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泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-1 群的定义和初步性质课 时本节课时本章课时328教学目的理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，熟练掌握群的基本性质。重点难点重点：群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法，群的性质。难点：群的判定，群的性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、基本概念 定义1 设是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：1） 结合律成立，即对中任意元素都有 ； 2） 中有元素，叫做的左单位元，它对中每个元素都有 ； 3） 对中每个元素，在中都有元素，叫做的左逆元，使 ；则称对代数运算作成一个群。如果对群的任二元素均有，则称为交换群或Abel群。否则称为非交换群或非Abel群。常见群的几个例子： 非零有理数乘群：全体非零有理数关于数的普通乘法作成的群。 正有理数乘群：全体正有理数关于数的普通乘法作成的群。 数域F上的一般线性群：数域F上全体阶满秩方阵关于矩阵的乘法作成的群。 次单位根群：全体次单位根对于数的普通乘法作成的群。群的阶：设是一个群，那么集合中含元素的个数称为群的阶.简记为。如果+，称为有限群，否则当+时，称为无限群.譬如：是无限群，而是有限群.二、群的性质定理1 群的元素的左逆元也是的一个右逆元，即有。定理2 群的左单位元也是的一个右单位元，即对群中任意元素均有。定理3 群的单位元及每个元素的逆元都是唯一的。推论1 在群中消去律成立，即，。三、群的等价定义及其判别定义2 设是一个非空集合，如果它有一个代数运算满足结合律，则称是一个半群。如果半群中有单位元（既是左单位元又是右单位元），则称为有单位元的半群，或简称为幺半群。定理4 设是一个半群，则作成群的充分必要条件是：1）有右单位元：即对中任意元素都有；2）中每个元素都有右逆元：。定理5 设是一个半群，则作成群的充要条件是：对中任意元素，方程，在中都有解。推论2 有限半群作成群的充分必要条件是：在中两个消去律成立。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-2 群中元素的阶课 时本节课时本章课时328教学目的理解并掌握元素阶的定义，熟悉元素阶的性质并会熟练掌握及应用。重点难点重点：元素阶的定义与性质。难点：元素阶的性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、元素阶的定义定义1 设是群的一个元素，使的最小正整数，叫做元素的阶。记作。例1 加法群中，是单位元，。例2 加法群中，0是单位元，而其它元素，。例3 乘法群中，1是单位元，而其它元素的阶都是无限。定理1 有限群中每个元素的阶均有限。例4定义2 若群中每个元素的阶都有限，则称为周期群；若中除外，其余元素的阶均无限，则称为无扭群；既不是周期群又不是无扭群的群称为混合群。二、元素阶的性质定理2 设群中元素的阶是，则。定理3 若群中元素的阶是，则，其中为任意整数。推论1 在群中设，则，其中是正整数推论2 在群中设，则。定理4 若群中元素的阶是，的阶是，则当且时，。定理5 设为交换群，且中所有元素有最大阶，则中每个元素的阶都是的因数，从而群中每个元素均满足方程。注： 定理4中条件“”必不可少。 定理5中条件“为交换群”是必要的。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-3 子群课 时本节课时本章课时428教学目的理解并掌握子群的概念，理解子群的充要条件及判定方法和构造群的子群的方法。重点难点重点：子群的概念，群的子集构成子群的充分必要条件以及判定方法。难点：群的子集构成子群的充分必要条件以及判定方法。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、子群的定义和性质定义1 设是一个群，而，如果关于中的乘法本身也能作成群，则称是的一个子群，记为。群至少有两个子群、，这两个子群称为群的平凡子群。如果除了平凡子群外还有其他子群，那就称为的真子群，记为。例1 设是整数加群，而一切偶数构成的集合为，其中：，那么关于整数的加法有。事实上，任取一个整数，那么为一切的倍数构成的集合，可知。例2 数域F上全体阶满秩对角阵的集合是的一个子群；F上一切纯量矩阵的集合又是的一个子群，当然也是的一个子群。定理1 设是群，。则子群的单位元就是群的单位元，中元素在中的逆元就是在中的逆元。二、子群的判定定理2 群的一个非空子集作成子群的充分必要条件是：1）； 2）。定理3 群的非空子集作成子群的充分必要条件是。注：群的有限子集作成子群的充分必要条件是：对的乘法封闭。例3 令为数域F上行列式等于1的全体阶方阵作成的集合，则关于矩阵的乘法作成群，记作，称为特殊线性群。显然。定义2 令是一个群，中元素如果同中每个元素都可换，则称是群的一个中心元素。注： 群的单位元总是群的中心元素。若群的中心元素只有时，称为无中心群。 交换群的每个元素都是中心元素。定理4 群的全体中心元素作成的集合是的一个子群，称为群的中心。注：是交换群。三、子群的乘积定义3 设是群的任二非空子集，规定，并分别称为与的乘积，为的逆。推论1 群的非空子集作成子群的充分必要条件是且。推论2 群的非空子集作成子群的充分必要条件是。定理5 设是群的两个子群，则。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-4 循环群课 时本节课时本章课时328教学目的理解并掌握循环群的概念及性质，熟悉循环群的生成元、子群以及分类。重点难点重点：循环群的概念、性质、生成元、子群及分类。难点：循环群的生成元、子群及分类。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、基本概念 设是群的任意一个非空子集，用表示中包含的一切子群的交，则是群中包含的最小子群。定义1 称为群中由子集生成的子群，并把叫做这个子群的生成系。注：。定义2 如果群可以由一个元素生成，即，则称为由生成的一个循环群，并称为的一个生成元。注：；循环群必是交换群。例1、例2二、循环群的分类及其性质定理1 设群，则1）当时，由可得，即是的全体互异的元素；2）当时，是阶群且。推论1 阶群是循环群有阶元素。注：判别一个元素是不是生成元，就看这个元素的阶是否等于。定理2 无限循环群有两个生成元，即与；阶循环群有个生成元，其中为欧拉函数。定理3 设是任意一个循环群。1）若，则与整数加群同构；2）若，则与次单位根群同构。三、循环群的子群定理4 循环群的子群仍为循环群。定理5 无限循环群有无限多个子群；当为阶循环群时，对的每个正因数，有且只有一个阶子群，这个子群就是。设是大于1的整数，且为的标准分解式。易知共有个正因数，这里是的正因数的个数。推论2 阶循环群有且只有个子群。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-5 变换群课 时本节课时本章课时328教学目的掌握变换群的概念，理解Cayley定理。重点难点重点：变换的乘法，Cayley定理。难点：Cayley定理。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注定义1 设是一个非空集合，则由的若干个变换关于变换的乘法所作成的群，称为的一个变换群；由的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群，称为的一个双射变换群；由的若干个非双射变换关于变换的乘法作成的群，称为的一个非双射变换群。例1 定理1 设为任一非空集合，为由的全体双射变换作成的集合，则关于变换的乘法作成一个群。定义2 称集合的双射变换群为上的对称群。当时，其上的对称群用表示，并称为次对称群。注：上的对称群是的最大的双射变换群。次对称群是一个阶为的有限群。定理2 设是非空集合的一个变换群，则是的一个双射变换群的充分必要条件是，在中含有的单（满）射变换。推论1 设是非空集合的一个变换群，则或是的双射变换群，或是的非双射变换群。注： 在的任意一个变换群中，不可能既含有的双射变换又含有的非双射变换。 如果，则集合的全体变换的集合只能作成幺半群而不能作成群。例2、例3、例4 定理3（Cayley定理） 任何群都同一个（双射）变换群同构。推论2 任何阶有限群都同次对称群的一个子群同构。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-6 置换群（一）课 时本节课时本章课时328教学目的理解变换群和置换群的概念及联系，掌握置换的乘法，置换的阶，会将置换写为若干个不相连的置换的乘积。重点难点重点：置换的乘法，置换的阶，将置换写为若干个不相连的循环置换的乘积。难点：置换的阶，将置换写为若干个不相连的循环置换的乘积。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、基本概念定义1 次对称群的任意一个子群，都叫做一个次置换群，简称置换群。定义2 一个置换如果把数码变成，变成，变成，又把变成，但别的数码（如果还有的话）都不变，则称是一个循环置换，简称为循环或循环，记作。循环简称为对换，无公共数码的循环称之为不相连循环。二、基本性质定理1 不相连循环相乘时可以交换。定理2 每个（非循环）置换都可以表为不相连循环之积；每个循环都可以表为对换之积，因此，每个置换都可以表为对换之积。例1、例2定理3 每个置换表成对换的乘积时，其对换个数的奇偶性不变。定义3 一个置换若分解成奇数个对换的乘积时，称为奇置换；否则称为偶置换。例3 证明：一个次置换群的置换或者全是偶置换，或者奇、偶置换各占一半。例4 证明：作成交代群的一个交换子群，这个群称为Klein四元群。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-6 置换群（二）课 时本节课时本章课时328教学目的理解变换群和置换群的概念及联系，掌握置换的乘法，置换的阶，会将置换写为若干个不相连的置换的乘积。重点难点重点：置换的乘法，置换的阶，将置换写为若干个不相连的循环置换的乘积。难点：置换的阶，将置换写为若干个不相连的循环置换的乘积。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、置换的阶定理4 循环置换的阶为，不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍数。定理5 设有次置换，则对任意次置换，有。从而当表成循环的乘积时，把出现在中各循环中的数码换成后即得。例5定理6 当时，次对称群的中心为恒等置换，即是一个无中心群。二、传递群定义4 设是集合上的一个置换群。如果对中任意两组个互异数码与，在中都有置换使则称为一个重传递（可迁）群。1重传递群，即对中任意数码与在中都有置换使 ，时，则简称为传递群或可迁群。定理7 上置换群是重传递群的充要条件是：对中任意个互异的数码在中有置换使。推论 上置换群是传递群，当且仅当对中任意数码有使。例6 当时，交代群是一个重传递群。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-7 陪集、指数和Lagrange定理（一）课 时本节课时本章课时328教学目的掌握陪集的概念和性质，理解指数的概念，弄清左右陪集的关系，理解并熟练掌握Lagrange定理和它的几个常用的推论，并且会应用Lagrange定理解决问题。重点难点重点：陪集的性质，指数的概念，Lagrange定理及其推论。难点：陪集的性质，Lagrange定理及其推论的证明及应用。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注定义1 设是群的一个子群，。则称群的子集为群关于子群的一个左陪集。而称为群关于的一个右陪集。左陪集的性质：1）； 2）； 3）； 4）；5）若，则； 6） 。定理1 设是群的一个子群，又令，则在与之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数或者都无限或者都有限且个数相等。例1 设,其中 用中全部个元素做代表元,则变得个陪集：； ； ； 。定义2 群中关于子群的互异的左（右）陪集的个数，叫做在里的指数，记为。定理2 设，是群的两个子群，则群关于交的所有左陪集，就是关于与的左陪集的所有非空的交。推论1 设，是群的两个子群，则当指数与都有限时，指数也有限。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-7 陪集、指数和Lagrange定理（二）课 时本节课时本章课时328教学目的掌握陪集的概念和性质，理解指数的概念，弄清左右陪集的关系，理解并熟练掌握Lagrange定理和它的几