矩阵的秩1.doc

5. 矩阵的秩矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用。定义1. 在矩阵中任取行列，由位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的阶行列式，称为的一个阶子式，记作。共有个。例如 有4个三阶子式，18个二阶子式。定义2. 若矩阵中不等于0的子式的最高阶数是，则称为矩阵的秩，记作。由此及行列式的性质可得到结论：1. ；2. 对于，有；3. 若，则中至少有一个，而所有的.定义3. 设，若，则称为满秩方阵；若 ， 则称为降秩方阵。推论： 为满秩方阵 。由此可知，可逆 为满秩方阵。例1. 求下列矩阵的秩，解： ，而的所有三阶子式（4个），所以 满秩。6.矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和秩的有利工具。一、矩阵的初等变换与初等矩阵在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换“初等变换”。定义1. 对矩阵的行施以下述三种变换，称为矩阵的行初等变换：（1） 列初等变换（2） （3） 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换。定义2. 由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵，也有三种：（1） 或 ， 得，例 （2） 或 ， 得，例 （3） 或 ， 得，例 且都是可逆的，其逆矩阵仍为初等矩阵：，二、 利用初等变换求逆矩阵先介绍矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系。定理1.（1） 交换的两行；交换的两列 （2） 以乘的第行； 以乘的第列（3）把的第行的倍加到第行上去； 把的第列的倍加到第列上去定理2. n阶可逆方阵可以经过一系列的初等行变换化为n阶单位矩阵证明： 可逆，的第一列至少有一个非0元素，于是经过若干次初等行变换可以化为其中*表示任意数，表示阶方阵。 显然 ， 而 所以 因而的第一列至少有一个非元素，于是再对施以若干次初等行变换，又可以化为显然，而，其中，所以 如此继续，经过一系列的初等行变换，最终得到单位矩阵，即 证毕。由定理1和定理2 立即推得：推论1. 可逆 存在初等矩阵，使得用右乘式两端，得比较、两式可见：若经过一系列的初等行变换后，化为，则经过同样的初等行变换化为，从而使我们得到一种有效的求逆矩阵的方法：推论2. 其中、 表示的矩阵。例1. 设 . 用初等变换法求.解: 所以 例2. 设 ，试用初等变换法求.解:所以 例3 判断方阵是否可逆。若可逆，求解：因为，所以，故不可逆，即不存在。注：此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断。例4 解矩阵方程，其中，.解： 三、利用初等变换求矩阵的秩定理3. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩（证略）。利用定理3可以简化求秩的计算，其常用的方法有：1 只用初等行变换，可把变成上阶梯形矩阵。例5 求 其中 解：（上阶梯形），有此可看出 。2进一步，在进行列初等变换，可化为标准型。例5中，的特点：左上角为一个阶单位矩阵，其它元素为0。在具体的解题过程中，如果经过几次初等变换后即可看出的秩时，就不必再继续将化为阶梯形。例6 求， 其中 解： 至此，易知 所以 ， 不是阶梯矩阵。思考题：试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。已知 ， 求错误解答: 即 错误原因: 没有注意到利用来求时,要使用初等行变换才可以。而在解法中第1、3步却使用了列变