高等数学重难点及教学建议.doc

高等数学重难点及教学建议于大光第一章 函数 极限 连续一、基本要求1.深刻理解函数的定义，会求简单函数的定义域，会用函数的对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系式，了解隐函数和反函数的概念，了解函数的有界性单调性、奇偶性、周期性。2.理解数列极限的“”定义和几何意义，知道收敛数列极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，会用极限存在二法则（夹逼、单调有界）。理解函数极限、左右极限的“”定义和“” 定义，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限存在二准则，掌握利用两个重要极限求函数极限的方法。3.理解无穷小与无穷大的概念、关系和运算，知道无穷小的比较，掌握利用等价无穷小求极限和近似计算的方法。4.理解函数连续和左右连续的概念，了解连续函数和差积商、复合和初等函数的连续性，会判断间断点类型，理解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。二、难点复合函数复合过程的分析，利用两个重要极限和等价无穷小代换求函数极限，函数间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的应用。三、重点与注记函数的定义及函数的简单性态，复合函数的概念和复合函数定义域的求法，极限的概念和性质，两个重要极限，函数极限的求法，无穷小的概念和无穷小的比较，函数的连续的概念，初等函数的连续性，间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的性质及应用。、函数概念的核心是函数的两要素，只有当其定义域和对应法则完全相同时，两个函数才表示同一个函数。根据实际问题建立的函数，其定义域是使自变量具有实际意义的实数集合；由解析式表示的函数，其定义域是使运算有定义的实数集合。2、在讨论函数奇偶性时一定要注意它们对函数定义域的要求。函数的奇偶性是相对于对称区间而说的，若函数的定义域不对称，则该函数一定不是奇函数或偶函数。判断函数的奇偶性主要是根据奇、偶函数的定义，有时也利用奇偶性的相关性质。是判断为奇函数的有效方法。3、函数和其反函数的图形关于直线是对称的，的定义域是其反函数的值域。另外需要注意，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数。求反函数的步骤是：首先从方程中解出，得到，然后将和对调，即得该函数的反函数。4、在讨论复合函数时，要注意进行复合和分解时函数的定义域。将两个或两个以上函数进行复合的方法主要有：（1）代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数表达式替代，适用于初等函数的复合；（2）分析法：根据最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式和定义域进行分析，从而得出复合函数，适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。5、在求函数极限时，要注意有时需要分别讨论其左、右极限。对一些的极限，应该注意分别考虑和两种情况。6、在求幂指函数的极限时，可以考虑将其先取对数再求极限，当函数呈“”型不定式时，也可以将其化成或的形式，或凑指数幂使之成为上述形式，然后利用第二个重要极限求解。7、求函数极限的一个值得推荐的方法是利用等价无穷小替换，有时可使解题过程大大简化，这时要注意进行等价无穷小替换的原则是，只有作为因子的无穷小量才能用与其等价的无穷小替换，而作为加、减项的无穷小则不能用等价无穷小随意替换。8、在讨论函数连续性时，常见两种情况：（1）在点处的两侧表达式不同，此时函数在点连续的充分必要条件是；（2）在点处的两侧为同一表达式，此时函数在点连续的充分必要条件是。9、讨论带绝对值符号的函数的极限或连续性时，一般先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数，然后再讨论在分段点处函数的左、右极限或左、右连续性。10、在求函数的间断点时，需要注意，只有在可去间断点处才可以修改或补充函数在这一点的定义，使得函数在该点连续。四、内容分析与教学建议 本章内容包括三个部分，函数、极限与连续。极限知识是微积分学的基础，也是研究导数、各种积分、级数等内容的基本工具，既是教学的重点、又是难点。在教学上，注意由浅入深，由直观到抽象，多用实例和图形作解释，逐步建立极限概念，总结求极限的规律和培养学生利用极限定义进行逻辑推理与抽象思维的能力。（一） 函数1、高数课往往是新入学的学生首先接触到的基础课，因此可简要介绍高等数学的主要内容，以及与初等数学的区别，大学的学习方法等等。2、函数知识是中学函数内容的复习和补充。中学里已经比较熟悉的内容略讲或让学生自学，中学里介绍较少的内容如分段函数、反三角函数、复合函数、邻域应详细讲解。3、函数概念应突出两个要素，对函数符号的意义和用法应有足够说明，从而使学生能正确理解函数的概念，讨论函数的有关性质。另外，由于高等数学主要研究对象是函数，因此开始注意培养学生列出实际问题中函数关系的能力。（二） 数列极限1、 建立极限概念时，先从直观易的实例入手，建立数学模型，引入极限概念。讲极限定义时，借助上述数学模型，先讲描述性定义，然后再过度到精确定义，这样一步步抽象，并用数学化语言表达，就可提炼出-定义。最后再辅以图表并对-等作解释，帮助理解-定义。2、 选用一些简单例子，利用-定义证题，并总结出使用-方法的一般步骤。-方法仅要求了解，不作过高要求。（三） 函数极限1、 对于函数极限中，可从数列与函数关系，通过数列极限过渡来得到定义，再拓展到情形。2、 对于函数极限中，先从简单具体函数求极限的例子，引入描述性定义，再抽象3、 到精确定义-方式。再以分段函数为例，讲清规定（，即）的好处及必要性。-方法仅要求了解，不作过高要求。（四） 无穷小1、 极限作为分析的主要工具是由无穷小来体现的，因此无穷小量概念的引入应讲透，要求学生正确理解，以达到能熟练地进行比较。2、 常把无穷大倒过来化为无穷小进行研究，因此对无穷大的性质和比较只作介绍和了解。3、 注意从无穷小的和、差、积引入到商，可结合例题讲透无穷小代换定理，特别提醒学生求积及和差中无穷小代换问题。（五） 极限准则及两个重要极限1、 单调有界准则是实数理论中几个基本定理之一，其证明繁难，故证明可略去，但应辅以绘图作几何解释，让学生理解和接受。2、 关于两个重要极限。首先认清它们的形式和本质，()，并注意比较，；其次，结合例题练习使学生能熟悉它们的使用。（六） 函数的连续与间断1、 函数的连续性与间断。虽是一个重要概念，但对工科学生的要求不应太深厚详尽，主要是要求学生正确理解函数在一点连续的几种等价定义及间断点类型的判别，从而能讨论初等函数，分段函数的连续性，正确使用闭区间上连续函数性质。2、 从引入增量及实例入手，揭示连续变量的本质特征是当很小时，也很小，逐步过渡到常用定义，再分析它所包含的三层含义，并与极限的-定义比较异同。3、 在重点讲清函数在某点连续的基础上，再讲左右极限，区间上连续，间断点及其分类。注意分段函数的连续性问题，至于连续函数的四则运算知识可略讲。4、 关于闭区间上连续函数的性质，可结合图形加以理解，应强调闭区间和连续两个条件是重要的充分条件，运用时不可缺少任何一条。5、 本章结束时，建议安排一次求极限为主的习题课。第二章 导数与微分一、基本要求1.理解导数和左右导数的定义，知道可导与连续、左右导数的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线与法线方程，会用导数描述一些物理量。2.熟练应用导数的基本公式和求导法则（复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数求导法则、由参数方程所确定函数的求导法则）求一般函数的导数。3.了解高阶导数的概念及求导法则，会求简单函数的 n阶导数，会求分段函数的一、二阶导数。4.理解微分的概念、微分和导数的关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。二、难点导数和微分的概念，复合函数的求导、隐函数求导 三、重点和注记、导数的定义有两种表示形式，即和，在利用定义求函数的导数时，可根据不同情况选择利用以上两式，例如在求分段函数在分段点的导数时，通常用第二个表达形式。2、一般，以下几种情况下，需要利用定义来求导数：（1）在函数表达式中有抽象函数记号，已知其在某点连续，但不知它是否可导，欲求其导数时；（2）求分段函数在分段点的导数时；（3）求带绝对值符号的函数在分段点的导数时，此时应先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数。3、求复合函数的导数是本章的重点，也是一个难点。复合函数求导关键在于搞清楚函数的复合关系，从外到内一层一层的求导，既不能重复，也不能遗漏。对于某些比较复杂的复合函数，在求导前，可先进行换元，引入中间变量，将函数变成比较简单的形式后再求导，然后乘以中间变量的导数。4、对于由方程所确定的函数，求导数的方法有两个：（1）将方程两边同时对求导，此时需要注意是的函数，因此的函数是的复合函数，因此应该用复合函数的求导法则来求。（2）可以利用微分形式的不变性，在方程两边求微分，然后解出。5、在求幂指函数的导数时，可以采取两种办法：（1）用对数求导法，将两边取对数，然后按隐函数求导的思路求导；（2）将幂指函数改写成，再利用复合函数求导法则求。6、除了求幂指函数的导数时可以应用对数求导法之外，当函数为一系列因子的连乘、连除、乘方时，采用对数求导法也可以使运算简便。四、内容分析与教学建议（一） 力学、物理和其他学科（如经济）的许多重要问题都涉及到研究函数变化率和增量问题，因此本章的导数与微分问题，是学习后继课程和工程技术中不可缺少的工具。（二） 教学方法上，许多重要的应用问题都涉及到导数概念，因此要注意导数与实际问题的联系，另外求导公式，微分公式及初等函数的求导均是高等数学的重要基本功，要加强训练，使学生熟练掌握。（三） 导数概念导数概念学生第一次接触，必须在学生已有的几何、物理知识的基础上从实际引入，着重分析问题的共性，讲透其实质就是函数的变化率问题，要求学生透彻理解，另外可结合专业补充一些导数的应用实例，使学生加深理解导数概念。（四） 求导法则1、复合函数的链式法则应用问题是教学中一个难点，教学时，可分两步走：（）分清复合层次，写出各中间变量逐次应用连锁法则，使于学生理解；（）当熟悉（）后，不写出中间变量而逐次运用连锁法则，可使计算简化。2、关于隐函数的求导问题，要通过例题介绍隐函数求导方法，注意变量关系的理解。3、复合函数微分法，在整个微分法的建立过程中起着极其重要的作用，对公式的建立不是强求严格，应把主要精力放在使用上，通过示范举例着重分析使用的方法，给予足够的练习，使学生正确掌握和熟练使用。4、参数方程的求导方法可由两种方法（复合函数、微分法）来讲解，教师可选其中之一讲解透彻，尤其是二阶求导，学生常犯错误，要加强训练。（五） 微分1、 可由测量正方形边长或圆半径的误差，引起面积产生误差等实例，引入微分概念并作几何解释，让学生易于接受这一新的概念，要重视这一基本概念的教学，可多花一些时间。2、推出可微可导的基本定理后，可立即给出基本微分公式表。、微分概念应强调它与导数的区别，讲清微分作为函数增量的线性主部，以使学生正确理解微分概念。（六） 高阶导数应根据学生的实际情况介绍高阶导数的莱不尼兹公式。第三章 导数的应用一、基本要求 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理泰勒定理及其应用 掌握洛必达法则求不定式极限的方法 掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式、恒等式的方法、确定根数 掌握用导数研究函数的状态（极值、最值、凹向、拐点、函数的图形） 会求解最大值、最小值的实际应用问题 理解曲线弧函数的微分，会求曲率及曲率半径二、难点 构造辅助函数证明中值定理结论，洛必达法则占用情形与简化，最值问题目标函数的建立三、重点与注记 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论，会求；对简单中值结论，会构造辅助函数、用罗尔定理或拉格朗日中值定理证明 熟练掌握洛必达法则：注意适用条件，将各种不定式转化为或型，正确求导，注意化简（如用等价无穷小替换其因式，先求出部分因式的极限） 掌握用导数判断函数的单调性，利用单调性证明不等式、恒等式、确定极值、根数 证明不等式可用单调性、拉格朗日定理、化成最值，或用凹凸性但最常用单调性，注意不能由直接说 连续函数的极值点必是的驻点或不可导点，但这种点却不一定是极值点 函数极值概念是局部性的，用以描述函数在一点邻域内的性态与在闭区间上的最大值、最小值问题不同 极值的必要条件和充分条件： 函数取得极值的必要条件：若在可导点取得极值，则必有，并称为函数的驻点 函数取得极值的充分条件：极值的两个判定法则 曲线凹凸性和拐点：拐点是曲线凹凸性发生变化的点，且拐点的x坐标必为的驻点或不可导点，但这种点却不一定是拐点（的x坐标） 函数作图：将讨论所得的函数的性态汇入总表，即可看出其图形的走势（变化态势），再加上经过的特殊点（即控制点，如与坐标轴交点、端点、拐点、极值点、补充点等），渐近线，就不难画图了四、内容分析及教学建议（一） 本章可分为两个主要部分，导数理论及导数应用。导数理论是作为导数应用的一个基础部分，主要是通过几个中值定理表现的，就高等数学而言，罗尔定理主要作用是用来证明拉格朗日与柯西定理。柯西定理的重要作用它来证明罗必塔法则，至于拉格朗日定理的主要作用是来研究函数性态，借助于中值定理，利用导数对函数的性态作了比较全面的研究。（二） 教学上，本章理论性较强，学生往往难以理解，证明题学生常感到困惑，因此教学中注意放慢速度，注意证明过程中的分析及基本思路。（三） 三个中值定理1、可结合问题背景及几何解释引入各中值定理，帮助学生理解中值定理，证明中值定理的思路大致可分为两种，第一种思路：费马定理 罗尔定理 拉格朗日 柯西；第一种思路：拉格朗日 罗尔（作为特例） 柯西定理（作为推广）。无论采用哪一种方法，注意几何方面启示及结合，更重要的是重点介绍构造辅助函数思路以及利用辅助函数证题的方法，并且在以后的教学中，逐渐要让学生学会和掌握这一方法。2、本节较重要，难点也很集中，若课时允许，应专门上一次习题课由易到难多讲一些例题作示范，并让学生多演练一些习题，熟悉方法。（四） 罗必塔法则利用柯西中值定理，不难证出教材的定理，重点应放在如何使用罗必塔法则，包括充分性条件的解释，如何化为基本型，使用法则的注意事项，当然要通过一定的例题和习题才能使学生掌握。（五） 泰勒公式首先介绍多项式函数的优点，从导数阶数的推广或逼近观点引入泰勒定理，可要求学生了解并能将一些函数写成泰勒公式，为后面级数中泰勒级数作好准备，这里要求不宜过高。（六） 函数单调性极值关于函数的单调性和极值，可从几何图形辅助说明，把推导的几何思想讲透，再分析证明，而在分析证明时，再次强调拉氏定理的作用，以让学生正确理解并熟练掌握。关于最值及其应用，首先应讲清极值与最值概念的区别和联系，然后总结出最值的步骤，通过一定的例题，分析、讲清如何求解实际问题中的最值。（七） 函数凸凹性作图函数图形的凸凹和拐点可由几何引入，讲清它们的判别法及与函数增减、极值之间的类似之处，使学生了解它们的联系，从而掌握它们的求法并能熟练使用。对于函数作图，由于很费时间，教学时只需个别例题作示范，总结出一般步骤。（八）关于曲率和方程的近似解，比较单纯，教学中可从几何上给出解释及证明，同时可根据专业需要作适当的删减。第四章 不定积分一、基本要求 熟悉不定积分基本公式 熟练掌握不定积分换元法、分部积分法 掌握较简单的有理函数、无理函数的积分二、难点 不定积分的换元法，特别是凑微分法 不定积分的分部积分法，被积函数中如何选取及 一些不定积分做题的技巧三、重点与注记 理解原函数与不定积分的联系：是在区间上原函数的一般表达式 两类换元积分法的区别与联系 第一类换元积分法（即凑微分法）中的代换是从不定积分的被积函数中分离出来的，在凑微分的过程中逐步明确的；而第二类换元积分法中的代换是根据被积函数的特点一开始就选定的； 第二类换元积分法（即变量代换法）中的代换必须具有单值反函数，而第一类换元积分法中的代换却无此限制； 原积分变量x在第一类换元积分法中的代换中是自变量，而在第二类换元积分法中的代换中却处于因变量的地位 第二类换元积分法常用的代换（或替换） 三角代换：， 无理代换： 倒代换： 万能代换：， ， 不定积分分部积分法的关键是：正确选择如和，使得转换后的不定积分（或）比原先的不定积分（或）容易计算时，可使用分部积分法 特殊类型函数的积分 任何有理函数的积分总可积出：任何有理函数总可用多项式除法（长除法）化为多项式与真分式之和，其中多项极易积分由代数学定理真分式又可以化为四类简单分式之和，它们总可积出 三角函数有理式的积分：根据具体题目，可作万能代换或三角代换解之 简单无理函数的积分：根据具体题目，可作根式代换或三角代换解之四、内容分析与教学建议（一）本章的基本知识结构是从原函数与不定积分概念入手，从逆运算意义上出发建立不定积分性质，运算法和基本公式。并反复运用这些运算法则和公式，达到培养熟练的这种技能。（二）教学上，本章相对来说不困难，在理解原函数与不定积分概念的基础上，通过较多的例题和练习训练以学生能达到熟练掌握求不定积分的技能。（三）原函数与不定积分教师可用几何上已知斜率求曲线方程，物理上已知速度或加速度，求路程函数或速度函数等实例，提示导函数与原函数的关系，引入原函数与不定积分的概念，借基本微分表逆推，导出基本积分表，然后以各种例题辅以适当变形，介绍直接积分法。（四）换元法、分部积分法1、 凑元积分法是计算积分用得最多的一种方法，各种凑元的方式很多，比较灵活，初学者难以把握，因此在讲了简单定理后，应多举例作示范，让学生多见识一些类型，以便积累经验。2、 抓住去掉被积函数中的根号（有理化）等目的，讲清如何选择相应的代换去计算积分。3、 花少量时间推出分部积分公式以后，要用较多时间举例，说明怎样去恰当地运用分部积分公式。4、 二十个积分公式和积分法则的运用构成了本章的基本方法，因此应通过足够的由易到难，由简单到复杂的例子练习，使学生熟练掌握不定积分法。（五）有理函数积分有理函数的积分是几类可积函数的关键，因此应讲透有理函数的分项分式以及被积函数有理化的思想。（六）递推公式积分的递推公式是经常遇到的，应通过例子使学生领会到“递推”的思想方法。第五章 定积分及其应用一、基本要求 （1）理解定积分的概念与性质（2）会求变上限积分的导数，掌握牛-莱公式（3）掌握定积分的换元积分法、分部积分法，知道常用的定积分公式（奇偶函数在对称区间上的积分，周期函数的积分，正弦、余弦函数在的积分，Wallis公式，Euler公式）（4）掌握用定积分表示和计算的一些几何量与物理量（平面图形面积，平面曲线弧长，旋转体体积，平行截面面积已知的立体的体积，功、水压力、引力）（5）了解广义积分的概念，会计算广义积分二、难点定积分的概念，定积分的计算，变上限积分所定义的函数及其有关结论.三、重点与注记1正确理解定积分定义定义中有两个任意，将区间任意分割成个小区间，在每个小区间上任意取一点如果已知可积，可以通过选择特殊的分割和选择特殊的来计算定积分（例如计算某些极限）2注意正确使用定积分的换元积分法定积分换元积分法是通过变量代换把一个定积分化为另外一个定积分，因此不必运用不定积