基于Markov过程的甘肃省人均GDP预测.doc

基于Markov过程的甘肃省人均GDP预测内容摘要：Markov过程本质上是随机过程，利用Markov过程进行预测是近年来应用较多的一种方法，该方法具有较好的预测效果。改革开放以来，甘肃省人均GDP差异显著，本文首先将甘肃省人均GDP划分为四种状态，然后使用Markov方法建立了分析模型，并利用此模型预测甘肃省地区人均GDP的未来变化趋势。关键词：人均GDP Markov模型 预测甘肃省地处青藏、内蒙古、黄土三大高原交汇处，是我国东中部地区和远西北地区连接的枢纽。全省地域辽阔，自然条件复杂多样，土地资源独具特色，具有经济发展的良好基础。改革开放以来，甘肃省经济得到快速发展，三个产业均稳步上升，全省的社会生产力、综合经济实力和人民的生活水平发生了历史性的变化。但与东部地区相比，经济发展仍然很落后，主要表现在两个方面：首先，国民经济整体发展水平较低，还处于工业化的初级阶段；其次，省内各地区经济发展显示出极大的不平衡性，这主要是因为整个地区市场化、工业化、城市化进程缓慢，经济发展阶段较低，自然地理条件和资源禀赋条件在很大程度上左右着区域经济发展。甘肃省现有5个省辖市、7个地区市和2个民族自治州，下辖8个地州辖市，11个市辖区，7个民族自治县和66个县。无论是从人均GDP、产业结构和经济外向度来看，这些地区的经济发展都反映出明显的差距。因此，从整体上把握甘肃省各地区经济发展，逐步消除地区经济发展差距，实现经济的均衡发展，是推动甘肃省整体经济发展的重要条件。马尔可夫过程是由前苏联数学家AAMarkov首先提出并进行深入研究的一类随机过程，至今已成为内容丰富、理论上相当完整、应用广泛的数学分支，其应用领域涉及计算机、通信、经济管理各个方面，都取得了很好的效果。本文将人均GDP数据的产生视为随机过程，利用Markov过程的基本理论，对甘肃省区域经济的人均GDP进行分析和预测。在论文的第一部分，根据一般经济理论划分了人均GDP的四种状态；第二部分建立了描述甘肃各地区人均GDP变化过程的Markov模型；第三部分对省内各地区人均GDP的变化趋势进行分析和经验预测。一、 人均GDP状态的划分要利用Markov模型分析人均GDP的变化趋势，前提是要对人均GDP的状态进行分类。一个国家和地区的经济发展水平，体现为国民财富的增加或国民经济生产总成果的增加。GDP（国内生产总值）是反应经济发展的优良指标，我们可以根据一国家或地区的GDP水平作为划分不同经济发展水平的标志。目前我国国家统计局提出利用12项指标来评价一个地区经济社会发展水平，其中人均GDP和恩格尔系数是两项核心指标。我们在本文的分析中，主要采取人均GDP这一指标，主要是因为GDP数据相对容易获得。而根据世界银行1990年世界发展报告中对121个国家（地区）排队分组，按照人均GDP将各国家（地区）分别划分为贫困、温饱、小康、富裕型四种类型。本文借鉴这一分组标准，同时考虑甘肃省经济发展的实际情况，将省内人均GDP划分为以下4种状态：1、 N1贫困（人均GDP2000元以下），2、 N2温饱（人均GDP20006000元），3、 N3小康（人均GDP200010000元），4、 N4富裕（人均GDP1000元以上）。二、 人均GDP的Markov模型（一）Markov模型基本要素在Markov分析模型中，基本要素包括随机变量的定义、状态的划分、状态转移矩阵中的概率值： Xt随机变量，表示在时间 t时人均GDP的状态, t单位时间（年），t=0，1，2, S状态集合，S=N1，N2，N3，N4，S集合中的元素为上文中划分的人均GDP的状态。在此，我们假设人类社会发展总是一个进步的过程，既是说贫穷地区最后总会发展为富裕地区。据此可得出在上文定义的四种状态中，贫困、温饱、小康属于非吸收状态，富裕是吸收状态，相应的可将状态矩阵划分为两大类：T=N1，N2，N3非吸收状态,A=N4吸收状态. 状态转移矩阵利用Markov过程来分析人均GDP的变化趋势，就是一个随时间改变的动态分析方法，用状态转移矩阵来表示各种状态每隔一年的转移情况。状态转移矩阵是利用Markov模型进行分析的关键要素，用矩阵P来表示：其中Pij表示当前处于Ni状态的地区，一年以后处于Nj状态的概率，同时满足以下性质：，并且，；，根据上面对状态性质的划分可以得到： 其中，I为单位矩阵。令，表示k时期处于各种人均GDP状态下的地区数，k=1,2,其中为初始时期处于各种状态下的地区数目。应用上的模型结构进行计算，便可得到最后的结果。首先，我们考虑第一种情况。当时的极限情况，可以通过以下步骤来计算得到：a 计算特征量（基本阵）b 计算矩阵c 计算结果D为初始时期处于人均GDP各种状态的地区最终转为富裕地区的数目。其次，计算k时期各地区经过状态转移之后最终达到的状态的计算。由于我们假设富裕状态为唯一的吸收状态。所以，不管状态转移矩阵如何，当时，所有的地区都将最终成为富裕地区。我们考虑k时期各种状态的地区数，可以根据k步转移矩阵得到，公式如下： （*）根据上面公式，可以得到经过任意k时间地区的状态数目。（二） 确定状态转移矩阵状态转移矩阵是利用Markov模型进行分析的关键所在，确定方法有很多种，一般而言可以通过收集有关信息，进行一些检测来确定转移的概率。在本文中，假设转移过程是近似均匀的，转移概率可以通过分析隔年各地区的统计数据的状态转化情况，求其平均数得出。因此，可以考察近几年的人均GDP的变化情况，取其平均数来作为一步转移矩阵，公式如下：由该公式，结合上文分析得出的（*）式，便可预测出一定时期之后各地区人均GDP的演变结果。三、 预测要分析省内各区域经济的不均衡发展，可以以地区一级的行政区域作为基本单位进行分析。按甘肃省的行政区域划分，共有14个地区级级别的行政单位。现在我们利用Markov模型分析甘肃省地区人均GDP的演变趋势，预测在一定时间后地区差距的变化情况。（一）数据为使后面更精确的计算一步转移矩阵，我们选取1991-2006年的人均GDP样本数据，各地区人均GDP值如表1所示。表1 甘肃省各地区1991年-2006年人均GDP（单位：元）兰州嘉峪关金昌白银天水武威张掖平凉酒泉庆阳定西陇南临夏甘南1991年2848462441841209778674140662920408134635514928491992年3280497046201431889781136670425779515146125179041993年4209977554011730122893716447853122107660467759710701994年5868100265839235914861499233014814136136388187686513021995年792111205667630311798191033421703499915791027106898715001996年8360108207631335920992250415221446064184111091156111716841997年8701123507330355018812596438522856622196611331249113017791998年8993112256828380321972830468824916953199512531322110619081999年9462115887002414022133092468226587292211413681417156119182000年10545112287751447123733330509627887662226814761519142721012001年11828128218794485225673668544630098961246916071626160323022002年13050142809858544928414056596232769883314517601759177125222003年1463218337117526025312546636564361811042349918851927193427782004年1654224743184687222360855947793432112581421921092339219532342005年1829644674249508395418973228651491514937558223942729289338682006年2041950933327851006247388531997257421762668302755342131994428在分析过程中，把每年各地区的人均GDP情况，看成是一个封闭系统，各地区人均GDP在1991年至2006年间的变化所产生的时间序列可看成是一个Markov过程。通过计算每年地区人均GDP的情况及其状态变化来确定一步转移矩阵，然后用该状态转移矩阵来预测人均GDP的变化趋势。按上文对人均GDP状态的划分，可以分别得出每年处于各状态的地区数目，经过统计可以得到表2。表2 1991-2006年处于不同状态人均GDP的地区数年份2000元以下2000-6000元6000-10000元10000元以上1991104001992104001993931119948501199583211996553119976431199855311999463120003722200137222002372220033524200408242005073420060635（二） 一步转移矩阵用同样的方法，可分别计算出每两年间的一步状态转移矩阵。为节省篇幅，下面只给出1992年至1993年及2005年至2006年的一步转移矩阵，其他均省略。计算出了每年的状态转移矩阵，求其平均便可得到我们最后所需要的一步状态转移矩阵。由于我们假设只有富裕一个吸收状态，所有状态最终都将转化为富裕状态。从表2中可以看出到2004年，甘肃省已经不存在贫困状态，因此对平均以后的状态矩阵第一行进行调整，可得到（三） 实证分析根据上文中计算得到的公式：，我们在进行预测之前还必须确定矩阵D。矩阵 D是用来预测一定时期以后的地区人均GDP趋势所用到的初始状态，须具有很强的代表性，同时又必须体现出进步的发展趋势。我们选取2004年地区人均GDP的状态数作为初始状态。令为k时期各种状态下人均GDP的数量，由初始状态D经过k步转移得到，公式可表示为：1、2010年甘肃省地区人均GDP的Markov分析计算结果显示到2010年，甘肃省人均GDP处于N2状态的比例约为29.21%，处于N3状态、N4状态的比例分别为20.14%、50.65%。与2004年相比，处于温饱状态的地区大大减少，减少比例达到48.89%，而处于小康水平的数量变化不是很大，但富裕地区数目增加较多，增加比例达到77.28%，约一半的地区达到富裕状态。2、 2020年甘肃省地区人均GDP的Markov分析2020年是我国“十三五”计划的完成时间，从预测的结果看，大部分地区都已经达到富裕状态，处于温饱状态和小康状态的地区数目大致相等，大约占总数的2.4%。本文应用了Markov模型预测了2010年与2020年甘肃省人均GDP的变化趋势，预测结果基本与经济发展趋势相符，可以作为政府制定区域经济发展政策的参考。从以上分析我们还可以发现，甘肃省区域经济发展不平衡极为明显，各地区人均GDP相差悬殊，尤其是以定西、甘南、陇南、临夏为代表的几个地区经济发展相对落后，而河西走廊地区经济发展水平较高，因此要实现省内区域经济的协调发展，必须实施科学的区域经济发展战略，加强区域间的分工与合作，缩小区域经济差异，提高整