1与三角形BPB1为顶角相等的等腰三角形，利用内角和定理得到底角相等，再根据对顶角相等，等量代换得到一对角相等，又一对角为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得到三角形BEF与三角形AEP相似；（2）存在，理由为：由（1）得出三角形BEF与三角形AEP相似，要使两三角形全等，只需找出一对角相等，即BE=AE即可，此时利用等边对等角得到一对角相等，由AB=BC，ABC=120，求出BAC的度数，表示出PAA1的度数，由BAE=ABP=BACPAA1，将各自的值代入即可列出两三角形全等时，与满足的关系；（3）过点P做PHAA1于点H，过点B做BMB1A1交B1A1的延长线于点M，如图所示，由旋转的性质得到APBA1PB1，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BAP=B1A1P，AB=A1B1=4，由APA1=120，利用三角形的内角和定理得到BAP=PA1A=B1A1P=30，进而得到AA1D=BA1M=60，在RtPHA和RtBM A1中，利用锐角三角函数定义由x表示出AH，AA1，表示出A1B，利用锐角三角形函数定义表示出BM，三角形A1BB1为B1A1为底边，BM为高，利用三角形的面积公式即可列出S关于x的函数解析式解答：解：（1）APA1=BPB1=，AP=A1P，BP=B1P，PAA1=PBB1=（180）=90，PBB1=EBF，EBF=PAE，又BEF=AEP，BEFAEP；故答案为：相似，=；（2）存在，同上可证BEFAEP，若要使得BEFAEP，只需满足BE=AE即可，BAE=ABE，ABC=120，AB=BC，APA1=，AP=A1P，BAC=30，PAA1=90，BAE=ABP=BACPAA1，=30（90）=60，则当BEFAEP时，=60（或=2+120）；（3）过点P做PHAA1于点H，过点B做BMB1A1交B1A1的延长线于点M，APBA1PB1，BAP=B1A1P，AB=A1B1=4，APA1=120，BAP=PA1A=B1A1P=30，AA1D=BA1M=60，在RtPHA和RtBM A1中，AP=x，AH=x，AA1=x，A1B=ABAA1=4x，BM=A1Bsin60=（4x）=2x，则S=A1B1BM=4（2x）=43x点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键8（2012上虞市模拟）复习完“四边形”内容后，老师出示下题：如图1，直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线AB于点Q，连接QC求证：PQC=DBC（1）请你完成上面这道题；（2）完成上题后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，如：如图2，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到PQC=DBC？如图3，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到PQC=DBC？请你对上述反思和作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：是；是并对、中的判断，选择其中一个说明理由考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）首先过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M、N由四边形ABCD为正方形，易证得MPCNPQ，即可得PC=PQ，即可得PQC=PCQ=45=DBC（2）首先过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M、N由四边形ABCD是矩形，易得四边形PNBM为矩形，即可得MPCNPQ，由相似三角形的对应边成比例，可得，又由在RtPBM中，tanPBM=与在RtPQC中tanPQC=，即可证得PQC=DBC首先过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M、N由四边形ABCD是直角梯形，易得四边形PNBM为矩形，即可得MPCNPQ，由相似三角形的对应边成比例，可得，又由在RtPBM中，tanPBM=与在RtPQC中tanPQC=，即可证得PQC=DBC解答：证明：（1）四边形ABCD为正方形，ABC=90，ABD=DBC=ABC=45，过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M、N则PNB=PMB=90，MP=NPMPN=90，即QPN+QPM=90CPM+QPM=QPC=90，CPM=QPN，在MPC和NPQ中，MPCNPQ（ASA） PC=PQPQC=PCQ=45=DBC（2）是；是 的证明：如图2，过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M、N四边形ABCD是矩形，NBM=PMB=PNB=90，四边形PNBM为矩形，则MB=NP，MPN=90CPM+QPM=QPC=90，QPN+QPM=MPN=90，CPM=QPN，又PMC=PNQ=90，MPCNPQ，PN=MB，在RtPBM中，tanPBM=，在RtPQC中tanPQC=，tanPBM=tanPQC，PBM=PQC，即PQC=DBC的证明：如图3，过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M、N，四边形ABCD是梯形，NBM=PMB=PNB=90，四边形PNMB是矩形，则MB=NP，MPN=90CPM+QPM=QPC=90，QPN+QPM=MPN=90，CPM=QPN，又PMC=PNQ=90，MPCNPQ，PN=MB，在RtPBM中，tanPBM=，在RtPQC中tanPQC=，tanPBM=tanPQC，PBM=PQC，即PQC=DBC点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、直角梯形的性质以及正切函数的定义此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用9（2012上海模拟）已知：在RtABC中，C=90，AC=4，A=60，CD是边AB上的中线，直线BMAC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将EDC沿CD翻折得EDC，射线DE交直线BM于点G（1）如图1，当CDEF时，求BF的值；（2）如图2，当点G在点F的右侧时；求证：BDFBGD；设AE=x，DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）如果DFG的面积为，求AE的长考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）由ACB=90，AD=BD，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD，再由BAC=60，得到三角形ADC为等边三角形，由AC的长求出AD与BD的长，同时求出ABC=30，由BM与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到MBC=ACB=90，再由CD垂直于EF，得到CDE和CDF都为直角，在直角三角形EDC中，求出DEC为30，利用两直线平行内错角相等可得出BFD也为30，而由CDECDA求出EDA为30，利用对顶角相等得到BDF为30，即BFD=BDF，利用等角对等边可得出BD=BF，由BD的长即可求出BF的长；（2）当点G在点F的右侧时，如图2所示，由翻折，得ECD=ACD=60，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到CEAB，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到BDG=BFD，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出BDFBGD；由BDFBGD得比例，将各自的值代入即可列出y与x的函数关系式，求出x的范围即可；（3）分两种情况考虑：（i）当点G在点F的右侧时，在y与x的关系式中，令y=6列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示，列出此时y与x的关系式，令y=6列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长，综上，得到所有满足题意的AE的长解答：解：（1）ACB=90，AD=BD，CD=AD=BD，BAC=60，ADC=ACD=60，ABC=30，AD=BD=AC，AC=4，AD=BD=AC=4，BMAC，MBC=ACB=90，又CDEF，CDF=90，BDF=30，BFD=30，BDF=BFD，BF=BD=4；（2）证明：由翻折，得ECD=ACD=60，ADC=ECD，CEAB，CED=BDG，BMAC，CED=BFD，又CED=CED，BDG=BFD，DBF=GBD，BDFBGD；由BDFBGD，得=，D为AB的中点，BD=AD，又BMAC，DBF=DAE，BFD=DEA，在BFD和AED中，BFDAED（AAS），BF=AE=x，=，BG=，在RtABC中，AB=8，AC=4，根据勾股定理得：BC=4，点D到直线BM的距离d=BC=2，SDFG=FGd=（BGBF）d，即y=（x）2=x（0x4）；（3）（i）当点G在点F的右侧时，由题意，得6=x，整理，得x2+6x16=0，解得x1=2，x2=8（不合题意，舍去）；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：同理得到SDFG=FGd=（BFBG）d，即y=x（x4），由题意，得6=x，整理，得x26x16=0，解得x3=8，x4=2（不合题意，舍去），综上所述，AE的值为2或8点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键10（2012道外区一模）已知：点P为正方形ABCD内部一点，且BPC=90，过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F（1）如图1，当PC=PB时，则SPBE、SPCF SBPC之间的数量关系为SPBE+SPCF=SBPC；（2）如图2，当PC=2PB时，求证：16SPBE+SPCF=4SBPG；（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且PQF=90，连接BD，BD交QF于点N，若Sbpc=80，BE=6求线段DN的长考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：探究型分析：（1）过点P作PIBC于点I，由PB=PC可知PIBECF，故PI是梯形BCFE的中位线，由梯形的中位线定理可知，PI=（BE+CF），由于PBC是等腰直角三角形，故PI=BI=CI，再根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）过点P作PGEF交BC于点G，EPG=90，由相似三角形的判定定理得出EPBGPC，由相似三角形的性质可知SGPC=4SEPB，同理可得SEPC=4SGPB，故可得出结论；（3）设正方形的边长为a（a0），由PC=2PB，SBPC=80可求出a的值，由（2）中EPBGPC，可得出CG=2BE=12，BG=8，CF=16，DF=4，过点P作PMAB交BC于点M交AD于点H，过点P作PTCD于T，由勾股定理可求出DQ的长，当DQ=4时，由等腰三角形的性质可求出DN的长，当DQ=12时，过点N作NN1QD于N1，由相似三角形的判定定理得出QDFQN1N，故可得出NN1的长，再由勾股定理即可得出DN的长解答：解：（1）如图1所示：过点P作PIBC于点I，PB=PC，PIBECF，PI是梯形BCFE的中位线，PI=（BE+CF），PBC是等腰直角三角形，PI=BI=CI，SPBE+SPCF=BEBI+CFCI=BEBC+CFBC=BC（BE+CF）=BCPI=SPBC故答案为：SPBE+SPCF=SBPC；（2）如图2，过点P作PGEF交BC于点G，EPG=90，BPC=90，EPB+BPG=90，BPG+CPG=90，EPB=CPG，同理，EBP+PBC=90，PBC+BCP=90，EBP=BCP，EPBGPC，PC=2PB，=（）2=SGPC=4SEPB，同理可得SFPC=4SGPB，SPBG+SPGC=SBPC，16SPBE+SPFC=4SBPC；（3）如图3，设正方形的边长为a（a0），BPC=90，PC=2PB，SBPC=80，=80，解得a=20，由（2）知，EPBGPC，CG=2BE=12，BG=8，CF=16，DF=4，过点P作PMAB交BC于点M交AD于点H，过点P作PTCD于T，PMBC，BC=20，SBPC=80，PM=8，PH=12，PT=16，FT=8，PQF=90，由勾股定理得，（HQ2+HP2）+（DQ2+DF2）=PT2+TF2，即（16DQ）2+122+（DQ2+42）=162+82，解得DQ=4或DQ=12，当DQ=4时，DQ=DF=4，PQF=90，DN为QDF的角平分线，DN=QD=2；当DQ=12时，过点N作NN1QD于N1，QOF=90，DN为QDF的角平分线，QDN=45，NN1AD，NN1=N1D，QDFQN1N，=，=，解得NN1=3，DN=3，综上所述，DN=2或3点评：本题考查的是相似形的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质进行解答11（2012太原一模）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF（1）判断并说明BH和AF的数量关系；（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转（0360），设AB=a，EH=b，且a2b如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出的值；如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE，BEH=AEF=90，然后利用“边角边”证明BEH和AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EG，根据正方形的性质求出AE、EG，再根据三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边可知A、E、G三点共线，且AE+AG=EG时，AG最小，AE+EG=AG时，AG最大，然后求解即可；根据平行四边形的对边平行且相等可得AHBD，AH=BD，再根据两直线平行，内错角相等求出EAH=90，再根据正方形的性质求出AE、BD，然后在RtAEH中，利用勾股定理列式整理即可得解解答：解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，BEH=AEF=90，四边形EFGH是正方形，EF=EH，在BEH和AEF中，BEHAEF（SAS），BH=AF；（2）连接EG，AB=a，EH=b，AE=AC=a，EG=b，根据三角形的三边关系，AGEGAE，AGAE+EG，当AG=EGAE时，AG最小，AG=AE+EG时，AG最大，baxb+a；x取得最大值时，=135；如图，四边形ABDH是平行四边形，AHBD，AH=BD，EAH=AEB=90，在RtAEH中，AE2+AH2=EH2，（a）2+（a）2=b2，整理得，a=b点评：本题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，旋转的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）考虑用不变的量表示变化的量是解题的关键12（2012武汉模拟）（1）如图1，在ABC中，点D，E在边BC上，BD：DE：CE=1：2：3，线段FGBC，分别交线段AD，AE于M、N两点，则有FM：MN：NG=1：2：3（2）如图2，在ABC中，BAC=90，正方形DEGF的四个顶点有ABC的三边上，线段FG分别交线段AD，AE于M、N两点，若BD=4，EC=9，求MN的长？（3）如图3，在ABC中，BAC=90，正方形DEGF的四个顶点在ABC的三边所在的直线上，DA与EN的延长线分别交直线FG于M、N两点，求证：MN2=MFNG考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）根据平行线分线段成比例定理列式求出=，=，=，然后表示出FM、MN、NG，再求出比值即可；（2）根据同角的余角相等求出B=CGE，然后求出BDF和GEC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求正方形DEGF的边长，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式求出MF、NG，然后根据MN=FGMFNG代入数据计算即可得解；（3）根据平行线分线段成比例定理列式表示出MF、NG，然后求出MFNG，再求出BDF和GEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BDCE=DE2，整理即可得证解答：（1）解：FGBC，=，=，=，=，设=k，则FM=kBD，MN=kDE，NG=kCE，BD：DE：CE=1：2：3，FM：MN：NG=kBD：kDE：kCE=1：2：3，（2）解：BAC=90，B+C=90，四边形DEGF是正方形，C+CGE=90，DF=EG，B=CGE，又BDF=GEC=90，BDFGEC，=，BD=4，EC=9，EGDF=EG2=BDEC=49=36，EG=6，即正方形DEGF的边长为6，正方形DEGF的边FGDE，=，=，=，即=，=，解得MF=，NG=，MN=FGMFNG=6=；（3）证明：在正方形DEGF中，DEFG，CENG，=，=，=，=，MF=MN，NG=MN，MFNG=MNMN=MN2，BAC=90，四边形DEFG是正方形，C+ABC=90，BFD+ABC=90，GE=DF=DE，C=BFD，又BAC=GEC=90，BDFGEC，=，BDCE=GEDF=DE2，=1，MN2=MFNG故答案为：1：2：3点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，要注意比例相等的联系13（2012香坊区校级模拟）已知，等边ABC中，D为BC上一点，DEAC交AB于C，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连DM，作DN平分MDC交AC于N（1）若BD=DC（如图1），求证：EM+NC=DM；（2）在（1）的条件下，如图2，作DFAC于F，若NF：FC=3：5，AM=4，连接MN将DMN沿MN翻折，翻折后的射线MD交AC于P，连接DP交MN于点Q，求PQ的长考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）首先延长AC至M，使CM=EM，连接DM，根据全等三角形的判定得出EMDCMD，进而得出DM=NM=CN+CM，即可得出答案；（2）首先利用勾股定理得出AN，QC，NQ，MD，ED，AC，NC的长度，再利用相似三角形的判定得出MRNNFD，进而得出MDNKDN（ASA），再由MPQKDQ，得出=，QP=DP即可得出答案解答：（1）证明：延长AC至M，使CM=EM，连接DM，BD=CD，D为BC中点，又DEAC，ABC与BDE都是等边三角形，DE=AC=BC=CD，BED=ACB=60，MED=MCD=120，在EMD和CMD中，EMDCMD（SAS），EM=CM，EDM=CDM，DN平分MDC，MDN=CDN，EDN=MDN，DEAC，EDN=MND，MDN=MND，DM=NM，DM=NM=CN+CM，DM=CN+EM（2）过M作MRAN于R，延长MN交BC于点K，NF：FC=3：5，设NF=3x，CF=5x，NC=8x，DFAC于F，C=60，CD=2CF=10x，D为BC中点，BD=CD=10x，AE=10x，AM=4，EM=10x4，DM=DM=EM+NC=18x4，FM=FC+CM=15x4，DF=5x，RtDFM中，（5x）2+（15x4）2=（18x4）2，解得：x1=1，x2=0（舍去）MD=18x4=14，ED=CD=10x=10，AC=20x=20，NC=3x+5x=8x=8，AN=208=12，QC=5，NQ=3，A=60，CQ=5，DF=5，=，MRN=NFD=90，MRNNFD，MNR=NDF，NDF+DNF=90，MNR+DNF=90，MND=90，在MDN和KDN中，MDNKDN（ASA），DMN=DKN，DK=DM=14，DKN=NMP，MPDK，APM=ACB=60，AMP是等边三角形，AP=AM=MP=4，PC=16，PF=11，DP=14，DKN=NMP，MQP=KQD，MPQKDQ，=，QP=DP=14=点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以