凝聚态物理中的分形.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第卷 年 第期 月 物理学进展 犯 凝聚态物理中的分形 汪子丹 龚昌德 南京大学物理 系 理论物理中心 本文回顾 了近年来与凝聚态物理相关的分形研究的一些主要位作 叙述 了 该领域的一 些新进展 着重介绍了涉及分维和分形的一些基本概念 物理思想和 研究方法 较详 细 地 讨论了分形网络上的振动和弹性性质 磁序问题 生长和熔化 多分形以及周期分形等课题 一 引论 在奇妙的物理世界中经常涉及两大类实空间有规律的结构具有平移不变性的周期 结构和具有标度不变性的自相似结构 对于前者 人们已经非常熟悉且有关的研究亦进 行得相当广泛和深人 而关于后者 特别 是其与物理的关联及重要性 则是 近 年 来由 首 先提 出 从而开创了一个崭新的研究领域川 他给这类 自相似结构命 名为 执 中文译名分形并在其论著中对分形作了相当详细的 论 述 讨论 和 研 究川 受到人们的普遍关注 从此 以后 关于分形的研究越来越活跃 取得了一系列有 意义的进展 一 本文 我们将对近年来与凝聚态物理相关的分形研究的一 些主要工 作 作一简要回顾和介绍 当然 我们 不可能对凝聚态中的分形物理这一正迅速发展和极 其丰富的课题作出面面具到的详细评述 仅希望我们的努 力能使读者对该课题有初步 了 解 而对一些有兴趣 问题的深人探讨 可查阅文中相应列出的参考文献 自相似性和分维性 自相似性通常划分为两大类统计意义上的无规 自相似和数学上严格的有规自相似 见图 图 自然界中无规 自相似的例子比比皆是 如宇宙中的物质分布 漫长的 海岸线 高分 子聚合物等 对于有规自相似 在数学上一个世纪前人们就 曾涉及 如著 名的 康托 线 段 处处连续处处不可微分的雪花等 基金资助课题作者之一汪子丹得到霍英东教育基金会的奖励 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物 里 芋近 夹 卷 图无规分形维的生 氏图形 扩讹 图有规魔方分形结构的二阶图 一般说来 任何结构的最基本的描述之一是该结构的维数概念 它是联系一个几何 对象线度与体积或面积 长度的测量关系的无量纲量 于年提 出一种 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期 汪子丹等凝聚态物理中的分形 维数的一般化表述 他的思想依赖于 标度 概念 份沪 即测量同一对象用测 量 的不同单位 假设我们测量 一个长度为的线段 测量单位为 现需测量出是 的 多少倍 傀 线 二 然后 用不同的测量单位 一 称为标度因子 新的测量结果为 线 尧 一 试 一 我们进行同样的事情测量面积 如的四方形用 的小方块测 量 结 果为 了 么 如果用 火 为测量单位 结果为 山 一么以了 侧厂么 同样 可立即推广上述考虑到对体积的测量 不难得到 丫 一 丫 侧 一 在上面每一种情况 维数出现在的负指数上 现在应用同样的考虑对如图所示 的曲线 它是一个 自相似结构图形 其 构成是这样的初始的 生成元 如图 所示 设每个线段长度为单位长度 然后每个 线段用基本线段为合 的刁 生成元 来替代 得二阶图形 此过程重复迭代进行 当迭 代第次后 用最小基本单位 一与 来度量总长度 有 一 八 一 叭夕 一 一 少 了 认 图无分支曲线的前二阶迭代生成图 仃 七 一 义 所以在第吞次迭代 可有 片 一 一 瓷 又 糯 或者写成 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 魂 沟理学进展 卷 万 二 无厂 州 一 其中维数 八 二 称为 儿线 的分维 时 洲 式可作为分维的定 义 分维刻画了 一个 分形结构的重 要几何特征 其数值一般为非整数 值得 一提 的是 无 穷 层次的自相 似只能在数学上 严格实现 而通常对于真实的物理 情形 自相 似的层次往往是有限 的 只在一定的尺度范围内存在 亦即存在上 下 截止 尺度和 在此范 围外 分维的描述就不适用 系统回到欧氏维数 的情形 例如 对于 人线 当其 自相似的构成在某一层 二 中止 我们会发现以 为 基本 单 位 一 匡二 时有 壳二 抓 二 二 仍无 以 一 系统又回到线的欧氏维数 通过式 还可得到定义分维的另一方法 若取刀对应上截止尺度和 为 长度的单位 一 给出该系统的线度 那么注分形结构在线度左内具有的广义体积 为 侧 此关系对介于上 下截土尺度范围内的所有成立 当该系统线度增大倍为标度 因子 贝相应的广义体积增大倍 故而 显然 式和式都可用来定义或计算分维 通常说来 对有规 分形 用 式方便 而无规分形则用 式方便 一种在文献中经常涉及且有一定代表意义的有规分形结 构 一 如图所示 维欧氏空间上的构成步骤是将一个等边三角形的三边中点 用直线 两两连 上 其内部分成个小等边三角形 边长为原来的一半 去掉 中 间一个 倒三角形 对乘余的三个小等边三角形再实行与前面相同的措施 不断 重 复下去 图 所示是维构成的前三阶迭代图 同样 亦可以用相反的过程来构成上 述 结构 即每步以三个等边三角形垒在一起形成一个更大的等边三角形 边长为原来的 倍如图的 容易知道 当边长增大一倍 维包含的面积或键数增大二倍 所以 分形维数 同样 我们亦可用迭代序列中的格点数来导出相 应的分维 设 为迭代构成的阶数 相应的格点数为万 叶 当足够大 时 线度每增一倍 格点数目是原来的三倍 所以刀 与前面结果一样 可 见 分维仅仅是结构的几何特性 与计 算 的方法用键数或格点数无关 此外 关于 构成的规则可推广到维欧氏空间的情形 维的构成 如 图所 示 分维 由此例我们亦可看出 分形结构的分维不一定都要非整数 只不过与 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理中的分形 掩 毓赢 二 众 矗 血 豆 滋 止 二痴 一 图维的前三阶迭代生成图 与等阶的迭代图顺序相反 其所嵌的欧氏空间维数不同罢了 个 厂 二二 止二 二护 公 图维的构成示意图 分形还可具有小于的维数 例如图所示的 康托 朱 初始是一个实 棒 然后 移去棒中间部分剩余下二根较短的棒 再对每根短棒实施同样的分割法 此步骤不断进 行直至无穷 若在每一步分割中新短棒是原来棒的告 贝该结构的分维 二 当然 分割剩下的数目亦可为 则此广义的 康柑的分维刀 二 了 魂才 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理学进展卷 图 康托 棒的前四阶构成图 关于分形的 自相似嵌套性构成还可推广到随机成分的嵌套结构 只不过此时的分形 是统计意义的 自相似 例如图所示的随机 人线 该分形结构的构成如下给定 一个初始单位线段 然后用结构的生成成份之 一图或去替换 相应的概 率 八 卜一 一 闷 卜 一一 一一 尹矛 曰卜 少 卜 一一 一 八 二 图随机 曲线的构成示意图 其中基本线段被单元 和替代的概率分别为和 一 分另 为 和 一 下一步再对新的基本线段 原单位线段的合实施同样替换办法 如此 一直进行下去 在此随机情形下 不难将方程推广成 二 其中 表示 的算术平均 此例中 二 且 一 二 以上例举的是几个简单例子 实际上分形结构形形色色 千奇百态 有兴趣的读者 可参看文献 中的诸多例子 那些奇妙图形定会使你大看眼界 惊叹不已 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理中的分形 关联函数 考虑一个密度函数 卜艺 一 其中 对应属于分形结构的格点 若设该分形的分维是 其所嵌欧氏维数为维 则 在线度为的区域内 属于该分形总的格点数目为 一 口 芝 一 密度的平均值 户 侧 一 密度一密度关联函数写成 二 一 叉 一 尸 一 艺 对于一个匀称的分形 了 矛 我们可望只要在分形上取定某点为原点 将只依赖于的数值 我们可通过下式 来定义 其中人和 分别是半径为的维超空间球域及其表面积 所以 一一 例 一 进而对匀称的分形可有 艺 一万尺 一 玄 此结果代入式得密度 密度关联函数 一一 通常人们亦考虑下面归一化的关联函数 即 一 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理学进展卷 它的好处是与无关 容易验证对任意的标度变换 标度因子为有 一 二 一 式亦可看作单变量齐次函数的定义 对任意的 具有上式性质的函数只能是幂 律函数 值得指出 齐次函数在描述标度不变的现象中起一个很基本的作用 它是 自相 似性导致的结构内在非解析性的一个直接结果 分形与凝聚态物理 分形与很多学科相关 尤其与凝聚态物理关系较密切 本小节我们简单介绍凝聚态 物理中经常涉及的一些分形和分维现象 渗流集团 实验上人们观察到在金属粒子和绝缘粉未混合体中 当金属成份小于一闭值左 右系统是绝缘体 而达到阂值后导电率迅速上升 最初即由此引伸出所 谓 的 渗流问 题 一 此后 更由于渗流模型能较好地刻画某些无序系统的金属一绝缘体相变而愈发 受到物理学家的重视 渗流的数学模型是建立在网络上 的 一般有键渗流和点渗流之分 所谓键渗流模型 就是网络上联接最近邻两格点的键以概率 一 随机地去掉亦可说键占据的概率为 键被去掉后相应的两点就是不连通了或有键占据即连通 而对点渗流模型 故名思 义即指网络上任意一格点被去掉的概率为 一 占据率为 只有当最近邻两格点都 占据 这两点才算连通 下面 我们只考虑点渗流模型键渗流模型与之类似只不过闲 值不同 人们通过研究发现 对一定点阵当占据率达到某一阂值 后 可形成无穷大连 通集团 相应的连通概率尸亦可看成一占据格点属于无穷集团的概率随占据率增 大而迅速增长图示意 在 附近七 有 尸 灯 一 口 其中刀为临界指数 可见 尸 与连续相变中的序参量类似 密度关联函数有下列渐近形式 添 枯 一 一一 一 一 魂卜 凡 图临界点 附近 连通概率凡随变化曲线示意图 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理 中的分形 户 一 亡 二厄千 一 其中称为关联长度 刀称关联函数指数 在临界值夕 附近 雪的发散形式为 乙一 一 一 其中是关联长度的临界指数 在临界点上 弯弯曲曲的渗流集团图形具有无规自相似 的特征 而当与临界点有很小的偏离时 只在 犷 乙的尺度范围内显示自相似特征 参 见图 故亦可看成渗流的分形特征长度 二灵卜 图 户 时点渗流的计算机模拟图 我们再来看看该系统的分维 设无穷集团上的某一点为原 点 距点 乙远的另一点亦属于无穷集团的概率为 一 由于乙是本系统唯一内在 的长度标度 根据通常的标度分析方法 不妨设尸 的一般形式为 一 一 雪 此处劝是标量函数且 当 时为常数 对于 雪 尸 应于 无关 故 而应有 戈 一 戈 进而有 尸 召 雪 一 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 卷 物理字进展卷 又由式知 尸 侧亡 一 少 最后可得 一 口 在不同欧氏维数情形下的具体数值请参见表 表渗流 网络的分维值 再考虑电流在渗流网络上流动的问题 显然只有形成回路的网络才起作用 略去所 有的端点悬空的键 这样所得到的网络称渗流骨架吞 夕 图维四方网络上的渗流骨架图 存 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期 汪子丹等凝聚态物理中的分形 骨架是渗流网络结构中对电流分布起作用的部分 在临界点附近它也是一个分 形结 构 图 不难预测渗流骨架的分维比其原网络的要小 具体结果为 维 沙 维 另外 使人感兴趣的是临界点附近的电导率 问题 对于点渗流电阻网络 每个 占据 格点有电阻 阻 数值研究表明 在 以上附近 系统的电导率的行 为为 以 一 此处 为电导率指数 召二 维和维 随机行走 随机行走平所 经过的曲折路径或步数比它覆盖 的区域 的线度要长得很多很 多 先考虑一个一维 的随机行走 从原 点出发 行者以单位步长随机地 向左或向右 行 走步后 有个可能的最后状态 而行走者停在原点右边或左边第 步远的 可能 状态数为 口 故相应的概率 一 雪 一 一 尸 气一功 王下 一气 一功少卫 乙 一 曰 对足够大的和 尸 趋于高斯分布 二 二 一 一 当高斯分布的线度变化倍 因子 总长度变化倍因子 亦即路径的总长度正比于线 度的平方 因而可知分维 这点亦可以由推得的下式看出 爪 么侧 其中表示平均 意味该分形的平均半径 对于在任意维欧氏空 间的随机行走 设第步的行走步矢 为 则第步 的位置矢量 二 艺 故而均方位移 艺 艺 公 衡夕 由于每一步出发 的方向是随机的 因而 是分布在 一 区间的随机 量 总的平均为零 所以可得 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理字进展卷 丈么 侧 分维 二 与一维情形相同 自回避随机行 一 在随机行走中 行 走者不能再走到曾经到过的格点即是自回避随机行走 显然 一维问题很平常 因为此时只能沿一个方向走 但在二维和二维 空间中 问题就不简单了 该 问题还与长链分子的几何结构有关 如聚合物分子 可 较合理的模拟这类分 子的形态 故其显得比较重要 一 考虑问题建立在一个点阵上 设步的均方位移为 当充分大 会出现自相似结构 且 万一 二 通过模拟计算可由式直接求得 此外 还可用下面的一个更为有效的等 价方 法 考察比值川 矛 二 十 当 环 由式可得 一二 乃 一 咔 刃 二 因而 通过绘出一系歹 一 依 赖于异的点并夕卜 推到介一 可由数值求 出上述极限 对一个简立 方点阵 结 为 一 士 分 维 问题还可映射到相变问题并能用重整化群方法解析处理 用 标度分析表明式中的指数 护 与相变问题中关联长度的 温 度依赖关 系二一 一 中的 相同 利用重 整化群 一朴 的 二一 展 开方法所得三维情形下 的结果 与前面的数值外推法一致 此 外 二维的解析结果为 对于的 高 维情形 此时平变成平问题 故而相应 的相变问题中平均场 理论适用 其它一些 例子 随机聚集 随机凝集的事例在细微粒子聚集 雪花 树枝晶 高分子聚合 物 和 许多现存的事物中可见 观察到多种细微粒子的聚合体的剖面在一定尺度内具 有 至之间的分维数 多孔材料多孔材料构成的固体通常具有至之间的分维数 如岩石 煤 当岩石的孔洞中充满了水等一类液体 孔隙的结构决定了这类岩石的导通率 而导通率 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理中的分形 的测量是探水 油及其它矿物资源的重要手段 近来在研究多孔材料方面 的进展主要是 分形结构和分维的确定 粗化表面粗化表面在化学技术中非常重要 为增加系统有效的面积 使催化作用 发生在粗化 的表面 一种产生粗化表面的有效方法是使材料有空隙 如话化炭 等人发展 了一种通过吸附测 量粗化表面分维的好方法 一 金属断裂实验观察到金属断裂的裂纹切口是一个无规的分形结构 而材料断裂的 性质与分维数有关 无序媒质的临界指 数和标度关系 本小节我们来讨论渗流 问题中有关临界指数间的联系 一首先 在线度为亡雪很大的 区域对关联 函数 积分 根据式可得 乙 一 一 一 一 尸 浓 口 亡 一 再由式可得 一二一粉 或写成 一 刀 所以 二 口 一一十刀 这就是著名的标度关系之一 又考虑到自相似性要求归一化的集团数目 刁 数 是齐次函数 根据标度假设在尸附近有 一 一 口 为格点为 的集团个 其中和是待定的指数 计算表明 川 和维 口二 维 而集团的平均大小可写成 二 和 艺 么 氛 艺 二 艺 么 由式和 式不难推得 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理学进展场卷 将式 中的求和化成积分并作 变量代换 一 可得 一 一 一 一 一又 一 涨 落一耗散理论告知我们可以认 为式定义的亦即集团的 一平均 大小为广义的磁 化率 而在 附近磁化率指数定 义如下 一 一 夕 一护 综 合式和及式 立 即可得另外两个标度关系 一 下 一二 最后 再注意到关联长度雪可由下式给出 梦 二 艺 广护矿 艺 其中 用与前面相同的积分 变换 得 亡 么 一 一口 所以 公 进而有 一了一 刃 一 或写成 八 万一 幻 这样我们共有个独立的标度关系 理 上 才 而标 度指数共有个刀 刀 护 二 因而只有个是独川沟 分维的测 我们知道 分形结构的一个重要 的儿何参量是它的分维 这类 系统的许多物理性质 与分维密切相关 因而 如何测量和确之分形结构的维数是一个 作常实际和有意义的问 题 目前已经发展起不少测定分形系统的维数的方法 对一个特珠系统 少冬 体 采川什么 合适 的方法取决于该系统的 自然属性和长度尺度范围 通常有两类测 段手段实空间的 今 工 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理中的分形 测量和倒空间的测 量 一 光散射 射线或中子散射 实空间测量分 形维数的方法都是采用 维数的定义及其派生结果 最 经 典的例子是对海岸线的测量工作 在完全不知道工作的情 况下 发现测量海岸线的总长度依赖于其采用的测 量标度 标度越精 海 岸线越长 当绘 出总长度与测量标度的双对数曲线 得到一个斜率约为 一一 的 直线 当时他并不了解其发现的意义 实际上他绘 出的直线 的斜率为 一 就是海 二 二 岸线的分维 这是因为以标度为测 量海岸线若得总长 度为 乙 由 式易得 一 故而 州 一 后来用 同样的方法测 定了碳黑细微粒子系统的刘面维数 二 此 外 其它 较有代表性的工作还有等通过确定表面吸附单层分子的数目与其平均半径 的关系 一 来测定 多孔吸附材料 的粗化表面的分维数 和 研究了金属粒子的聚集 纵 通过集团粒子的数目与其线度的幂指数关系 测得 图 及合作者用类似的方法测定了蛋 白质分子骨架结 构的 分 维 还有一种用扫描电镜 自动化测量步骤亦由和建立并应用于测 量诸如 沙石等多孔材料的分 形表面 川 图金胶体聚集的 应时 匕充 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物 卷 一 交二 三 自 丰 曰 勺乙 一 图 金拉子总数与聚集沐长度标度的双对 数 曲线直 线的斜率给出分维 与实空间的测量一样 小角度的光或中子散射测量也是确定分形维数的一种有效方 法 其基本思想是微分散射 截面与被测系统的 荷 或物质分布的富 氏分量有关 如 果 该 系统是分 形结构 那么分维必定反映在微分散射截面里 考虑一个半径为 的均匀球 的散射问题 散射势可写成 廷 夕 氏 一 一 厂 在玻恩近似下散射幅了是厂 的富氏分量 州 丁 厂 进而对于 一个密度 为的一般物质分布 幼声 我们不难写出 一夕 友尺为系统线度 我们来考察微分散射截面 其 中是密度一密度关联函数 对于的匀称的体分形结构 由式可钻 以 一 为总质量 代人上式用复变函数积分 可得 叮侧 一 二一 叮 应 用上式 等人实验上 用光和射线散射测 得硅粒子的胶状聚集的分 维 二 之容 还有等报导 了对于另 一种硅聚集中子散射的实验结果 如果一个物体是由分形状的表面包围 和验过分析指出 二 犷 一 一 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理中的分形计 其中厂是体积 是与分形面特征有关的比例常数 运算后得 二 侧 二一 二一 幻 一 上式与体分形散射的式有些相似 但是必须注意 由于 体分形散射给出 矿依赖关系时有 而面分形散射则为 等报导了对美国北达科他 州 褐 煤的射线测量结果 二 因而 二 分 一移网络上 的无规扩散和弹性振动 无规扩散和维教 分形网络上的扩散问题起源于渗流集团的电导率值间题 早期的依赖于标度理论的 工作由和 和等完成 下 面 我们先对渗流网络来讨论这个问题 然后即可推广到一般情形 考虑到分形网络的电导率与 荷 密 度及扩散系数少的联系由爱因斯坦 关 系 描述 即 州 少 由于 只有占据的格点才对电导有贡献 密度 抢 正比于格点属于无穷集团概率尸即 侧以 一口以 互 一夕 而渗流电导率满足 口以 一 以 犷 故可得 必以亡 一 一阳 乙 一 由标度理论可设网络的一部分 的扩散系数少 乙 此处劝是标量函数且当 二 是常数 当 二 时 根据式分析可知 二 以尸 囚而 一 亦 即 少 州 一 实际上 对一般的分形网络 山于白相似的原因电导率仍有标度律 侧 一 娜 与具体网络有关 而 州 一 所以式仍成立 粒子在 公时刻 从开始扩散的均方位移为 尺 名二 邹 必 其中 才正 比于粒子扩散的总步数 由式和易得 公以 一 口 这样在分形网络卜无规扩散 或行走 的分维数从 十 口 的体积 在时间间隔内 扩散空 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理学进 展卷 犷侧户侧 注意到扩散模式的态密度应正 比于厂的倒数 一 千 在能谱空间里该态密度依赖于 时间的态密度的富氏变换给出 韶 这就是 以 一 其中 一十 口 由谱 空间各 向同性振动 问题与扩 散问题 的相似性 质仅仅是振动频率的平方 么替代扩散 能谱 可得各向同性 振动态密度 满足 口 侧 么 亦即 其中 侧口 一 一 十 被称 为维数 它是描述分形网络上动力学性质的一个重要参量 与维 数相对应频率 的振动模式称为 分形子 等对临界渗流网络用 已 知的参数进 行 了估算 当在到维时 约为 左右 且 二 时 二 别 这些结果 亦被计 算机模拟验证 进一步考虑到 电阻指数浮 阻 刀和 电寻率指数有如下关系 召 一 沙 故了维数 亦可 由下式求得 即 了 等和等经过分析和研究指出 对于特征长度为亡的分形 结构 十 左 一背渡越 频率 亡 一 十口 当 原激 发模式是 色散 关系为 州 存 当 振动模式是声子 尸 色散关系 侧 当万 局域 此外 对分形 电阻网络问题进行了推广 除了每个键表示电阻 阻外 每个格点还通过单位电容共同接地 形成所谓的分形网络 对问题同样可施 行标度分 析 设 导纳有标度形式 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理中的分形 其中当 才 约 为常数 当以 娜 其有幂函数形式 注意到在极低频 区 其导纳还原为直流情形 即 犷 侧乙 一 一 乙 一川 十一 州 一 在推得上 式最后一步巾应用了关 系 以乙 现在不难看出当 二 劝一二 一 且 丫 二戈 其次可知 在较高频区的响应为 州 这样一来 实际上 可通过测定某一分形网络的较高频的响应来求得 戈 进而 可 得 维数 此外 对于有规分形网络还可用下面介绍的标度分析方法 来求 考虑一个由个 单位质量 组成的各 向同性振动的分形系统 因与系统的线度有关系 一 故在经过一个标度因子为的标度变换后 有 显然 系统的振动模式态密度满足 乙 若在标 度的变换下 使振动方程保持形式不变条件下 的模频率的递推关系 为低频 区 乙 一 一 乙 则根据关系式 乙 乙 乙 口 乙 可得 乙 一 乙 一 最后取 二口一 得到态密度一 一 因 此 可见 只要求出了与 的重整化递推关系 即可求得 维数 以上我们对振动态密度及维数进行了一般性地讨论 下面我们来看看几个 具体的例子 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 夕 物理 生岁 进 股 长 准一维无分支曲线 对图所示的无分支曲线 每一基本线段表示电阻图 将该电阻 网络变换到如图 的网络 易得 了 丫 又二令一 从一畅 卜曰 星 图 曲线电阻网络重整化程序图 一一 一 那么 对图到图的电阻网络的重整化变换 我们有 二 衬 尸 二 乃 犷 犷 盯 尹 因而电阻指数丁 二 根据公式 可知奋二 有兴趣的读者可自己演算一下其它无分支曲线或无规行走及 自回避行走 结 果亦是 这一点可以这样理解 尽管它们的分维是不同的 但动力学关联都具有 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期 一维链 的性质 江子月 一 等凝聚态物侧中的分形 魔方网络 维魔方网络如图所示 设网络上每 根键具有电阻 为了使问题便于处理 我们采用一个变换技巧 将初始基本电阻网络等价变换成如图所示的新电阻网 络 在新网络中任意两格点之间的电阻为连接此两点最短路径的电阻 一次重整化迭代 后图 可有 匕匕 吮吮吮 卜口侧屯屯 日日日 图维魔方分形网络的二阶图 丫 汽汽汽 图等价变换后的最基本电阻网络图 和 新电阻网络的重整化变换程序图 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 圳 万 洲 举 进展 卷 人 入 注 尹 门了 之 了 刀产 曰 矩阵的本征放击和 本征矢硅酬为 八 八 之 二 一 几 叹 将 用本征矢 心 展开 一 负 当 次迭代后川 我们有 加 二里璐 一 月 琳 火 矛 一 故而 戈 护 仍 一口 电阻指数吞 二 更一般情形 考虑嵌在维超空间的魔方网络 维魔方的构成是这样 一个维 的超立方体分成 个小超立方体 线度为原来的言 保留中间一个和顶角的 个小超 立方体 其余的去掉 然后再对小超立方体施行同样分法 重复进行 该网络的分 维 岛 十 类似并推广前面的方法 最后仍可得电阻标度指数了 因而了维数为 元 二 里 一 竺 十 乡 一 一 网络 首先我们讨论 一下扩散问题与网络问题的相似性 考虑网络上第格点电 压为犷 邻近格点用表示 从点流 向 点的电流用八 表示 那么 不 一 犷 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期汪子丹等凝聚态物理中的分形 厂 才 艺八 将式代 入式后有 过醛 亘 勺尽 丫 丈 厂 一 于天 厂 容易看出 方程与描述扩散问题的方程类似 且在 极限下可 过渡为连续限的扩散方程 现在我们用重整化的 方法来讨论网络的刀响应 设每个基本 单位顶 点的电压用 犷 一表示 流入该点的电流 注意由于分开的基本单 二 一一 一 一 一 位迭加后顶点重合 故属于基本单位顶点 的接地电容为首 这些变量可用矩阵向量表 示 且电压向量与电流 向量由导纳矩阵联系 厂 夕 犷 气犷 厂 了 户 了 一一 孟 此处 具有较简单形式 一一 其中 二一 和 二一 变量设成 一 卿形式 进一步将顶点分别为 尹 声 产 的三个基本单元连接起来如图示意 重整化就是要通过消去大三角形内点 尹 来得到顶点 产 的 电压与电流的关系 在连接点电压相等 有个方程 由于这些内点被重整掉故电流相 加为零亦即可去掉内点的接地电容 这样就可消去三组 讼 式关系中属于 内点的 个变量 将重整后的外点仍写成式的形式 八 八 件 勺 图 厂 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 华勺叩学作展 这儿新导纳矩阵与 尸 有相同的形式 二 片 一 一 娇 且 卜 犷 八 丫 一 一产 一 八 犷 一 育 卜述 过 程不断重复到 更大 的网络直至无 限 式就是维网络问题的导纳 递推关系 直流 问题很容易解决 不过此处我们来用式计算 看看结果 如何容易得到第 级 的导纳矩阵元是 二 一 和玖 二一 一生 我们用三个端点中的个作为输入和输出 经过一些运算可得这个端点 的导纳 二 产 一 扩 一 如果初始基本单元三角形的边长取为单 位长度 则第 级的边长 二 一 这样我们就有 以 一 其 二 一 该结果与文献 中的一致 进而可得 万 一 可 一 一 任软低撇人 二 进行迭代并保留 的一阶项 有 犷 了 二 尸 一 一 一 这样则有关系 犷 俘 挂 对无穷网络 和 趋于相同 依赖关系的极限 因而 由式 确定了无穷网络 侧 一 二的频率指数 二一 八 一 么与由标度分析式所得结果完全一致 对 维习网络可进行同样的计算 有关结果为 华二 一卜 一 川 一 一 九一 口 川 由式我们可得 十 十一 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 下了丹等 凝架态物理中的分形 石了根据 式可有 二 一 一 了十 此结果亦验证 了前而一般性的标度理论 的结论 此外 我们也可从另一角度 通过振动频率的重整来研究网络的维 数 叮出图 左下角三角形 的三边中点的振动方程 丫 芝 一 其中乃为 玄点的邻近格点 而丫或点的振动方程为 么 二 万 一戈戈 根据式将价和 古 分别表示成丹和公的函数并代人式 可得到 龙用 尤 和 表示 出来的一个新方程 将其形式写成与式相同 进而得 到频率重整化的递推关系为 之困 一一入之 别 人一斧六 一 今 减 人尸分老 片一份 些 一么 图维网络上振动频率重整化所对应的网络变化图 二 一 么 对维网络 仁式变为 二 十一 一 在较低频区 二 丢 十 乙 因而最后得 卜 与前面的结果一样 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理学进展卷 分 形网络的弹性性质和弹性谱 维 数 关于分 形 系统的弹性性质和弹性振动谱维数的研究没有象对扩散问题那 样搞得非常 成熟和清楚 还有 不少更细微及深人的工作待做 因 目前的探索涉 及到 无序固体弹性性 质的一般 问题 故而受到 物理和材料科学家们的关注 人们早就指出在凝胶一液胶相变中包含无穷集团的形成 并且该问题可 与临界 值附近的渗流问题 比较 认为凝胶的弹性刚性与渗流网络 的 电 导 率 类 似 弓 而这两个 问题的等价性是建立在弹性势是各向同性的基础 七的 即互作用势为 一 其中是弹性常数 和分别是近 邻格点 的位移矢量 这个势有其不宾实的 一面 考虑 一个小角度叨的刚性转动 相对位移为 一 凤 一 马 切 月而 该势 对系统刚性转动有有限的阻尼 和考虑了类似于普通 弹簧的中心 力势 它可以避免上述势的缺陷 其形 式为 二 答 一 一 容易看到 这个模型弹性互作用不能沿键的直角方向转播 因而导致四方点阵上的渗流 网络对切变力不稳定 为绕过这个 问题 他们研究了对中心力势稳定的两种点阵仁的渗流 问题维三角点阵和维面心 立方点阵 结果表 明 体模量 和切 模 民 环 作 为键 占据率的函数均 在闲值附近有 幂律的临界行为 卜 心势 尤 拼 侧 一 其中 夕 二 维三角 点阵 二 尽 点阵 衍各 向同 性势的结果却 为 各 向同性势 拼 侧 一 搜 其中正好亦是渗流阂值 拼是电导率指数 具体数值为九 群 二 维三角点阵 拼 二 点阵 中心 力势弹性阂值高反映该 系统刚性小 而较大的临界指数意味着弹性模量增长慢 也就是点阵较软 该作者们结论为 上述 两 种力属于不 同的普适类 换句话说 弹性问题不等价于扩散问题 和通过研究的弹簧网络得到了类似结论 弓 他们经过分析 指出 等效的弹性常数 与线度成反 比 而弹性模量等于弹性常数乘以长度和 截面 的比值 所以 侧一 侧 一 将写成与渗流情形的形式 叫 乙 一 丫 相同 可得 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期 汪子丹等凝聚态物理中的分形 二一 而各向同性的弹性模量指数与电导率指数 拌一样 比较这些结果如下 当 尹 二 召 二 和贝考疮 一 键扭转力势模型 一 公夕 形式如 一下 厂 习帕 誉 烈 一 一 一 门注 一一厂 其中仙是键 与键 的夹角的相对变化 经过一些解析的分析推导 得知在渗流网络上这 种势的弹性阂值与渗流闽值一样 并有 侧 心 一 从而可得 才二夕 一 且 卜 二 维 和维 等人亦通过计 算机模拟 在维系统验证 上 述结 果 另外 实验上也定量验证了述结论 既然不同的弹性势对应 的弹性模量的临界行为不 同 那么相应振动模式的态密度指 数也应有差 异 对于一个分 形网络 在互分尺 度 内 等效弹 性 常数 侧雪 一 识 犷 一 十 而广义质量 侧乙 因此弹性振动频率 一 气 享 一 么以 一 相应地弹性振动的态密度为 侧 一 其中 二 竺 一卜 石 且 二 一 我们称 为弹性谱维数 相 应振动模式称弹性 注意到能 是一个一般的 公式适 用于各种情形 不 同的弹性势只要代入相应的 值即可 对干弹簧势模型 利 用式可得 二 工 十 而 细用重整化方法 求解 弹簧势的动力学 矩阵 的严格结果完全与此 相 司 另外 作者本人曾尝试用有关弹性模型描述一些特 殊 材 料并以此探讨 一些热学性质 一 分形网络上的磁模型 关于分形网络上自旋系统的磁序研究是较有意义的 从实用的观点来看这是探索稀 疏系统理论的一条路径 而更 引人注日的还是其具体实现了非整维进入现代相变理论 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 艺林 甲 一 叫尸 卫 门网尸 物理学进展 冬卷 处理了等 一类磁模型问题的基本数学方法是用实空间重整化群方法 一首 光我们 通过考虑简单的一维 问题来说 明该方法的基本思想 考虑个自旋 一 以祸合常数铁磁祸合 该系统的互作用哈密顿为 二 一日 该系统有个位形牛牛 今今 各牛 今今 第一个和最后一个位形自旋是平行 的 它们 的儿率 权重 土 其中 寿口 中间两个是反平行 的 率 权 币 执 一一 兀 系统的配分函数 艺 二 尸 二 式 少 自旋关联函数为 二 一 式 显然 簇 且等号只在零温 成立 现在再将两个链连接起来构成三白旋链 该系统哈密 顾为 了二 一 当自旋 工和 都向上 此时有自旋向上或向下两种方式 尸 尸广 同样 对于和反平行 相应的几率权重尸 一卜尸 二 么 两端点的自旋关联函数 二 名式二名 这一位形的儿率权重 尸 二 尸 尸 酉 己分函数 二 吞 若将白旋和 吕看成以新的重整化互作用常数 产 祸合 则 二 此 少骤川 直重复以 求得长链两端点的自旋关联函数 第 步时 有 一名 第 步后链 长为 二 一 若将 用 表示并写成 阶 二 一 鸟 套的形从 其 心就是关联长度 则有 立八 注意到式的不稳定不动点为 套 二 二 此时套 这点也就是产生 长 程序的相变点 在低温下 相变点附近 可定义超标度温度 一 相应地关联 民度的起标度关系为 套侧 一 且 阳 维了勺系统在 有限温度无相变的结论在物理上可以这样直接解释 行 个 变 勺 丫的铁磁链 若全部 一 个自旋已有序排列 当其中的任一个反向 此时获得的能 徽 为 了 墒为介砂 丫一 白由能的改变为 二 一 了决 一 曰 对无写长的链 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 期 汪子丹等凝聚态物理中的分形 除非 二 否则 亦 即破坏磁序的过程要发生 故而有限温度无 长程序 或者说相变温度为零 下面 我们来具体介绍 儿种分形网络上 的磁序问题 型分形网络 型分型网络是一种较简单的有规分形 可作为模拟受限制聚集分形的一 种近似模型 维如图所示 其分维 二 八一般的维的分维 注 二 一 八 图 一 日 先考虑经典的 认 模型 设 自旋 二 士 位 一 尤的点阵格点上 见图 基 本近邻互作用是 氏氏 零场下 对指标 氏 求和得和 之间的等效互作用 即 咬 十 卫 二 下 十 十 一 石 口了 口护 共中 二 尸 这村做仍能保证配分函数不变 式不难得 了 一 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理学进展 功卷 故而经过一次重整化的变换图 图 我们得重整后的互作用 满 足递推 关系 产名 从 上式立 即可看出不动点在 二 不稳定点 和 一一 稳定点 若 设 才二 一 在不稳定不 动点 一 附近线性展开 可有 二 其 扣 夕 因此 亡侧 一 二 墓 此处 在有限温度无长程序的事实 物理上可通过推广的尸观点来理解 厂网 络的一个任意大部分可以通过去掉有限几个互作用而与其余的分开 这一性质亦称为有 限分支 这样一来 只要含 被切断 的部分的 自旋反 向所得到的墒的增加远大于能量 的增加 儿 个的量级 所以有限温度无长程序 现在我们引进小磁场 为 了得到磁场临界指数 取极限 由于火厂点 阵有 种具有不同近邻键数的格点 经过一 次重整化迭代 不等价的格点将产生不同的 磁 场 设具有个近邻键的格点上的磁场为 由于零温下 所有 自旋将互相 平 行 故 不 难得 的重整化递推关系 奋 工 侧 打 儿 一一 又 人 口 九 九 厂厂 了 一一 人 则经过迭代可有 九 二 么 咋 矩阵 的本征值从和本征矢量自为 一一 内曰 月 几 岁 泥 二一 爪币 鹉偿孙 一占 一一 一 勺 一 儿 将由本征矢量 注展 开并代入式 得 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 汪子丹等凝聚态物理中的分形 才 月 上自 土 一 期 若写成 二 尤 的形式 那么磁临界指数 由 于 尺度内 自旋数目为 那么每 个 自旋的平均自由能以为单位 正比于 一 我们可有标度函数关系 二 一 才 故而我们 可得到有关的热力学临界指数 一一 分 占 的磁相变是一级相变 因为磁矩从零跳到 类似地可以考虑维 在此就不重复了 仅给出有关结果如下 一 八 刀 沈 进而再来考虑维上的尸 行 模型 具有最近邻互作用的哈密顿为 万 一 艺 氏 二 其中山可取个不同的值 九犷 重整化递推关系 令兀 成 经过一些推导后得 今 一 二一 口 其中 点 一 吞 在不稳定不动点 二 附近展开 设 二一 则有 才 亦即 夕 雪 榨责注意 模型只是 廿 模型的特例 因为此时 厂 网络 网络上的 问题是非常有趣的 该系统的基本构成单位是一个等边三角形 叨 心田当全 曦 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 物理学进展卷 其每个顶点放置一个介公 自旋 在每对自旋之间是铁磁互作用 哈密顿为 一 这个基本单位系统有个自旋位形 其中个位形是 自旋全部平行朝上或朝下 另 个是一对平行两对反平行 的位形 对前个位形 每个的几率权重为尸 其余每个的几率权重为尸 一 配分函数 且任意一对 自旋关联函数为 口 一 一 一无 日 一 现在进行的下 一个步骤是将自旋为 口 和 口 口 个基本单位连接起来构成大一号的相同结构 其中 取大 结构的个顶点的自旋 为新的重整化自旋变量 并对内点自旋求和以得较 大结构位形的几率权重 不难求得 么 么 新自旋变量的关联函数 二 口 产一 产 艺 一 么 上述过程可不 断重复至无穷 式亦就是关联函数的递推关系 不难验证 毛 即在有限温度 随增加而减小 长程序只能发生在点 其原因与类似 是有限分支所导致 所具有的一个很不寻常的性质是它处于相变的边界 为显示这点 让我们来求 关联长度的临界行为 令 由和式可得 丁兀 万 么一 口一 一一 上式的不稳定不动点仍为矿 若取超标度温度变量为 一 在附近展开式得 才 考 一 若将关联长度写成乙 才 一丫 形式 则 此时 所取 超温度 是 临 界 乒朋变量 这与的 临界 性质有关 当其结构引进很小的变化 就会有 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 土期注子丹等凝聚态物理中的分形 有限相变温度 幻 由于 超温度 的选取具有任意性 为较方便求得互 我 们 重设 一 刀 由式可有 口一口 在 附近有 古 二 才 因而关联长度 一拼一 等 仔细分析一下会发现这个结果很不一般 在温度或 关联 长度为 沪 弓个 晶格常数 考虑到有限温度时在乙范 围内自旋排列是有序的 这样若设最近为 间距 品格常数 为 入这是典型的原子间距 可发现磁有序的范围比观察到的宇 宙还大 面对于一般实验室尺度的系统 在较低温度下已变成有序系统 回回回回回回回国国同同回回回回 回回回回回同同网网同同 翻翻翻 澎澎黔器澳 二二 飞 飞 回回回叠 爵目目 阿阿 回回回回 幽幽 同同 国国国区巨阿阂百 百国 国 圈圈圈口口握三 三到 到注 注困困履履国国图 图 目目目彝彝翻 三三三三勃勃压压阅阅愿愿 曰卫卫几尸艺艺 溉溉溉溉溉溉溉溉溉溉溉 呈 生生生生生生 诬七硬