1-1-向量的概念.doc

向量的概念及运算（第一课时）学习目标1. 理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；2. 能正确地表示向量，初步学会求向量的模；3. 理解零向量、相等向量、负向量和平行向量的概念并会辨认图形中的相关向量4. 掌握向量的加法的平行四边形法则和三角形法则。重点难点向量的有关概念、平行向量，向量加法的运算法则教学过程一、引入向量在足球场上，中场球员A将足球传给前锋B，让B射门，如图，这时足球的位移是一个既有大小又有方向的量，它的方向是由A到B的方向，它的大小是A、B间的距离。飞机在飞行途中飞机所受的力有升力、重力、推进力和阻力，它们都是既有大小又有方向的量。二、新授内容1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。向量的几何意义是有向线段（如图），向量的大小是线段的长，向量的方向是箭头的方向。练习：下列各种量中，哪些是向量，哪些是标量（即数量）A（起点）B（终点）（1）密度（2）体积（3）位移（4）加速度（5）重力（6）功（7）电阻（8）风速（9）比热 解：（3）（4）（5）（8）请你再各写出3个向量和标量（I）向量的表示方法：向量可以用小写字母上面加箭头表示，如（读作“向量a”）也可以用向量的起点和终点的字母上面加箭头表示，如（读作“向量AB”）（II）向量的模：向量（或）的大小称为向量的模，记作（或）。说明： 向量模的非负性。思考：向量的模可以比较大小，那么向量是否可以比较大小？ABCD2、向量之间的关系 ：（I）相等向量：模相等且方向相同的向量。说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）向量的平移性质：向量经过平移后，大小、方向都不会改变，所以平移后的向量与原向量相等，如图：经过平移得到，即。（II）负向量：模相等且方向相反。如与互为负向量，记作，上图中。 注意负向量与相等的向量的区别。（III）零向量：模为0的向量（始点与终点重合），记作。说明（1），方向是任意的。（2）与0的区别。（3）所有的零向量相等，零向量的负向量也是零向量。（IV）单位向量：模为1的向量叫单位向量。（V）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作。规定与任一向量平行。说明：（1）若，则；反之不成立。（2）若，则。思考：若且，则与是否相等？例1. 如图表示平面上的六个平行四边形（1）问图中哪些向量分别与相等；（2）找出图中向量的负向量；（3）找出图中向量的平行向量。 解：略例2. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。向量与是平行向量，则A、B、C、D四点不可能在一直线上；（）可以共线任一向量与它的负向量不相等； （）若，则； （）若，则或。 （）例3. 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点.OABC（1）作出向量、（2）求的模。 解：略3、向量的加法：（I）向量的加法法则：平行四边形法则：两共始点的向量相加。三角形法则： 两首尾相接的向量相加。OAC推广：。ABDEFOC说明：（1）两非共始点的、非首尾相接的向量相加可以通过平移。（2）两平行的向量相加可以通过首尾相接的方法。（3）；。（II）向量加法的运算律交换律：结合律：图证略例4. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是中心，用图中的一个向量表示以下向量的和：1）=_； 2）=_；3）=_；4）=_。 解：略课堂小结向量的有关概念、向量加法的运算法则课后反馈1 下列各量中不是向量的是（ ）A.浮力B.风速 C.位移 D.温度2 下列说法中错误的是（ ）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量的起点与重点重合 D.零向量的方向是任意的3 判断下列4个命题的真命题是（ ）A.长度相等的向量都相等 B.若，则C.平行四边形ABCD中， D.若，则4 两个非零向量平行是这两个非零向量相等的_条件；设和为非零向量，则且是的_条件。5 ABC中，已知，若，则_。6 设A、B、C是三个点，则_。7 如果，则的最大值是_，最小值是_。8 如图，设是正六边形的中心，（1）分别写出图中与向量，相等的向量。（2）分别写出图中与向量，相反的向量。（3）分别写出图中与向量，平行的向量。（4）分别写出图中与向量，模相等的向量。9 已知D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点（1）写出图中与向量相等的向量（2）写出图中向量的负向量（3）问图中与向量平行的非零向量共有几个？10 在单位长为1的23方格纸中，起点和终点都在小方格顶点且模为的向量共有几个？11 用图中所示的向量，表示下列各题中向量的和：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_。12 四边形ABCD为边长是1的正方形，求（1）； （2）。向量的概念及运算（第二课时）学习目标1、 理解和掌握向量减法的运算法则和几何意义。2、 掌握实数与向量的乘积运算。3、 体验数形结合思想，掌握向量的简单运用。重点难点向量加减法的运算法则、数乘运算的意义。教学过程一、课前小练：1.等腰梯形ABCD中，E是AB中点，|，|，与相等的向量有_；的负向量有_；_；_；_。解：；。2. 判断下列命题是否正确：1) 对向量，总有； （）2) 如果互为负向量，则； （）3) 非零向量满足，则； （）4) “”是A、B、C三点能构成三角形”的充要条件。 （）二、新授内容概念引入1、向量的减法与实数的减法类似，把向量的减法定义为加法的逆运算；即：若，则叫做的差，记作。说明：（1）共始点的两个向量相减，差为终点的连线（平行四边形的另一条对角线），指向被减向量，属平行四边形法则。（2）也可以看做是。（3）平行向量的相减与加法的图解法类似。（4）的几何意义，（等号成立的条件）。练习：非零向量满足，求。 解：ABCD例1如图，已知四边形ABCD是平行四边形，ABCD求（1）；（2）。解：（1）；（2）。例2用图中所示的向量表示下列向量：（1）；（2）；（3）。解：（1）；（2）；（3）。2、实数与向量的乘积：一般地，实数与非零向量的乘积是一个向量，记作。的模和方向规定如下：（1）模：；（2）方向：当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，为零向量。思考：与有何关系，为什么？ （）说明（1）两个非零向量与平行的充要条件是：存在非零实数，使。（2）规定。（3）实数与向量乘积具有的运算律：设，则（1）； （2）； （3）。3、的单位向量：对于任意的非零向量，与它同方向的单位向量叫做的单位向量，记作（）。由实数与向量的向量的乘积，可知，即。例3在中，已知M、N分别是AB、AC的中点，用向量的方法证明：证明：设，则，则，所以，则。BACDE例4如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上的点，且BE=2BC，试根据下列要求表示向量：（1）用表示；（2）用表示。解：；。课堂小结向量加减法的运算法