第2讲：善观察巧旋转妙解题.doc

第2讲：善观察巧旋转妙解题旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。一. 通过旋转，解答角度问题 例1. 如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。求APB的度数。 图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。将PAC绕点A逆时针旋转60后，得到FAB，连接PF（如图2），则BF=PC=10，FA=PA=6，FAP=60。FAP是等边三角形，FP=PA=6。在PBF中，BPF=90APB=APF+FPB=60+90=150 图2二. 通过旋转，计算线段长度问题 例2. 如图3，P是正ABC内一点，PA=2，PC=4，求BC的长。 图3解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。将BPA绕点B逆时针旋转60，则BA与BC重合（如图4），BP=BM，PA=MC，连接MP。则MBP是正三角形，即，由，故CMP=90，因为，所以MPC=30，又因为MPB=60，故CPB=90， 图4得 例3. 如图5，在梯形ABCD中，AD/BC（BCAD），D=90，BC=CD=12，ABE=45，若AE=10。求CE的长度。 图5解析：经观察，把BCE绕点B顺时针旋转90，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，找出边之间的关系。延长OA，把BCE绕点B顺时针旋转90，与DA的延长线分别交于点G，点M（如图6），易知四边形BCDG为正方形。BC=BG又=CBE=GBMRtBECRtBMGBM=BE，ABE=ABM=45ABEABMAM=AE=10设CE=x，则。 图6在RtADE中，即所以CE的长为4或6。三. 通过旋转，巧算面积问题 例4. 如图7，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BAE=30，DAF=15，求AEF的面积。解析：由于该题中含15，30等特殊角度，通过旋转ADF，可构作出45角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。将ADF绕A点顺时针旋转90到ABG的位置（如图8），由旋转性质可知：AG=AF，BAG=FAD=15，故GAE=15+30=45。EAF=90GAE=FAE又AE=AEAEGAEF（SAS）EF=EG，AEF=AEG=60在RtABE中，BAE=30，则BE=1 ， 图8在RtEFC中，FEC=，即 例5. 如图9，A、B、C、D是圆周上的四个点，。且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用整体思维可简易求得。由于，知长等于圆的周长的一半，将弓形CmD绕圆心旋转，使点D与点B重合（如图10），则恰好为半圆弧，此时AC为圆O的直径，从而ABC=90，由勾股定理可求得，故其面积和为15.4。 四. 通过分割、旋转、拼接平行四边形 例6. 如图11，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_（用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的，简答如下：能，如图12，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形ABCD分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180，3平移，拼成的四边形满足条件（如图13）。 图11 图12 图13复习巩固1如图，P是正方形内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，若BP=