高阶差分方程.ppt

2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 1 第6章高阶差分方程 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 2 在离散时间分析中可能出现这种情况 t期的经济变量 比如yt 不仅取决于yt 1 而且取决于yt 2 这样便引出了二阶差分方程 严格地讲 二阶差分方程是一个包含表达式 2yt 但不含高于二阶差分的方程 2yt读作yt的二阶差分 而符号 2是符号d2y dt2在离散时间情况下的对应物 表示 取二阶差分 如下 2yt yt yt 1 yt yt 2 yt 1 yt 1 yt yt 2 2yt 1 yt 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 3 因此 yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和 因为像 2yt和 yt这样的表达式写起来很麻烦 所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程 类似地 三阶差分方程为包含三期时滞的方程 等等 我们首先集中讨论二阶差分方程的解法 然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程 为控制讨论的范围 在本章 我们仅讨论常系数线性差分方程 但对常数项和可变项两种形式 均作考察 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 4 具有常系数和常数项的二阶线性差分方程 一类简单的二阶差分方程的形式为 yt 2 a1yt 1 a2y c此方程为线性 非齐次 且具有常系数 a1 a2 和常数项c的差分方程 二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成 yt yc yp 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 5 特别积分是 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 6 为求出余函数 我们必须集讨论简化方程yt 2 a1yt 1 a2y 0解一阶差分方程的经验告诉我们 Abt式在这种方程的通解中起非常重要的作用 因此 我们先试探形式为yt Abt的解 它自然意味着yt 1 Abt 1 等等 我们的任务便是确定A和b的值 将试探解代入简化方程 方程变成Abt 2 a1Abt 1 a2Abt 0或在消去 非零 共同因子Abt后 有b2 a1b a2 0 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 7 此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性 它具有两个特征根 对解Abt中的b而言 上述每个根都是可接受的 事实上 b1和b2均应在齐次差分方程的通解中出现 恰如在微分方程中的情况一样 此通解必然包括两个线性无关的部分 每一部分都有自己的任意乘积常数 与微分方程特征根的三种情况一样 差分方程的特征根也有三种情况 两个不相等的实数根 两个相等的实数根和一对共轭复数根 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 8 第一种情况 不同的实根 当a12 4a2时 b1和b2为不同的实根 在这种情况下 b1t和b2t线性无关 余函数可以简单地写成b1t和b2t的线性组合 即yc A1b1t A2b2t 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 9 第二种情况 重实根 当a12 4a2时 特征根为重根 b b1 b2 a1 2 现在若将余函数表示为如不同实根时的形式 则两部分将合并为一项 A1b1t A2b2t A1 A2 bt A3bt 此式无效 因为现在缺一个常数 为了补上缺失的部分 我们回顾一下 这部分应与A3bt项线性无关 还需要以变量t乘bt这个老方法 这样这个新的项可取A4tbt形式 它与A3bt项线性无关是很明显的 因为我们永远不能给A3bt项加上一个常系数而得到A4tbt A4tbt像A3bt一样 确实可以作为简化方程的解这一事实 可以很容易得到验证 只需将yt A4tbt 和yt 1 A4 t 1 bt 1等 代入简化方程 便可以看到该方程是一个恒等式 因此 重实根情况下的余函数为 yc A3bt A4tbt 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 10 例 求下列方程的通解 1 2 3 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 11 解 1 该方程的特别积分为 该方程的特征方程为 b2 10b 16 0 所以特征根为 所以 因此 方程的通解为若给定y0 10和y1 36 可求出该方程的特解 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 12 令t 0和t 1则 按照初始条件 令y0 10和y1 36 则A1 A2 2 102A1 8A2 2 36联立方程求解A1 5和A2 3 最后把它代入通解中可得特解 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 13 2 该方程的特别积分为 该方程的特征方程为 b2 6b 5 0 所以特征根为 所以 因此 方程的通解为 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 14 3 该方程的特别积分为 该方程的特征方程为 b2 2b 1 0 所以特征根为 所以 因此 方程的通解为 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 15 第三种情况 复数根 当a12 4a2时 b1和b2为一对共轭复数根 具体地 根的形式为h vi 其中因此 余函数变成 yc A1b1t A2b2t A1 h vi t A2 h vi t上式表明 解释yc并不容易 但幸运的是 由于棣莫弗定理 此余函数很容易化为三角函数 而三角函数我们已知如何解释 具体如下 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 16 若令v Rsin h Rcos 则共轭复数可以变换如下 h vi Rcos Risin R cos isin 进而 由欧拉关系 即ei cos isin e i cos isin 可再写成h vi Re i 则相应地 h vi n Rei n Rnein 类似地 h vi n Re i n Re in 所以 h vi n R cosn isinn n Rn cosn isinn 此即为棣莫弗定理 根据棣莫弗定理 可以写出 h vi t R cosn isinn t Rt cost isint 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 17 其中 为 0 2 内的角 以弧度度量 它满足条件 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 18 因此 余函数可以变换如下 yc A1Rt cos t isin t A2Rt cos t isin t Rt A1 A2 cos t A1 A2 isin t Rt A5cos t A6sin t 该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区别 首先 表达式cos t和sin t巳取代了原来使用的cosvt和sinvt 其次 乘积因子Rt 以R为底的指数 已取代了自然指数式eht 总之 我们已由复根的笛卡尔坐标系 h和v 转换到极坐标系 R和 一旦h和v已知 则R和 的值可由此确定 或可由参数a1和a2直接确定 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 19 例 求yt 2 1 4yt 5的通解 这里 系数a1 0和a2 1 4 这是一个a12 4a2的复根的例子 根的实数和虚数部分分别为h 0 v 1 2 并可得因为 值可满足两个方程则 2 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 20 因而 余函数为为求yp 我们在完备方程中尝试常数解yp k 这产生k 4 因此yp 4 且通解可以写成 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 21 时间路径的收敛性 同在一阶差分方程中的情况一样 时间路径yt的收敛性仅取决于当t 时 yc是否趋近于零 因此 我们在关于t的7个区域分布图中所了解的关于bt式的各种图形仍可应用 尽管在这里我们必须考察两个特征根 而非一个特征根 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 22 时间路径的收敛性 首先考察不同实根的情况 b1 b2 若 b1 1 b2 1 则余函数中的两项A1b1t和A2b2t将是放大的 因此yc必然是发散的 相反 若 b1 1 b2 1 当t无限增大时 yc中的两项将收敛于零 yc也将收敛丁零 但若 b1 1而 b2 1 会如何呢 在这种中间情况下 很明显 A2b2t项将会 消失 而另一项会越来越偏离零值 由此可知 A1b1t最终必将控制局势 并使路径发散 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 23 我们将绝对值较大的那个根称作强根 由此看来 实际决定时间路径的特征 至少是关于其敛散性这一特征的是强根 因此 我们可以这样表述 无论初始条件如何 当且仅当强根的绝对值小于1时 时间路径将是收敛的 但要注意 尽管收敛性最终仅取决于强根 但非强根也会对时间路径施加一定的影响 至少在起始阶段是如此 因此yt的确切图形仍取决于两个根 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 24 其次考察重根的情况 此时余函数包含项A3bt和A4tbt 前者我们早巳熟悉 但对后者 它包含一个乘积因子 仍需做一点解释 如果 b 1 bt项将放大 而乘积项t随着t的增加 会进一步增强放大性 另一方面 如果 b 1 则bt部分 当t增加时m它趋于零 和t部分变化方向相反 即t值将会抵销而非强化bt 那么 哪种力量更强一些呢 答案是 bt的衰减力量总是会超过t的放大力量 因此 在重根情况下对收敛性的基本要求仍是根的绝对值小于1 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 25 例 的解为 其特征根分别为2和8 瞬时均衡值为2 因为强根的绝对值大于1 所以时间路径发散 的解为 其特征根为1和5 还存在一个移动均衡3t 因为强根的绝对值大于1 所以时间路径也发散 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 26 现在我们考察复数根的情况 由余函数的一般形式yc Rt A5cos t A6sin t 可知 括号中的表达式 像连续时间状态中的表达式一样 将产生一种周期性波动形式 但因在这里 变量t仅取整数值0 1 2 我们仅能捕捉并利用三角函数图形中点的子集 在每个这样的点上 直到达到下一个相关的点以前 y值在一个完整的时期内都是有效的 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 27 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 28 如图17 1所描述的那样 所产生的路径既不是通常的振荡形式 在紧邻的时期中 不在yp值的上下交替 也不是通常的波动形式 非平滑 而是表现出一种阶梯波动 就收敛性而言 尽管决定性的因素实际上是Rt项 它像连续时间状态中的eht项一样 将确定阶梯波动在t增加时是得到强化 还是受到削弱 在现在这种情况下 当且仅当R 1时 波动才能逐渐缩减 因为根据定义 R是共扼复数根 h vi 的绝对值 所以 收敛性的条件仍是特征根的绝对值小于1 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 29 概言之 对于特征根的所有三种情况 无论初始条件为如何 当且仅当每个根的绝对值小于l时 时间路径将会收敛于 一个稳定的或移动的 瞬时均衡 例yt 2 1 4yt 5和yt 2 4yt 1 16yt 0的时间路径是否收敛 yt 2 1 4yt 5的通解为这里R 1 2 所以时间路径将收敛于一个稳定均衡 4 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 30 yt 2 4yt 1 16yt 0的通解为 有R 4 所以时间路径不再收敛于均衡 0 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 31 作业 1 写出下列每个方程的特征方程 并求出特征根 1 yt 2 yt 1 1 2yt 2 2 yt 2 1 2yt 1 1 2yt 5 3 yt 2 4yt 1 4yt 7 4 yt 2 2yt 1 3yt 42 对上题中的每个差分方程 根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动 以及时间路径是否是放大的 3 求第1题中方程的特别积分 它们表示平稳均衡或移动均衡吗 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 32 萨缪尔森乘数一加速相互作用模型 我们引用萨缪尔森教授的经典的相互作用模型 作为描述二阶差分方程在经济学中应用的一个例子 此模型探索当加速原理与凯思斯乘数一起发生作用时 收入决定的动态过程 此外 此模型还证明 仅仅是乘数和加速数的相互作用 就能够产生内生的周期性波动 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 33 结构 假设国民收入Yt由三种支出流组成 消费Ct 投资It 政府支出Gt Ct被看成上期收人Yt 1的函数 而非本期收入的函数 为简单起见 假设Ct严格地与Yt 1成比例 作为一个 引致 变量 投资是消费者现行支出倾向的函数 当然 正是通过这一引致投资 加速原理才得以进入模型 具体地 我们假设It与消费增量 Ct 1 Ct Ct 1成固定比例 第三个支出流Gt 则可视为外生变量 事实上 我们将假设它是一个常数 并以G0表示之 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 34 这些假定可以转换成如下方程组 其中 表示边际消费倾向 表示加速数 加速系数的简写 因为模型中包含引致投资 我们便得到一个描述乘数与加速数相互作用的二阶差分方程 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 35 利用第二个方程 我们可用收入将It表示如下 将此式与Ct代入第一个方程并整理 模型可以化简为一个方程或者等价地 将下标前移两个时期 这是一个具有常系数和常数项的二阶线性差分方程 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 36 解法 作为特别积分 我们有表达式1 1 是一个乘数 G0 1 外生支出乘以乘数 应在下述意义上给出均衡收入 此收入水平满足均衡条件 国民收入 总支出 然而 作为此模型的特别积分 它也给出瞬时均衡收入 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 37 关于余函数 存在三种可能的情况 在这里 第一种情况 不相等实根 的特征为 2 1 2 4 或 1 2 4 或 4 1 2类似地 要描述第二 三种情况的特征 我们只需将上面最后一个不等式中的 号分别变成 号和 号即可 在图17 2中 我们绘出了方程y 4 1 2的图形 根据上面的讨论 恰好位于此曲线上的 数偶属于第二种情况 而位于该曲线上面 包含较大的 值 的 数偶属于第一种情况 位于该曲线下面的 数偶属于第三种情况 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 38 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 39 这种具有图17 2的图形表示的三重分类是重要的 因为它清楚地揭示这样一些条件 在此条件下乘数与加速数的相互作用可内生地产生周期性波动 但这种分类并未谈及Y的时间路径的敛散性 因此 在每一情况下 我们还需要区分衰减与放大两种子情况 当然 我们可以通过引用一些数字例子来简单地说明这种子情况 这是处理这一问题的简单方式 不过我们还是设法求出收敛性和发散性的一般条件 尽管这很麻烦 但却更有价值 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 40 收敛性与发散性 该模型的差分方程具有特征方程 b2 1 b 0 它产生两个根 因为收敛性与发散性取决于b1和b2的值 又因为b1和b2值取决于参数 和 的值 所以 收敛与发散的条件应当可以用 和 值表示 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 41 为此 我们可以利用这一事实 两个特征根总可以通过如下两个方程联系起来 b1 b2 1 b1b2 在这两个方程的基础上 我们可以观察到 1 b1 1 b2 1 b1 b2 b1b2 1 1 1 鉴于模型设定0 1 有必要对这两个根施加条件0 1 b1 1 b2 1 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 42 现在 我们来考察第一种情况下的收敛性问题 其中两个根为不同的实根 因为根据假设 和 均为正 这表明b1b2 0 这意味着b1和b2具有相同的代数符号 进而 因为 1 0 所以 表明b1和b2必为正 因此 在第一种情况下 时间路径yt不会产生振荡 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 43 但在第一种情况下至少存在5种 b1 b2 值的组合 每种组合关于 和 的对应值如下 i 0 b2 b1 1 0 1 1 ii 0 b2 b1 1 1 iii 0 b2 1 b1 1 iv 1 b2 b1 1 v 1 b2 b1 0 1 1 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 44 i可能性 其中b1和b2为正分数 完全满足条件0 1 b1 1 b2 1 并与模型设定0 1一致 在此可能性下 两根之积必然也为正分数 这意味着 1 相反 下面的三种可能性都违背条件0 1 b1 1 b2 1 并产生不可接受的 值 因此 必须将它们排除掉 但可能性v是可接受的 由于b1和b2均大于1 0 1 b1 1 b2 1仍然得到满足 但这次 由关于b1和b2乘积取值的公式 我们有 1 而非 1 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 45 结果在第一种情况下 只有两种可接受的子可能性 第一种子可能性 可能性i 包含分数根b1和b2 因而产生了y的一个收敛时间路径 另一种子情况 可能性v 的根大于1 因而产生一个发散的时间路径 但就 和 的值而言 收敛性与发散性的问题仅取决于 1还是 1 这个结论概括在下表中最上面的部分 其中收敛的子情况标为1C 发散的子情况标为1D 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 46 对于第二种情况 重根的分析 实质是类似的 现在根为b 1 2 其符号为正 因为 和 均为正 因此仍然不存在振荡 这里我们只需将b值分为三种可能性 vi 0 b 1 1 1 vii b 1 1 viii b 1 1 1 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 47 在可能性vi b b1 b2 为正分数 因此 关于 和 的含义与第一种情况下可能性i的情形完全一致 与此类似 可能性viii 其b b1 b2 大于1 与可能性v的结果相同 而可能性vii违背0 1 b1 1 b2 1 必须被排除 所以只有两种可接受的子情况 第一种子情况 可能性vi 产生一个收敛的时间路径 而另一种子情况 可能性viii 则产生一个发散的时间路径 关于 和 收敛与发散的子情况仍然是分别与 1和 1相联系的 这些结论列在下表的中部 其中两种子情况分别标为2C 收敛 和2D 发散 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 48 表1萨缪尔森模型的各种可能情形 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 49 最后 在第三种 复根 情况下 我们得到阶梯波动 因而具有内生的商业周期 在此情况下 我们应当考察绝对值作为判定收敛性与发散性的线索 而a2则是差分方程中yt项的系数 在本模型中 我们有 它产生如下三种可能性 ix R 1 1 x R 1 1 xi R 1 1尽管上述几种可能性都是可接受的 但仅有R 1这种可能性具有收敛的时间路径 在表中列为子情况3C 而另外两种情况在上表中一并标为子情况3D 总之 由上表我们可以得出结论 当且仅当 1时 可以得到收敛的时间路径 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 50 用图形小结上述分析结果 在图17 2中 因为要排除 0和 1的值 正如要排除到 0的一样 所以阴影的面积是一种无边的矩形 已绘出方程 4 1 2的图形 以区分表1中的三种主要情况 在曲线上的点属于第一种情况 位于曲线北面上的点 表示较大的 值 属于第二种情况 位于曲线南面的点 表示较小的 值 则属于第三种情况 为区别收敛与发散的子情况 现在加上 1的图形 等轴双曲线 作为另一条分界线 位于该等轴双曲线北面的点满足不等式 1 而位于该曲线下面的点则对应于 1 这样就可能很容易区分子情况了 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 51 在第一种情况下 位于双曲线下面的虚线阴影区域 对应于子情况1C 而实线阴影区域则与子情况1D相联系 在第二种情况下 即点位于曲线 4 1 2的情况下 子情况2C包括该曲线向上倾斜的部分 而子情况2D则对应该曲线向下倾斜的部分 最后 对于第三种情况 等轴双曲线用于区分小点阴影区域 子情况3c 和小石子阴影区域 子情况3D 其中3D也包含位于等轴双曲线上的点本身 因为设定的是弱不等式 1 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 52 因为图2包含了模型中所有定性的结论 所以如果给定任意有序偶 通过在图形中绘出该有序偶 我们总可以在图形上找到正确的子情况 例1若加速数为0 8 边际消费倾向为0 7 会产生何种相互作用的时间路径 有序偶 0 8 0 7 位于子情况3C 因此时间路径以衰减的阶梯波动为特征 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 53 例2 2和 0 5表明哪类相互作用的时间路径 有序偶 2 0 5 恰好位于等轴双曲线上 属于子情况3D Y的时间路径仍表现出阶梯波动 但它既非放大 亦非衰减 将其与均匀振荡和均匀波动的情形相比较 可以将这种情形称之为 均匀阶梯波动 但是 后一种情况下的均匀特征一般不能期望它是完美的 因为类似于图1中的图形 只能采纳那些对应于t的整数值的在正弦或余弦曲线上的点 但在每一波动周期中 这些t值可能会碰到曲线上完全不同的点 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 54 离散时间条件下的通货膨胀与失业 模型前面的连续时间公式由三个微分方程构成 p T u h 预期增加的菲力普斯关系 d dt j p 适应性预期 dU dt k m p 货币政策 三个内生变量均为现值 p 实际通货膨胀率 预期通货膨胀率 U 失业率 在模型中出现6个参数 参数m 名义货币增长率 或者货币扩张率 与其它参数的不同之处在于其大小是由政策决定的 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 55 当把上述方程纳入时期分析模式时 菲利普斯关系变成 pt T Ut h t 0 0 h 1 6 17在适应性预期方程中 导数必然为差分方程所取代 t 1 t j pt t 0 j 1 6 18同理 货币政策也将变成Ut 1 Ut k m pt 1 k 0 6 19这三个方程构成了通货膨胀 失业模型的新形式 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 56 以p为变量的差分方程 作为分析新模型的第一步 我们仍设法将模型化简为一个具有单一变量的方程 令该变量为p 相应地 我们把注意力集中于新的菲利普斯关系 但是 因为这个方程不同于其它两个方程 它本身不能描述一种变化模式 因而需要我们来创造这样一种模式 我们可以通过对pt取差分 即取pt的一阶差分来做到这一点 根据定义 pt pt 1 pt 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 57 取一阶差分需要两个步骤 首先 将菲利普斯关系公式中的时间下标前移一个时期 得到pt 1 T Ut 1 h t 16 17 然后用pt 1减pt 可得到pt的一阶差分 它能够描述所需的变化模式 pt 1 pt Ut 1 Ut h t 1 t k m pt 1 hj pt t 6 20注意在 6 20 的第二行 6 18 和 6 19 的变化模式都已被纳入到p变量的变化模式中去了 因此 该式包容了本模型的所有信息 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 58 但是 t项对p研究无关紧要 需将其从上述方程中剔除 为此 我们利用这一事实h t pt T Ut6 21将该式代入上式 合并同类项 得到 1 k pt 1 1 j 1 h pt j Ut km j T 6 22但现在又出现了一个有待于删除的Ut项 为此 差分 6 22 以得到 Ut 1 Ut 项 然后再利用 6 19 消去 Ut 1 Ut 只有经过这样一个冗长的代换过程 我们才能得到所求的仅含p变量的差分方程 经过标准化后 其形式为6 23 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 59 p的时间路径 由该标准化的差分方程给出的p的瞬时均衡值为因此 同连续时间模型中的情况一样 均衡的通货膨胀率恰好等于货币扩张率 至于余函数 依a12和4a2的相对大小而定 会产生不同的实根 第一种情况 重根 第二种情况 或者复根 第三种情况 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 60 在本模型中6 24比如 如果h 1 2 j 1 3 k 5 则 而4a2 20 那么便出现第一种情况 但若h j 1 则a12 4 而4a2 4 1 k 4 那么便会产生第三种情况 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 61 收敛性的分析仍可按上一节的路线来进行 具体地 两个特征根b1和b2之和与之积必定满足下列数量关系 6 256 25 进而 在本模型中我们有6 26 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 62 现在考察两个根b1 b2为不同实根的情况 因为积b1b2为正 所以b1与b2必取相同的符号 进而 因为b1与b2的和为正 所以它们必然均为正 这意味着不会产生振荡 由 6 26 我们可以推断b1与b2均不等于1 否则 1 b1 1 b2 将会等于0 与不等式所表明的含义相违 这表明 按照在萨缪尔森模型中所列举的关于 b1 b2 组合的各种可能性 这里不会出现可能性ii和iv 一个根大于1 另一个根小于1的情形也是不可接受的 否则 1 b1 1 b2 将为负 因此可能性iii也被排除了 由此可知 b1与b2或者二者均大于1 或者均小于1 然而 若b1 1 b2 1 可能性v 将违背 6 25 的假设结果 最终只有可能性i 即b1 b2均为正分数 从而p的时间路径为收敛的情况能够存在 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 63 对第二种情况的分析并没有什么根本的不同 通过同样的推理 我们可以断定重根b在本模型中只能为正分数 即可能性vi是可接受的 但可能性vii和viii则不成立 在第二种情况下 p的时间路径依然是非振荡且收敛的 至于第三种情况 收敛性要求R小于1 根据 由于a2为正分数 见6 25 所以确实有R 1 因此 在第三种情况下 p的时间路径也是收敛的 尽管这次会出现阶梯被动 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 64 关于U的分析 如果要分析失业率的时间路径 我们可以以货币政策影响失业的表达式为出发点 为排除方程中的p项 我们首先代pt 1以得到 1 k Ut 1 Ut k T m kh t 16 27其次 为代换另一个方程作准备 我们对该式取差分以求得 1 k Ut 2 2 k Ut 1 Ut kh t 2 t 1 6 28鉴于方程右边存在 的差分表达式 我们可以用一个前移形式的适应性预期方程来代替它 结果 1 k Ut 2 2 k Ut 1 Ut khj pt 1 t 1 6 29本模型中的所有信息均包含在此方程中 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 65 然而 在适当的关于U的差分方程产生以前 我们必须先剔除p和 变量 为此 由 6 19 我们注意到kpt 1 Ut 1 Ut km6 30进而 以 kj 通乘 6 21 并前移时间下标 我们可以写成 kjh t 1 kjpt 1 kj T kjUt 1 j Ut 1 Ut km kj T kjUt 1 由6 30 j 1 k Ut 1 jUt kj T m 6 31 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 66 这两个结果以U变量来表示pt 1和 t 1 可以使我们将其代入 6 29 最终得到仅有U变量的差分方程 6 32值得注意的是 方程左边的两个常系数与p的差分方程 如 6 23 中的常系数是一致的 因此 前面关于p路径余函数的分析同样可以应用到这里 但 6 32 右边的常数项确实有别于 6 23 中的常数项 结果两种情况下的特别积分便不相同 这也应当如此 除了巧合因素外 并无内在的原因可以预期瞬时的均衡失业率与均衡通货膨胀率相同 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 67 长期菲利普斯关系 我们已经验证 瞬时均衡失业率为但因已求得均衡通货膨胀率为 我们可以通过如下方程将联系起来 6 33因为此方程仅与均衡的失业率和通货膨胀率有关 所以我们认为它描述了长期的菲利普斯关系 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 68 6 33 的一个特例引起了经济学家的广泛关注 即h 1的情况 若h 1 则p项的系数为零 因而会从方程中消失 换言之 将变成的常函数 在标准的菲利普斯图形中 失业率被绘成横轴 这个结果产生了一个垂直的菲利普斯曲线 在此情况下的值 被称为自然失业率 它与均衡的通货膨胀率是一致的 这个结论具有明显的政策含义 在长期中 通货膨胀与失业这对孪生魔鬼并不存在像短期中所存在的那种替代关系 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 69 在h 1的情况下 6 33 中的系数为负 长期的菲利普斯曲线将向下倾斜 因而通货膨胀与失业之间存在替代关系 因此长期菲利普斯曲线是垂直的 还是斜率为负 关键取决于参数h的值 按预期增加的菲利普斯关系 h度量预期的通货膨胀率与工资结构和实际通货膨胀率相一致的程度 所有这些读者应当是非常熟悉的 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 70 作业 保留方程 6 17 和 6 18 但将 6 19 变为Ut 1 Ut k m pt 1 导出变量p的新的差分方程 2 新的差分方程能产生不同的吗 3 假定j h 1 求特征根分别属于第一 二 三种情况的条件 4 令j h 1 当 k 3 4和5时 分别描述p的时间路径 包括收敛性或发散性 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 71 推广到可变项和高阶方程 现在 可以将方法向两个方向推广 一是向可变项方向推广二是向高阶差分方程推广 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 72 形式为cmt的可变项 当 6 1 中的常数项为一个可变项 某个t的函数 代替时 仅仅会对特别积分产生影响 为求出新的特别积分 我们仍可以应用待定系数法 在有关微分方程的内容中 待定系数法要求可变项及其逐阶导数一起 除乘积常数外 仅取有限个不同类型的表达式 将其应用于差分方程 这个要求应修改为 可变项及共逐次差分一起 除乘积常数外 仅取有限个不同类型的表达式 先取形式为cmt的可变项 其中c和m为常数 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 73 例1求yt 2 yt 1 3yt 7t的特别积分 这里 有c 1和m 7 首先 我们来确定可变项7t在逐次差分时是否会产生有限的表达式类型 按照差分法则 yt yt 1 yt 7t的一阶差分为 7t 7t 1 7t 7 1 7t 6 7 t类似地 二阶差分 2 7 t 可以表示成 7t 6 7 t 6 7 t 1 6 7 t 6 7 1 7t 36 7 t 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 74 而且可以验证 所有各阶差分像一阶和二阶差分一样 均为的7t倍数 因为仅有一种表达式类型 所以我们可以试探yt B 7 t作为特别积分 其中B待定系数 将试探解及 t 1 期 t 2 期的对应形式带入给定的差分方程 得到B 7 t 2 B 7 t 1 3B7t 7t或B 72 7 3 7 t 7t因此 B 1 49 7 3 1 53可将特别积分写成yp B 7 t 1 53 7 t当然 它表示移动均衡 读者可以这样验证解的正确性 将其代入差分方程 从而看到产生恒等式7t 7t 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 75 例1中所得到的结果很容易由可变项7t推广至cmt 根据经验 我们可以预期所有各阶差分的表达式具有相同的形式 即Bmt 其中B为某一乘积常数 因此 当给定差分方程yt 2 a1yt 1 a2yt cmt6 34我们可以试探解yt Bmt作为特别积分 运用试探解yt Bmt 这意味着yt 1 Bmt 1 等等 我们可以将 6 34 重写成Bmt 2 a1Bmt 1 a2Bmt cmt或B m2 a1m a2 mt cmt 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 76 因此 试探解中的系数B应当为B c m2 a1m a2 而且所求的 6 34 的特别积分可以写成6 35注意 B的分母不允许等于零 如果它恰好为零 那么 我们必须使用试探解yt Btmt 如果这个试探解也不行 则试探yt Bt2mt 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 77 形式为ctn的可变项 现在我们考察形式为的可变项 其中c是任意常数 n为正整数 例2求方程yt 2 5yt 1 2yt t2的特别积分 求出t2 ctn当c 1和n 2时的特例 的前三阶差分如下 t2 t 1 2 t2 2t 1 2t2 t2 2t 1 2t 1 2 t 1 2t 0 2 常数 0 3t2 2t2 2 0因为进一步差分只能得到零 所以共有三种不同类型的表达式 t2 源于可变项本身 t和常数 源于可变项的各阶差分 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 78 因此 我们试用解yt B0 B1t B2t2作为特别积分 待定系数为B0 B1和B2 注意 此解意味着yt 1 B0 B1 t 1 B2 t 1 2 B0 B1 B2 B1 2B2 t B2t2yt 2 B0 B1 t 2 B2 t 2 2 B0 2B1 4B2 B1 4B2 t B2t2将其代入差分方程时 得到 8B0 7B1 9B2 8B1 14B2 t 8B2t2 t2 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 79 使方程两边逐项相等 我们看到所求的待定系数满足如下联立方程 8B0 7B1 9B2 08B1 14B2 08B2 1因此 待定系数值为B0 13 256 B1 7 32 B2 1 8 给出特别积分yt 13 256 7 32t 1 8t2 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 80 我们可以把处理可变项t2的方法推广到ctn的情况 在新的试探解中 显然应有一项Bntn 与给定的可变项相对应 进而 因该项的逐阶差分产生不同的表达式tn 1 tn 2 t B0 常数 所以可变项ctn情况下的新的试探解应写成yt B0 B1t B2t2 Bntn但其余的步骤是完全相同的 必须补充的是 这样的试探解也可能不成立 在这种情况下 我们还需要采用前面经常使用的技巧 即以t的更高的幂数乘以原试探解 也就是说 我们可以试探yt t B0 B1t B2t2 Bntn 等等 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 81 高阶线性差分方程 差分方程中的阶表示方程中差分的最高阶数 但它也表明所包含的滞后期的最大数量 因此 一个具有常系数和常数项的n阶线性差分方程一般可以写成 yt n a1yt n 1 an 1yt 1 anyt c6 36求此特别积分的方法与前面的方法并无本质区别 首先 我们仍可试用yt k 静态瞬时均衡的情况 如果此试探解不成立 则依次试探yt kt yt kt2等等 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 82 但在求余函数时 我们会遇到n次多项式的特征方程bn a1bn 1 an 1b an 06 37这样会有个特征根bi i 1 2 n 所有的特征根都将进入余函数 6 38 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 83 当然 这要假设所有根为不同实根 在存在重实根 比如b1 b2 b3 时 则 6 38 中的前三项应修正为A1b1t A2tb1t A2t2b1t进而 如果存在一对共轭复根 比如bn 1 bn 那么 6 38 中的最后两项应合并为表达式Rt An 1cos t Ansin t 对其他任意一对共轭复根 也可以给出类似的表达式 但在存在两对重复根的情况下 必须将其中的一对重根给予乘积因子tRt 而不是Rt 在求出yp和yc以后 将二者相加 便可以得到完全差分方程 6 36 的通解 但因为在此解中含有个任意常数 确定这个解至少需要n个初始条件 2020 2 4 经济管理学院财务与投资系刘亚娟 84 例3求三阶差分方程yt 3 7 8yt 2 1 8yt 1 1 32yt 9的通解 通过试探解yt k 可以很容易