1.9几种可降阶的高阶方程.doc

教案教研室： 教师姓名： 授课时间:课程名称常微分方程授课专业和班级授课内容1.9几种可降阶的高阶方程授课学时2学时教学目的掌握三种可降阶的高阶方程的解法教学重点三种可降阶的高阶方程解法教学难点高阶方程的应用教具和媒体使用板 书教学方法讲授法教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)一、 复习旧课二、 引入新课三、 重难点讲授1.9几种可降阶的高阶方程（一）、三种可降阶的高阶方程（二）、初等积分法小结四、作业和习题布置五、归纳总结板书设计 1.9几种可降阶的高阶方程（一）、三种可降阶的高阶方程（二）、初等积分法小结讲授新拓展内容课后总结教研室主任签字 年 月 日讲 稿 讲授内容备注一、 复习旧课1、 分离变量法2、 常数变易法3、 积分因子法4、 参数法二、 引入新课以上复习的方法只针对一阶微分方程，但还有一些高阶方程是不能直接应用上述方法，若把高阶方程通过适当的变量代换成低阶的方程，就可以应用上述方法去求解，因此解高阶方程的关键是降阶，但并不是所有高阶方程都可以降阶，下面学习可降阶的三种高阶方程。三、 重难点讲授1.9几种可降阶的高阶方程1、第一种可降阶的高阶方程方程（1）这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为k且不显含 .这时只要令依次为代入(1)中就化成（2）如果(2)能求出通解则由对积分 ，就可以求出 y来了. 例1求微分方程 的通解.解 方程中不显含未知函数，令，代入原方程，得 ，这是关于未知函数的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以讲 稿 讲授内容备注） =）=）=）=，由此 =，=，因此，原方程的通解为 = （为任意常数）.2、 第二种可降阶的高阶方程方程（3）这类方程的特点是不显含自变量 x，这时，总可以利用代换 ，使方程降低一阶.以二阶方程为例.令，于是有代入原方程，就有这是一个关于未知函数 p 的一阶方程.如果由它可求得则有若此一阶方程有解，则可求出原方程的通解。例2求微分yy-y2=0的通解. 解 设y=p, 则, 代入方程, . 在y0、p0时, 约去p并分离变量, 得. 两边积ln|p|=ln|y|+lnc, 讲 稿 讲授内容备注即 p=Cy或y=Cy(C=c). 再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为ln|y|=Cx+lnc1, 或 y=C1eCx (C1=c1).例3求微分方程 满足初始条件，的特解.解 方程不显含，令 ，则方程可化为 ，当 时 ，于是 .根据 ，知 代入上式，得 ，从而得到 ，积分得 ，再由，求得 ，于是当时，原方程满足所给初始条件的特解为 ，当时，得(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解中.故原方程满足所给初始条件的特解为，即 .3、 恰当导数方程假如方程（4）的左端恰为某一函数对 x的导数，即(4)可化为则(4)称为恰当导数方程.这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为之后再设法求解这个方程.例4求解方程解：因为所以原方程可写成，故有，积分后得到通解为二、初等积分法小结1、分离变量法（一般类型）；（微分形式）（齐次方程）；（可化为齐次方程的方程）2、常数变易法（一阶线性微分方程）（伯努利方程）3、积分因子法（全微分方程法）4、 参数法类型 类型 5、 降阶法 不显含， 不显含x 恰当导数方程四、 作业与习题布置2，3，4，5，12五、归纳总结讲 稿 讲授内容备注1、 了解基本概念，掌握方程类型2、 熟练掌握分离变量法，常数变易法，全微分方程及积分因子解法，掌握参数法和降阶法3、 学业会把实际问题抽象为常微分方程的基本