复变函数与解析函数.ppt

第二讲复变函数与解析函数 1 复变函数的定义2 映射的概念3 反函数或逆映射 5复变函数 1 复变函数的定义 与实变函数定义相类似 例1 例2 在几何上 w f z 可以看作 定义域 函数值集合 2 映射的概念 复变函数的几何意义 以下不再区分函数与映射 变换 在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u v与x y之间的对应关系 以便在研究和理解复变函数问题时 可借助于几何直观 复变函数的几何意义是一个映射 变换 例3 解 关于实轴对称的一个映射 见图1 1 1 2 旋转变换 映射 见图2 例4 解 图1 1 图1 2 图2 例5 3 反函数或逆映射 例设z w2则称为z w2的反函数或逆映射 为多值函数 2支 定义设w f z 的定义集合为G 函数值集合为G 例已知映射w z3 求区域0 argz 在平面w上的象 例 1 函数的极限2 运算性质3 函数的连续性 6复变函数的极限与连续性 1 函数的极限 几何意义 当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时 它的象点f z 就落入A的一个预先给定的 邻域中 1 意义中的方式是任意的 与一元实变函数相比较要求更高 2 A是复数 2 运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系 定理1 3 若f z 在处有极限 其极限是唯一的 例1 例2 例3 3 函数的连续性 定义 定理3 例4证明f z argz在原点及负实轴上不连续 证明 定理4连续函数的和 差 积 商 分母不为0 仍为连续函数 连续函数的复合函数仍为连续函数 有界性 第二章解析函数 第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数 1 复变函数的导数定义2 解析函数的概念 2 1解析函数的概念 一 复变函数的导数 1 导数定义 如果w f z 在区域D内处处可导 则称f z 在区域D内可导 1 z 0是在平面区域上以任意方式趋于零 2 z x iy z x i y f f z z f z 例1 2 求导公式与法则 常数的导数c a ib 0 zn nzn 1 n是自然数 证明对于复平面上任意一点z0 有 实函数中求导法则的推广 设函数f z g z 均可导 则 f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z 复合函数的导数 f g z f w g z 其中w g z 反函数的导数 其中 w f z 与z w 互为单值的反函数 且 w 0 思考题 例3问 函数f z x 2yi是否可导 例2 解 解 例4证明f z zRez只在z 0处才可导 证明 1 复变函数在一点处可导 要比实函数在一点处可导要求高得多 也复杂得多 这是因为 z 0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故 2 在高等数学中要举出一个处处连续 但处处不可导的例题是很困难的 但在复变函数中 却轻而易举 3 可导与连续 若w f z 在点z0处可导w f z 点z0处连续 二 解析函数的概念 例如 1 w z2在整个复平面处处可导 故是整个复平面上的解析函数 2 w 1 z 除去z 0点外 是整个复平面上的解析函数 3 w zRez在整个复平面上处处不解析 见例4 定理1设w f z 及w g z 是区域D内的解析函数 则f z g z f z g z 及f z g z g z 0时 均是D内的解析函数 定理2设w f h 在h平面上的区域G内解析