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文档简介

1 三 一般迭代法 补充 第八节 可求精确根 无法求精确根 求近似根 两种情形 有时计算很繁 本节内容 一 根的隔离与二分法 二 牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三章 2 一 根的隔离与二分法 1 作图法 1 求隔根区间的一般方法 第二章第八节 3 2 逐步收索法 由图可见只有一个实根 可转化为 以定步长h一步步向右 搜索 若 搜索过程也可从b开始 取步长h 0 第二章第八节 4 2 二分法 取中点 对新的隔根区间 重复以上步骤 反复进行 得 则误差满足 第二章第八节 5 例1 用二分法求方程 的近似 实根时 要使误差不超过 至少应对分区间多少次 解 设 故该方程只有一个实根 欲使 必需 即 可见只要对分区间9次 即可得满足要求的实根近似值 计算结果见 高等数学 上册 P177 178 第二章第八节 6 二 牛顿切线法及其变形 有如下四种情况 第二章第八节 7 牛顿切线法的基本思想 程的近似根 记纵坐标与 同号的端点为 用切线近似代替曲线弧求方 在此点作切线 其方程为 令y 0得它与x轴的交点 其中 再在点 作切线 可得近似根 如此继续下去 可得求近似根的迭代公式 称为牛顿迭代公式 第二章第八节 8 牛顿法的误差估计 由微分中值定理得 则得 说明 用牛顿法时 若过纵坐标与 异号的端点作 切线 则切线与x轴焦点的横坐标未必在 第二章第八节 9 牛顿法的变形 1 简化牛顿法 若用一常数代替 即用平行 则得简化牛顿迭代公式 线代替切线 得 优点 因而节省计算量 缺点 逼近根的速度慢一些 第二章第八节 10 2 割线法 为避免求导运算 用割线代替切线 例如用差商 代替 从而得迭代公式 双点割线法 特点 逼近根的速度快于简化牛顿法 但慢于牛顿法 说明 若将上式中 则为单点割线法 逼近 根的速度与简化牛顿法相当 第二章第八节 11 例2 用切线法求方程 的近似解 使 误差不超过0 01 解 由草图可见方程有唯一的正实根 且 第二章第八节 12 得 而 再求 因此得满足精度要求的近似解 第二章第八节 13 三 一般迭代法 补充 在隔根区 按递推公式 则 即为原方程的根 称为迭代格式 初值 否则称为发散 第二章第八节 14 例3 用迭代法求方程 解法1将方程变形为 迭代格式为 发散 解法2将方程变形为 迭代格式为 迭代收敛 1 32472为计算精度范围内的所求根 第二章第八节 15 定理 证明略 迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关 可以证明 下述定理 第二章第八节 16 内容小结 1 隔根方法 作图法 二分法 2 求近似根的方法 二分法 牛顿切线法 简化牛顿法 割线法
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