二元一次不等式 线性规划.ppt

第三节二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 1 从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 3 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 一 二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 在平面直角坐标系中 直线Ax By C 0将平面内的所有点分成三类 一类在直线Ax By C 0上 另两类分居直线Ax By C 0的两侧 其中一侧半平面的点的坐标满足Ax By C 0 另一侧的半平面的点的坐标满足 Ax By C 0 2 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧的 且不含边界 直线作图时边界直线画成 当我们在坐标系中画不等式Ax By C 0所表示的平面区域时 此区域应包括边界直线 此时边界直线画成 平面区域 虚线 实线 3 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的 因而是各个不等式所表示平面区域 交集 公共部分 二 线性规划中的基本概念 不等式 组 一次 解析式 一次 x y 集合 最大值 最小值 最大值 最小值 可行解与最优解有何关系 最优解是否唯一 提示 最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 有时唯一 有时有多个 1 2011 揭阳模拟 已知函数f x x2 5x 4 则不等式组表示的平面区域为 答案 C 2 满足条件的可行域中共有整点的个数为 A 3B 4C 5D 6 解析 画出可行域 由可行域知有4个整点 分别是 0 0 0 1 1 1 2 2 答案 B 3 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料3吨 B原料2吨 生产每吨乙产品要用A原料1吨 B原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨 B原料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12万元B 20万元C 25万元D 27万元 解析 设生产甲产品x吨 生产乙产品y吨 则有关系 当x 3 y 5时可获得最大利润为27万元 故选D 则有 目标函数z 5x 3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 答案 D 4 2011 南通模拟 若实数x y满足则s x y的最大值为 答案 9 5 设变量x y满足约束条件 则求目标函数z 2x 3y的最小值 解析 画出不等式表示的可行域 如下图 让目标函数表示直线y 2x3 z3在可行域上平移 知在点B处目标函数取到最小值 解方程组x y 32x y 3得 2 1 所以zmin 4 3 7 二元一次不等式 组 表示平面区域的判断方法 1 直线定界 特殊点定域注意不等式中不等号有无等号 无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 若直线不过原点 特殊点常选取原点 若直线过原点 则特殊点常选取 1 0 或 0 1 来验证 2 同号上 异号下即当B Ax By C 0时 区域为直线Ax By C 0的上方 当B Ax By C 0时 区域为直线Ax By C 0的下方 二元一次不等式 组 表示平面区域 A B C D 思路点拨 作出不等式组表示的平面区域判断其形状求面积得k值 解析 不等式组表示的平面区域如图 所示阴影部分 ABC 由得A 1 1 又B 0 4 C 0 S ABC 设y kx 与3x y 4的交点为D 则由S BCD S ABC 知xD yD k k 故选A 答案 A 发散思维 求平面区域的面积 均要先判断该区域的形状 这是解题的关键 1 若A为不等式组表示的平面区域 则当a从 2连续变化到1时 动直线x y a扫过A中的那部分区域的面积为 解析 如图所示 区域A表示的平面区域为 OBC内部及其边界组成的图形 当a从 2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域 S四边形ODEC S OBC S BDE 2 答案 求目标函数的最值 由线性约束条件可以画出可行域 在求线性目标函数z Ax By的最值时 若B 0时 则把直线l0 Ax By 0平移到经过可行域的最上边界点时 z取最大值 把直线l0 Ax By 0平移到经过可行域的最下边界点时 z取最小值 当B 0时 情况恰好相反 求目标函数的最值 思路点拨 画出不等式组表示的平面区域 再利用图象求x y的最大值 答案 A 解析 令z x y 则y x z z表示过可行域内点斜率为 1的直线在y轴上的截距 由图可知当向上平移l0使它过A 4 5 时 zmax 9 发散思维 1 画可行域时 直线定界 特殊点定域 2 寻找目标函数的最值时 应先指明它的几何意义 这样才能找到相应的最值 答案 C 1 能建立线性规划的实际问题的类型 1 给定一定数量的人力 物力资源 问怎样运用这些资源 使完成的任务量最大 收到的效益最大 2 给定一项任务 问怎样统筹安排 使完成这项任务耗费的人力 物力资源量最小 线性规划的实际应用 2 解线性规划应用问题的步骤 1 设出决策变量 找出约束条件和线性目标函数 2 利用图象在线性约束条件下找出决策变量 使目标函数达到最大或最小 特点警示 1 用图解法解答线性规划应用题时应注意仔细审题 对关键部分进行 精读 准确理解题意 明确有哪些限制条件 探求的目标如何 起关键作用的变量有哪些 由于线性规划应用题中的量较多 为了理顺题目中量与量之间的关系 一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系 2 要注意结合实际问题 确定未知数x y等是否有限制 2010 广东高考 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐 思路点拨 建立目标函数 列出约束条件 画出可行域 求目标函数的最值 解析 设该儿童分别预定x y个单位的午餐和晚餐 共需z元 则z 2 5x 4y 可行域为 即作出可行域如图 由解得所以 当x 4 y 3时 花费最少 为zmin 2 5 4 4 3 22元 答 应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐 发散思维 线性规划的应用问题 应从目标函数入手 列出约束条件 再根据约束条件画出可行域 这样思路更清晰 3 某公司有60万元资金 计划投资甲 乙两个项目 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍 且对每个项目的投资不能低于5万元 对项目甲每投资1万元可获得0 4万元的利润 对项目乙每投资1万元可获得0 6万元的利润 该公司正确规划投资后 在这两个项目上共可获得的最大利润为 A 36万元B 31 2万元C 30 4万元D