12-5轴对称类全等问题(2).题库教师版.doc

轴对称类全等问题与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍， 【例1】 如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】西城区2006年抽样测试八年级（上）附加题，黄冈市数学竞赛试题【解析】，理由如下如图所示，在的延长线上截取，连接因为是的外角平分线，故在和中，公用，因此，从而在中，而，故 【例2】 如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，求证 【考点】轴对称类全等问题；中点及中心对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图所示，延长到，使，连接、因为，故，则因为，故因为，故因为，故因为平分，故在和中，故，从而，因此点评：实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想【例3】 如图，在中，是角平分线，垂足为求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图，延长交于于因为，所以于是因为，所以【例4】 已知等腰直角中，是角平分线，交延长线于点求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】延长、交于点因为，所以，所以因为等腰直角中，且，所以，所以因为是角平分线，且，是公共边，所以所以，即【例5】 如图，在直角中，平分交于，作交的延长线于，则BD与的大小关系是_ 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】填空【关键词】天津市数学竞赛题【解析】延长、相交于点 由图可知，故， 又，故，又，故，从而可知【答案】【例6】 在中，平分，为垂足，为的中点，求证： 【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形【例7】 如图所示，在中，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证 【考点】轴对称类全等问题；中点及中心对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰，之后再证明是的中位线即可如图所示，延长、相交于点，在和中，故，从而，而，故是的中位线，从而【例8】 如图，在中，的平分线交于，过作，垂足为，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】解法一：如图，延长、交于，而，平分，故，解法二：如图，延长、交于，过作，交于，则，解法三：如图，延长、交于，过作交于，故有，解法四：如图，取的中点，连接交于，则是斜边上的中线，故，有，故是的重心为的中线，故【例9】 在中，的平分线交于，过作，为垂足，求证： 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长交的延长线于，过作交于，容易证得，且为 之中点，故易得【例10】 如图，已知在中，求证： 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长交于，又，【例11】 是的角平分线，交的延长线于，交于求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2004年，山东省，中考【解析】略【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形延长交的延长线于点，易证得，所以为的中点，又，所以为的中位线，故这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件【例12】 如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且 【考点】轴对称类全等问题，中点及中心对称类问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图所示，延长到，使，连接 在和中，故，从而、三点共线，且是的中点，是的中位线，故，且【例13】 如图，内， ，分别在上，并且分别是，的平分线求证： 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2002年，全国初中竞赛【解析】略【答案】，又，延长到，使，又，又是的平分线，又，即 【例14】 如图所示，在中，平分，于，求证 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图所示，延长、相交于取的中点，连接，则，故，则容易证明，故因此【例15】 如图，中，、分别为两底角的外角平分线，于，于求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】，、是角平分线在与中，【例16】 在中，、分别是三角形的外角、的角平分线，垂足分别是、求证：， 【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长、相交于点，延长、相交于点，易证，且【例17】 在中，、分别是三角形的内角、的角平分线，垂足分别是、求证：，【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长、相交于点，延长、相交于点，易证，且【例18】 如图，在中，分别作两角的平分线，求证： 【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】1999年，镇江市竞赛【解析】略【答案】分别延长，交于 可证得，于是是的中位线，【例19】 在，是的平分线，过作的垂线交直线于点若，试求和的度数【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】北京市数学竞赛试题，分类讨论【解析】由于点在直线上，因而应分两种情况讨论计算：(1) 如图所示，过作的垂线交的延长线于点，延长到，使由题设平分知，注意到公用，则由角边角公理得，于是有又由知，从而在中，因此，(2) 如图所示，过作的垂线交的延长线于点，延长到，使由题设平分知，注意到公用，则，即有且又由知，从而于是在中，即有，即，【答案】，或，【例20】 如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？【考点】角平分线的性质和判定,轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】作，可推出，易证，【答案】【例21】 如图，平分，平分，点在上 探讨线段、和之间的等量关系 探讨线段与之间的位置关系【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】 ； 在线段上取点，使，连结在和中，而在和中，【例22】 如图所示，平行于，那么_【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】过做交于F，使，易证；则【答案】6【例23】 如图所示，在中，于，的角平分线交与，交于，平行于交于，则_【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】角平分线、直角过作垂直交于点，易证；由角度分析易知，即；则有；又可证，则，则【答案】4【例24】 如图所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，连接，证明：是直角三角形【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过做垂直于；由角的关系易得，即；易证；，；综合得到，得证【例25】 如图，在中，、分别是、的平分线，求证：【考点】三角形的中位线,轴对称类全等问题 【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图，作，交于，交于为等腰三角形，且平分为中点，且平分，且为等腰三角形，且为的中点又，且为中点，即可以发现四边形为矩形，于是【例26】 在的斜边上分别取两点、，使，为垂足，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】同一法【解析】【答案】解法一：如图，作的平分线交于，连接，公共，而，与重合，故解法二：如图，连接，而，又，故，解法三：如图，连接，即而，又，是等腰直角三角形【例27】 在直角三角形中，的平分线交于自作交于，交于自作于，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】解法一：如图，4点共圆，又，故解法二：如图，连接是的平分线，四边形是菱形解法三：如图，公共，是的中垂线，故解法四：如图，延长交于，连接，显然，又，4点共圆，为等腰梯形，为等腰三角形，而，【例28】 已知在中，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】解法一：如图，由向作垂线，垂足为，连接又，公共，又，故，而，为平行四边形，故又，而，故，而，解法二：如图，作，交于，又，而，故，又，即解法三：如图，过作，垂足为过作，垂足为又，又，而，故解法四：如图，延长到，使，连接，过作交于，显然，又，公共，显然为平行四边形，由另证1可知，故【例29】 如图，已知，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】解法一：如图，取的中点，连接、，公共，解法二：如图，延长到，使，公共，是等腰三角形底边上的中线，解法四：如图，取、的中点、，连接、，故，而，公共，是直角三角形【例30】 如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】解法一：如图，过作，交于，垂足为，连接，是的中垂线又，是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），解法二：如图，过作，而，故，【例31】 如图，在中，已知，若，则的大小为_（度）【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】年全国初中数学竞赛天津赛区初赛【解析】【答案】如图所示，将沿所在直线对折，使点落在点位置，得，与交于点因为，所以，由为的一个外角得故在中，所以，又为沿对折得到，有，而，则故则因为在中，故【例32】 如图所示，在中，、为的两条高，求证：.【考点】轴对称类全等问题【难度】5星【题型】解答【关键词】第3届英国数学奥林匹克竞赛试题【解析】【答案】法1：将改写为，可形成下面的思路：的平分线记为，作点关于的对称点，作点关于的对称点，过点作的垂线，因为，而，故.法2：我们用“分析法”寻求思路：.注意到，故.而由、.【例33】 已知点是四边形的边的中点，且,证明：.【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星【题型】解答【关键词】1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题【解析】【答案】显然，要证题设的不等式，应当把，三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段比较.要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，即，由此.再以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等边三角形，.由于两点之间以直线段为最短，所以，即.【例34】 设是凸四边形的边的中点，求证：.【考点】轴对称类全等问题 【难度】4星【题型】解答【关键词】2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题【解析】【答案】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，则，且，.而，则，故.【例35】 如图所示，在四边形中，求证：(1) ；(2) .【考点】轴对称类全等问题，勾股定理【难度】5星【题型】解答【关键词】1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题【解析】【答案】(1) 以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，且，.将平移到的位置，则由可知在的延长线上，且，因此是一个等腰梯形，所以，于是.(2) 由(1)可得，即，而由及勾股定理可得，故.【例36】 如图所示，已知在中，的平分线交于，求 之长【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】由于平分，因此这就提供了以为轴进行对称变换的可能性.取的中点，连接，交于，易知与关于对称，且.由于，所以延长至，使，连接交的延长线于点.显然和关于对称，且由于是的中位线，所以，因为，所以所以，于是【例37】 如图所示，在中，是边上的高，点在内部，求证：. 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接.因为，是边上的高，易得.因为，故.【例38】 在中，为内部一点，求的度数. 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】容易求得，.的对称轴为，作点关于的对称点，则，故为等边三角形，则平分，.故.【例39】 如图所示，在中，的平分线交于点，已知，且，求的各个内角【考点】轴对称类全等问题，公共边型的相似问题【难度】5星【题型】解答【关键词】2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题【解析】【答案】是角平分线提示我们可以进行“翻折”将点翻折到的位置，且在的延长线上，且，.延长至点，使，则，故，从而，则，故为等边三角形故，【例40】 如图所示，为边上的一点，且，已知，试求的度数.【考点】轴对称类全等问题【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】作出点关于直线的对称点，连接、，则，如图所示.取的中点，连接，则为等边三角形，故，又因为，故，故平分，故点到直线、等距，从而是的外角平分线，所以【例41】 如图所示，在四边形中，求四边形的面积.【考点】勾股定理，轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】直接计算四边形的面积有困难，注意到，我们以的垂直平分线为对称轴，作的关于的轴对称图形，从而可以将角度集中.，所以，因此，是直角三角形由勾股定理求得在中，而由勾股定理的逆定理可知.【答案】936【例42】 在凸四边形中，,.如果厘米，求四边形 的面积.【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】如图所示，以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形，则，故、共线又因为，由可知，而，故因此，是等腰直角三角形故【答案】【例43】 如图所示，在中，为三角形内一点，求证：.【考点】轴对称类全等问题【难度】5星【题型】解答【关键词】第24届澳大利亚数学奥林匹克竞赛试题【解析】【答案】由已知条件，考虑作直线于，并以为对称轴将翻折至的位置，连接由轴对称的性质有，因为，于是，即是正三角形，从而可得，.再由三内角之和为，即，整理后得【例44】 如图所示，在四边形中，求证：. 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】注意到，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出角.以为对称轴将翻折到的位置，连接.则，故为等边三角形.从而，等号成立时平分.【例45】 在等腰中，顶角，在边上取点，使，求.【考点】轴对称类全等问题，等边三角形的性质和及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】解法1：以为边向外作正，连接.在和中，则.由此可得，所以是等腰三角形.由于，则，从而，则.解法2：以为边在外作等边三角形，连接.在和中，因此，从而，.在和中，故，从而，故，因此.解法3：如图所示，以为边向内部作等边，连接、.在和中，故，而，进而有.则，故.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例46】 如图所示，在中，又在上，在上，且满足，求.【考点】轴对称类全等问题，等边三角形的性质和及判定【难度】6星【题型】解答【关键词】“勤奋杯”数学邀请赛试题【解析】略【答案】解法1：过作的平行线交于，连接交于.连接，易知、均为正三角形. 因为，所以，则，故.从而.进而有，.解法2：如图所示，在上取点，使得，由、可知.而，故，.在中，故，从而，进而可得.而，所以为等边三角形.在中，故，从而.我们已经得到，故是的外心，从而.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不