20.二阶曲线渐近线的几种求法 作者：哈丽旦木.吾布力 指导老师：阿扎提.艾则孜.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 二阶曲线渐近线的几种求法二阶曲线渐近线的几种求法 学生姓名 哈丽旦木 吾布力 学 号 20060101043 系 部 数学系 专 业 数学与应用数学 年 级 2006 3 指导教师 阿扎提 艾则孜 完成日期 2011 年 05 月 3 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 中文摘要中文摘要 本文通过二阶曲线渐近线的射影定义和一些重要 性质 从不同 的角度探讨了二阶曲线渐近线的四种求法和应用 关关键键词词 二阶曲线 渐近线 共轭 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 目目录录 中文摘要中文摘要 1 1 引引言言 3 3 1 1 二二阶阶曲曲线线渐渐近近线线的的定定义义 3 3 1 射影定义 3 2 2 渐渐近近线线的的重重要要性性质质 3 3 3 3 求求渐渐近近线线的的几几种种求求法法 4 4 3 1 把二阶曲线的渐近线看作为自共轭直径 4 3 2 二阶曲线渐近线看作为无穷远切点处的直线 5 3 3 渐近线作为通过二阶曲线中心的切线 5 3 4 把渐近线看作过原点的两条直线 6 4 4 应应用用举举例例 6 6 方法 1 把二阶曲线的渐近线看作为自共轭直径 7 方法 2 二阶曲线渐近线看作为无穷远切点处的直线 7 方法 3 渐近线作为通过二阶曲线中心的切线 8 方法 4 把渐近线看作过原点的两条直线 9 总总结结 1111 参考文献参考文献 1212 致致谢谢 1313 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 引引言言 二 阶曲线 的渐近线 定义为二阶曲线上无穷远点处的普通切线 求 二阶曲线渐近线的方程问题是在高等几何和解析几何中比较难 容易犯 错的问题之一 事实上 二阶曲线与 无穷远直线的交点和中心所连的直线就是渐近线 它是二阶曲线的切线 但却是普通切线而不是无穷远直线 它上的切点是二阶 曲线上的无穷远点而不是普通切点 渐近线都通过二阶曲线的中心 所以渐近线 也是二阶曲线的直径 也就是说它是自共轭直径 本文主要介绍二阶曲线的 射影定义 二阶曲线渐近线的有关性质和四种求法和应用 1 1 二二 阶阶曲曲线线渐渐近近线线的的 定定义义 1 1 射射影影 定定义义 定定义义 1 1 1 1 过二 阶 曲线上的无穷远点的切线 如果不是无穷远直线 则称为二 阶 曲线的渐近线 由此定义 渐近线有下面的重要性质 2 2 渐渐近近线线的的重重要要性性质质 渐近线有以下重要性质 定定 理理 1 1 二阶曲线的两条渐近线相交于中心 而且调和分离任何一对共轭 直径 定定 理理 2 2 双曲线有两条实的渐近线 椭圆有两条虚的渐近线 抛物线以无 穷远直线为渐近线 事实上 二阶曲线与的交点和中心所连的直线就是渐近线 l 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 3 3 求求渐渐近近线线的的几几种种求求法法 以下我们介绍二阶曲线渐近线的四种不同的求法 3 1 把把二二阶阶曲曲线线的的渐渐近近线线看看作作为为自自共共轭轭 直直径径 因为渐近线切二阶曲线 于无穷远点 所以它通过本身的极点 这就是说渐 是二阶曲线的自共轭直径 则由二直径共轭的条件 3 1 111222 0aakka kk 即设二直径为 12 0 ss lk xx 12 0 ss lk xx 其中则成为共轭的条件是 1112 1222 aa k k aa k 3 1 111222 0aakka kk 注 注 在直角坐标系下直径 方程中的是直径 直线的斜率 而 方程lkll 中的是直径 直线的斜率 kl 由上面 可以知道 因为 二直径 自 共轭 所以 令 得kk 2 221211 20a ka ka 解 方程 得 则 把它代入 直径方程 得 这二阶曲线 渐近 12 k k 线 的方程 即 为 1 12 0 ss k xx 和 2 12 0 ss k xx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 3 2 二二阶阶曲曲线线渐渐近近线线看看作作为为无无穷穷远远切切点点处处的的直直线线 由于二阶曲线与无穷远直线的交点满 3 1 ijijijji i j sa x x aa 3 0 lx 足 22 11 11212222 20a xa x xa x 而这方程表示通过原点的两条直线分别与二阶曲线的两条渐近线平行 因 此若设为二阶曲线的中心 则渐近线方程为 c 3 2 22 111222 2 0axaxyay 所以求出中心后即可得渐近线 3 3 渐渐近近线线作作为为通通过过二二阶阶曲曲线线中中心心的的切切线线 因为二阶曲线对于通过中心坐标的切线方程即为 3 1 0 ijij i j sa x x 313233 AAA 2 ppp s ss 不难计算 对于中心 因为 313233 AAA 3pij sa x 31131 1123121331 32132 12232223323 pijij i j Sa A xa A xa A xa A xa A xa A xa A x 3133a A xa A xa A x 11312132313311231223232332 a Aa Aa Axa Aa Aa Ax 31313232333333 ij a Aa Aa Axa x 因为 所以切线方程变为 33ppij saA 即渐近线为 2 2 333ijij aAsax 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 或 3 3 2 333ij A Sax 2 3 33 0 ij a sx A 令 则得渐近线方程为 3 1x 或 33ij A Sa 33 0 ij a s A 3 3 3 4 把渐近线看作过原点的两条直线把渐近线看作过原点的两条直线 二阶曲线以齐次坐标表示为 222 111222132333 2220a xa xya ya xza yza z 这二阶曲线方程和无穷直线的交点满足 0 lz 22 111222 20a xa xya y 3 4 这方程又可表为 即 3 4 式表示过原点的两条直 0 xyxy 线 这两条直线分别和二阶曲线的渐近线平行 通过中心 作这两线的 c 平行线 即以 Xxx Yyy 代替 代替 3 5 则由 3 4 推出二阶曲线的中心也通过原点 所以渐近线的方程是 c 22 111222 20a Xa XYa Y 4 4 应应用用举举例例 例例 求 双曲线的渐近线 方程 22 342100F x yxxyyxy 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 解解 方方法法 1 把把二二阶阶曲曲线线的的渐渐近近线线看看作作为为自自共共轭轭 直直径径 设直径为自共轭直径的渐近线的方程表示为 12 0 ss k xx 根据直径自共轭的条件 得有 2 221211 20a ka ka 解出 1 2 4310kk 1 k 2 k 1 4 所以渐近线的方程是 232 3810 0 xyxy 和 1 232 3810 0 4 xyxy 即渐近线的方程是 5580 xy 和 520180 xy 方方法法 2 二二阶阶曲曲线线渐渐近近线线看看作作为为无无穷穷远远切切点点处处的的直直线线 解解 原方程 22 342100F x yxxyyxy 先求出中心 因为 系数行列式为 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 3 11 2 3 450 2 150 所以 31 7 2 A 32 13 2 A 33 25 4 A 因此 中心 坐标 31 32 14 25 A A 32 33 16 25 A A 即为代入 1426 2525 C 22 111222 2 0axaxyay 3 2 得渐近线 的方程为 22 14142626 3 4 0 25252525 xxyy 分解因式得 1426 0 2525 xy 和 1426 4 0 2525 xy 化简得所求渐近线的方程即为 5580 xy 和 520180 xy 方方法法 3 渐渐近近线线作作为为通通过过二二阶阶曲曲线线中中心心的的切切线线 解解 因因为为 22 342100F x yxxyyxy 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 因为 3 3 表示二直线 故可由 2 3 33 0 ij a sx A 求 111213 212223 313233 0 aaa aaa aaa 将已知的值代入上式得 ij a 3 11 2 3 450 2 150 由此得因此渐近线的方程为 9 5 22 9 342100 5 xxyyxy 即 558 52018 0 xyxy 化简得所求渐近线的方程即为 5580 xy 和 520180 xy 方方法法 4 把渐近线看作过原点的两条直线把渐近线看作过原点的两条直线 解解 因为 原方程是 22 342100F x yxxyyxy 系数行列式为 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 3 11 2 3 450 2 150 所以 31 7 2 A 32 13 2 A 33 25 4 A 因此中心坐标为 31 32 14 25 A A 32 33 16 25 A A 由 分解为 22 340XXYY 则 4 0XYXY 0XY 和 40XY 将 代入得两条渐近线的 方程 是 14 25 Xx 16 25 Yy 8 5 xy 和 18 4 5 xy 化简得所求渐近线的方程即为 5580 xy 和 520180 xy 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 总总结结 求二阶曲线渐近线的方程问题是在高等几何和解析几何中最重要 的内容之一 本文主要介绍了二阶 曲线 渐近线 的射影定义 由则推出二阶曲 线渐近线的一些重要性质 并且介绍了求二阶 曲线渐近线 方程的 自 共轭直径法 无穷远切点处的二直线与渐近线平行法 渐近线作为 通过二阶曲线中心的切线来求法和二阶曲线在放射坐标系下的求法等比 较多用 的 在教材中没有介绍的四种方法 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 参考文献参考文献 1 梅向明 刘增贤 林向岩等 高等几何 第三版 M 高等教育出版 社 1983 年 11 月 162 167 205 208 2 梅向明 王智秋 高等几何 第三版 M 高等教育出版社 2008年 4月 131 134 3 方德植 解析几何 第一版 M 高等教育出版社 1986年 68 70 4 章学诚 解析几何 第一版 M 北京大学出版社 1989年 449 457 5 吕林根 许子道 解析几何 第四版 M 高等教育出版社 2006年 191 195 6 朱徳祥 高等几何 M 高等教育出版社 1983年 9月第一版 125 127 学学 士士 学学 位位 论论