大学物理8-4.pdf

rb a b 1 静电场力的功静电场力的功1 静电场力的功静电场力的功 q 静电场对移动带电体要做功 说明静电场具有能量 静电场对移动带电体要做功 说明静电场具有能量 12 静电场的电势静电场的电势 1 1 在点电荷在点电荷q的电场中的电场中 试验电荷试验电荷q q0 0从从a点经任意路径到达点经任意路径到达b点 点 q0 在路径上任一点附近取元位移在路径上任一点附近取元位移l d r r r d dr r lF dd A d dr cosd lEq0rEq0d ra ba b a b a b a ab rr qq r drqq drEqq 11 44 dAdA 0 0 2 0 0 00 lE lE d 0 q E l d 结论结论 总功与路径无关总功与路径无关 1 2 任意带电体系的电场中任意带电体系的电场中 将带电体系分割为许多电荷元 根据电场的叠加性将带电体系分割为许多电荷元 根据电场的叠加性 n EEEE 21 电场力对试验电荷电场力对试验电荷q0做功为做功为 lEqA b a d 0 lEqlEqlEq b a n b a b a ddd 02010 n21 AAA 结论结论 在任意带电体系的静电场中移动电荷在任意带电体系的静电场中移动电荷 电场 所作的总功也与路径无关 电场 所作的总功也与路径无关 静电场力的功静电场力的功 结论 结论 试验电荷在试验电荷在任意给定的静电场中任意给定的静电场中移动时 电 场力对 移动时 电 场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起 点和终点位置有关 而与具体路径无关 做的功仅与试验电荷的电量及路径的起 点和终点位置有关 而与具体路径无关 静电场是保守场 静电场力是保守力 静电场是保守场 静电场力是保守力 静电场力的功静电场力的功 1 3 静电场的环路定理静电场的环路定理 试验电荷试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径在静电场中沿任意闭合路径L 运动一周时 电场力对运动一周时 电场力对q0做的功做的功A 静电场力的功静电场力的功 安培安培 在闭合路径在闭合路径L上任取两点上任取两点P1 P2 将 将L分 成 分 成L1 L2两段 两段 P2 P1 L2 L1 lFA L d lEq p p d 2 1 0 L2 L1 lEq p p d 2 1 0 L1 L2 电场力做功与路径无关 故电场力做功与路径无关 故 0d 0 lEqA L 即即0d lE L lEq L d 0 lEq p p d 1 2 0 2 1 0 d p p qEl 静电场力的功静电场力的功 静电场的环路定理 场强环路定理 静电场的环路定理 场强环路定理 0d lE L 在静电场中 场强沿任意闭合路径的线 积分 称为场强的环流 恒为零 在静电场中 场强沿任意闭合路径的线 积分 称为场强的环流 恒为零 场强环流场强环流为零的力场叫为零的力场叫保守力场保守力场或叫或叫势 场 势 场 虽然此定律源于库仑定律 但是不仅适 于点电荷 它是静电场 虽然此定律源于库仑定律 但是不仅适 于点电荷 它是静电场普适规律普适规律 静电场力的功静电场力的功 2 电势电势2 电势电势 由环路定理知 静电场是保守场 保守场必有相应的势能 对静电场则为 由环路定理知 静电场是保守场 保守场必有相应的势能 对静电场则为电 势能 电 势能 其度量方法是 电场力将q 其度量方法是 电场力将q0 0从电场 中A点移到B时 从电场 中A点移到B时静电力所作的功 等于静电 势能的减少 静电力所作的功 等于静电 势能的减少 选选B为静电势能的零点 用为静电势能的零点 用 0 表示 则表示 则 A点的电势能为点的电势能为 lE d 0 B A AB qA BA WW 0 0 00 dd AB AA WqWq ElEl 2 1 电势能电势能 电 势电 势 高压发生器高压发生器 试验电荷试验电荷q0在某点的电势能在某点的电势能WA与与q0之比只取决 于电场 之比只取决 于电场 定义为该点的电势定义为该点的电势 标量标量 符号符号U u V 单 位 单 位 伏特或伏伏特或伏V 2 2 电势电势 电势零点的选取 一般原则 使电场中各点的电势有确切值 且尽量使 计算简化 电势零点的选取 一般原则 使电场中各点的电势有确切值 且尽量使 计算简化 实际中电势零一般是任选的 如大地 机箱等 计算时 无限大带电平面取其自身 无限长带电直 线取距其1m处 点电荷和有限对象取无穷远处 实际中电势零一般是任选的 如大地 机箱等 计算时 无限大带电平面取其自身 无限长带电直 线取距其1m处 点电荷和有限对象取无穷远处 0 q W V A A lE d 0 A 电 势电 势 2 3 电势差电势差 电场中两点电势之差 沿着电场线方向 电势降低 电场中两点电势之差 沿着电场线方向 电势降低 BAAB VVV A B lE d B A 3 电势 能 的计算电势 能 的计算3 电势 能 的计算电势 能 的计算 基本公式基本公式 小结小结 lE d 0 B A AB qA BA WW lElE d 0 d 0 0 0 A A A A qWqW则远为若 0 q W V A A lE d 0 A BAAB VVV lE d B A 0 00A A qE dlq V 0A 电荷q 在A点的静电势能为 W 例 求电偶极子p在均匀电场E中电势能 cos A B AB B A Wq Wq WWW q qE dl q Elp E 解 q q E p A B 1 1 点电荷的电势点电荷的电势 点电荷的电场点电荷的电场 1 2 点电荷系的电势点电荷系的电势 标量和标量和 1 3 连续分布带电体的电势连续分布带电体的电势 标量积分标量积分 q3 q1 r1 r2 V r rE 3 0 4 1 r q lE d r V i i ir q V 0 4 1 r q V d 4 1 0 r q 0 4 1 q2 q4 r3 r4 P r r q r d 4 1 2 0 电势的计算电势的计算 点电荷电势 电势的计算例题电势的计算例题 例例1 均匀带电薄圆盘轴线上的电势 例 均匀带电薄圆盘轴线上的电势 例2 均匀带电球面的电势 例 均匀带电球面的电势 例3 电偶极子的电势电偶极子的电势 电势的计算例题电势的计算例题 例例4 均匀带电线的电势均匀带电线的电势 0 0 d 1d 4 A V q V r El 求电势两途径 点电荷电势标量叠加 由高斯定理知 电场分布为由高斯定理知 电场分布为 R 解 解 例例1 求一均匀带电球面的电势分布 求一均匀带电球面的电势分布 P E Rr 2 4 1 1 当当r R 时时 r VrE d r q 0 4 1 V Rr R q 4 1 r R q 0 4 1 电势的计算例题电势的计算例题 带电球面电势 电势分布曲线 场强分布曲线 电势分布曲线 场强分布曲线 E V R Rr r O O 结论 结论 均匀带电球面 球内的电势等于球表面的电势 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势 均匀带电球面 球内的电势等于球表面的电势 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势 2 0 4R q R q 0 4 电势的计算例题电势的计算例题 2 r 1 r 例例2 半径为半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布 题题3 题题7 解 解 以以O为圆心 取半径为为圆心 取半径为L L dL的薄圆环 带电的薄圆环 带电 dq ds 2 L dL 到到P点距离 取无穷远为电势 点距离 取无穷远为电势0点 则点 则P点电势 点电势 O L dL 22 Lxr r q U d 0 4 1 RR Lx Lx Lx LL 022 22 0 022 0 d 4 d 2 4 1 22 000 0 22 Rq Rxxx l 特例时 p x R 电势的计算例题电势的计算例题 22 1 2 0 22 1 2 0 22 22 1 2 00 22 0 22 0 1 2 1 2 2 2 2 2 B B PB P P BB B B P P PP B B PP P x E Rx B x VE dxdx Rx x dxdxxRx Rx xRxBxx Rxx P 解法2 已知求轴线上的电势 设无限远处 点电势为0 则轴线上P点电势为 V 例例3 计算电偶极子电场中任一点的电势计算电偶极子电场中任一点的电势 题题4轴线上轴线上 r q r q VP 00 44 式中式中r 与与r 分别为分别为 q和和 q到到 P点的距离 由图可知点的距离 由图可知 y P x q q re 2re 2 O r r r 解 解 设电偶极子如图放置 电偶 极子的电场中任一点P的电势为 设电偶极子如图放置 电偶 极子的电场中任一点P的电势为 电势的计算例题电势的计算例题 3 0 2 0 44 cos r rP r qr V e e P 由于 由于r re 所以 所以P点的电势可写为点的电势可写为 0 2 02 11 4 coscos 22 cos 4 cos 2 P ee e e q V rr rr rq r r 因此因此 cos 2 e r rr cos 2 e r rr 电势的计算例题电势的计算例题 y P x q q re 2re 2 O r r r 解 解 令无限长直线如图放置 其上电荷线密度为 计算在 令无限长直线如图放置 其上电荷线密度为 计算在x轴上距直线为的任一点轴上距直线为的任一点P处的电势 处的电势 y r O P P1x r1 因为因为无限长无限长带电直线的电荷分布 延伸到无限远的 所以在这种情 况下不能用连续分布电荷的电势 公式来计算 带电直线的电荷分布 延伸到无限远的 所以在这种情 况下不能用连续分布电荷的电势 公式来计算电势V电势V 否则必得出无 限大的结果 显然是没有意义 的 同样也不能直接用公式来计 算 否则必得出无 限大的结果 显然是没有意义 的 同样也不能直接用公式来计 算电势能电势能 不然也将得出电场任 一点的电势值为无限大的结果 不然也将得出电场任 一点的电势值为无限大的结果 例例4 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布 电势的计算例题电势的计算例题 r q V d 4 1 0 为了能求得为了能求得P点的电势 可先应用电势差和场 强的关系式 求出在轴上 点的电势 可先应用电势差和场 强的关系式 求出在轴上P点和点和P1点的电势差 无 限长均匀带电直线在 点的电势差 无 限长均匀带电直线在Y轴 垂直于线 上的场强为轴 垂直于线 上的场强为 r E 0 2 于是 过于是 过P点沿点沿Y轴积分可算得轴积分可算得P点与参考点点与参考点 P1的电势差的电势差 r r r r rEVV r r r r PP 1 00 ln 2 d 2 d 11 1 由于由于ln1 0 所以本题中若选离直线为 所以本题中若选离直线为r1 1 m 处作为电势零点 则很方便地可得处作为电势零点 则很方便地可得P点的电势为点的电势为 电势的计算例题电势的计算例题 m P rVln 2 0 由上式可知 在由上式可知 在r 1 m处处 VP为负值 在为负值 在r 1 m 处处 VP为正值 这个例题的结果再次表明 在静电 场中只有两点的电势差有 为正值 这个例题的结果再次表明 在静电 场中只有两点的电势差有绝对的意义绝对的意义 而各点的电 势值却只有 而各点的电 势值却只有相对的意义相对的意义 电势的计算例题电势的计算例题 2 2 1212 222 2 00 12 6 44 rr q q q qq q AF drdrq rr 1 1 电荷系的静电能 相互作用能 互能 自能 定义 将电荷体系中各电荷 元 从现在位置彼此 分散到无限远时静电力所做的功 特例 q相距r时的互能 设q固定将 从r处移至无限远 做功 1 1212 111222 2 00 1122 1122 44 1 2 r q q qq q AdrqqA rr Aqq Aqq 2 同理q 不动 将移至无限远 做功 即 将两电荷分开静电所做功为 由于能量由两电荷体系共有 记为对称形式 1 11 22 n ii i q WqWdq 同理 对多电荷 元 体系的静电能为 或 0 2 000 4 111 22 42 48 RQ Q R QQQ Wdqdqdq RRR 同法 可以计 例均匀带电球面半 算均匀带电球体的 径为 静电 带电 能 求其静电能 解 书P81 2 0 2 2 0 2 2 0 8 8 8 Q R Q dRdR R dREE Q dR R 12 7 静电场的能量 储存 在电场中的能量 半径为R的气球表面带电为Q 静电能为 W 静电排斥做功半径膨胀后能量下降 dW 厚度为的壳体内原电场 消失对应能量减少 壳外 不变 即原储存在壳