二阶全矩阵空间上的极小秩保持问题.doc

本科学生毕业论文二阶全矩阵空间上的极小秩保持问题黑 龙 江 工 程 学 院二一年六月The Graduation Thesis for Bachelors DegreePreserving Minimal Rank on 22 Full Matrix Spaces黑龙江工程学院本科生毕业论文摘 要在数学的各学科领域中，研究各种不变量以及不变量保持的映射和变换是一个十分活跃的课题。刻画矩阵集之间保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的线性算子的问题被称为线性保持问题。本文主要是在特征不为2的域上，刻画并证明了二阶全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的形式。论文的主要工作有以下几方面：1、介绍线性保持问题的研究背景、分类、常用解决方法及相关领域已取得的成果，还有极小秩保持问题的研究现状。2、介绍了极小秩保持问题中所要用到的一些基础知识，为第三章定理的证明做准备。其中包括集合、映射、群、环、域、极小秩等概念，以及特征不为2的域上，时,全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的证明。3、在特征不为2的域上，时,全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的证明基础上，利用高等代数的知识，刻画并证明了二阶全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的形式，这也是本文的主要内容。关键词：线性保持；极小秩；线性算子；数域；特征ABSTRACTIn the areas of every mathematic subject, it is a very active topic to study all kinds of invariant and invariant maintain the mapping and transformation. The problems to characterize the linear operators which preserve certain functions, subsets, relations or transformations invariants between matrix sets are called “Linear Preserver Problems”. The thesis characterize and prove the second full matrix space maintain the minimal of its own rank in the form of linear operator over the field of characteristic not 2.This paper includes:1.Introduce the problem of linear maintain and the study background,classification,common solutions and the related field has been achieved.and the status of the maintain minimal rank.2.Introduce the maintain problem in the minimal rank to use some of the basics.prepair for proving the theorem in the chapter 3.including sets, transformations,group-s, rings,fields and the concept of minimal rank.The proof of full matrix space to maintain the minimal rank of its own operator when over the field of characteristic not 2 is given.3.On the basis of the proof of full matrix space to maintain the minimal rank of its own operator when over the field of characteristic not 2,using the knowledge of the advanced algebra, we characterize and prove the second full matrix space to maintain the minimal of its own rank in the form of linear operator.this is the main content of the thesis. Key words: Linear preserver ; Minimal rank; Linear operator; Several domain; Characteristic36黑龙江工程学院本科生毕业论文目 录摘 要IABSTRACTII第1章 绪 论11.1 课题背景与发展概况11.1.1 线性保持问题的背景11.1.2 线性保持问题的四个主要类型21.1.3 线性保持问题的两个解决方法41.1.4 加法保持问题的四个主要类型61.2极小秩保持问题的研究现状71.3本论文的主要研究工作和文章结构11第2章 引言与预备知识122.1 引言122.2 预备知识122.3 本章小结19第3章 二阶全矩阵空间上保持极小秩的线性变换213.1 引言213.2 符号说明213.3 二阶全矩阵空间概述213.4 证明思路233.5 主要结论233.6 本章小结24结 论25参考文献26致 谢28附 录29黑龙江工程学院本科生毕业论文第1章 绪 论1.1 课题背景与发展概况1.1.1 线性保持问题的背景研究各种不变量以及不变量保持的映射和变换历来是数学各学科领域关注的问题。在矩阵论中，人们对矩阵集之间保不变量的算子很感兴趣，称其为保持问题。线性保持问题是其中一个比较热门的研究领域，其中包括线性保持问题，加法保持问题，乘法保持问题等。因为保持问题在众多领域有着广泛的应用背景，所以近些年这类问题的研究也十分活跃，国内外许多学者做了大量的研究工作，取得了大量成果。而其中主要分为两大类：线性保持问题和加法保持问题。那么下面让我们来认识一下什么是线性保持问题：设是一个代数系统(域，体，一般交换环等)，,记上的矩阵加法半群，他们常被取作所有矩阵的集合，所有对称矩阵的集合，所有交错矩阵的集合,所有Hermitian矩阵的集合，所有上三角矩阵的集合等。如果一个映射:满足如下的条件（1）和（2），则称是线性映射或线性算子。（1） ；（2） .特别地，当时，称为线性变换。刻画了从到的保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的线性映射的结构问题称为线性保持问题，简记为LPP（Linear Preserver Problems）。最近，一些学者已开始研究比“线性保持问题” 更加广泛的“加法保持问题”，即在上述定义中取，为加法子群，并将条件（2）去掉，则称为加法保持问题。而，经常被取作所有全矩阵空间的集合、所有对称矩阵空间的集合、所有上三角矩阵空间的集合等。有关于线性保持问题的研究最早始于1897年Frobenius给出的保行列式的线性变换的刻画1和Kantor的2。到了二十世纪六十年代美国矩阵论专家Marcus研究了秩1保持这一核心问题之后，成果才大批出现3, 4。特别是近三十年，线性保持问题已成为国际上矩阵论中的热门课题之一。这一方面是因为它的理论价值；另一方面是因为它许多问题在微分方程、系统控制、数理统计等领域有着广泛的应用背景。1989年曹重光在黑龙江大学自然科学学报上发表了“局部矩阵环上矩阵模的保幂等自同态”一文5，在国内引发了对线性保持问题的研究，这些年来涌现出了一大批成果。1.1.2 线性保持问题的四个主要类型1992年，Li在文献2中将线性保持问题概括为以下四个主要类型：类型1:保持函数设是上的(纯量值，向量值或集值)函数，上的线性算子满足例如当时，Frobenius分别解决了,以及时的情形，其中是复数域，记矩阵的行列式，记矩阵的迹。当时，Minc解决了的情形，其中是任意的代数封闭域：刘绍武和王路群将Minc的结果推广到含1的交换环；Wong也在非交换环上解决了这个问题；刘绍武等和曹重光分别解决了对称矩阵空间和三角矩阵空间的情形；Beasley,Pullman和Gregory解决了当是某些半环的情形。当时，参见Liu6的第七章，其中记的谱。类型2:保持子集设,上的线性算子满足。例如，当时，Chan等首先解决了的情形，其中表示实数域。曹重光和王路群等先后将Chan等的结果分别推广到特征不为2的局部环和含1的交换环。Beasley和Pullman在元素个数大于2的任何域上研究了这个问题，并提出了两个Open问题，曹重光和张显等解决了其中一个，后来刘绍武将这两个问题在更广泛的主理想整环上同时解决。曹重光和刘绍武等也先后在体上解决了这个问题。关于类型2的一个变形是：设且,上的线性算子满足。关于这类问题也取得了一些成果7。类型3:保持关系设是上的一个关系，的上的线性算子满足对任何的时成立或当且仅当。例如，当取作可交换时，即若，则Pierce和Watkins刻画了任意域上保交换的非退化线性算子，之后Choi等又去掉非退化的条件进行研究，另外，Chan和Lim也研究了实对称矩阵空间上保交换的线性算子。当取作时，其中表示的Moore-Penrose逆，曹重光8在特征不为2及3的域上解决了这个问题，之后曹重光和张显等又分别解决了特征29及特征310的域的情形；关于实四元数体上的这个问题也被曹重光解决。类似地，当取作时，其中表示的群逆，也有这方面的研究文献出现。另外，张显和曹重光也在一些非负半环上研究了保持某种关系的LPP。对于类型3的一个变形是：设上的两个线性算子和满足对任何的时成立或当且仅当。例如:张显和杨忠鹏等的研究11, 12。类型4:保持变换给定一个变换：，上的线性算子满足例如，Chan等分别考虑了及的LPP，其中是某个固定的正整数，是的伴随矩阵。1.1.3 线性保持问题的两个解决方法LPP已分成不同的研究领域，而在现有的问题上改变基本的矩阵空间或某些限制条件，则很容易产生新的LPP,所以每个问题都有不同的变化。不同的LPP需要不同的方法和技巧去解决，这就导致了解决 LPP的方法和技巧的多样化。例如，历史上人们曾应用过算子理论、组合学、图解理论、抽象代数、乘积代数等数学工具处理过不同的LPP。尽管解决LPP的方法多种多样，但也存在着一些处理类似问题的统一方法。一个很好的例子就是13中的方法，他们用投影几何的方法解决了两个无关的LPP,即刻划了上交换性保持和数值域保持。另外的例子是Botta的几篇文章14,15，他用代数几何的结果证明了很多LPP。方法1：对偶方法此方法的思想就是除了研究之外还研究的对偶交换，见16此方法主要用于研究线性等距的问题。注意到线性算子若保持上的某些范数，当且仅当它的对偶变换也保持对应的范数，虽然所研究的范数或单位范数球面可能是很复杂的，但可能其对偶范数或对偶范数球面却拥有简单的结构，因此可以较容易地刻划其对偶变换，并因此而确定的结构。在解决这样的问题时,文献17中给出的下面的命题是十分有用的。命题 令是上线性算子，则下列条件彼此等价：（1） 保持谱模；（2） 把可逆矩阵集映到其本身；（3） 保持迹函数；（4） 把奇异值为1, 0,，0的矩阵集映到其本身；（5） 满足: 或 其中可逆；（6） 满足: 或 其中可逆。应用此方法的例子还可参阅18。方法2：微分几何方法设是上的等价关系，对任意，令为基于的等价类，即。文献19中给出的下面命题十分重要。命题 设是上的满足，的线性算子，令为的等价类的切空间，则（1） 且（2） 若非退化 则应用此方法的例子还可参阅20,21。最后应该指出的是：对于在不同的矩阵空间上相同的LPP而言，它们的结果看起来十分相似，但问题的难易程度及其证明方法可能是非常不同的。例如，从22, 23可看出全矩阵空间上幂等保持的LPP当域的特征为2时的证明要比特征不为2时难的多，并且二元域的情形至今仍是一个Open问题,而三角矩阵空间上幂等保持的LPP须对算子加可逆的限制，否则情况太复杂，甚至对称矩阵空间上幂等保持的LPP需加更强的条件。加法保持问题显然是LPP的推广，但是由于不能应用线性空间的理论及系数交换的性质，使得这类问题的难度和技巧性大大增加。不过值得注意的是，对于特殊的系数，根据其加法的特性，还是可以交换的。设是一个代数结构，记上的矩阵加法半群，是一个从到的加法映射，由其定义易见：（1） 若k是自然数，则（2） 若自然数满足对任意的成立，则（3） 若自然数满足且对任意成立，则（4） 若自然数满足且对任意的成立，则1.1.4 加法保持问题的四个主要类型由于加法保持问题的研究起步较晚，和LPP相比较来讲结果还比较少，但在四种类型上也各有研究，下面就对加法保持问题的四种类型的研究现状进行一下简要的说明。类型1:保持函数例如，当或时的情形均依赖接下来要描述的类型2中保秩1的问题得以解决。类型2:保持子集由于上面的类型1因为欠缺这一类型而无法得到完整解决，还请仔细阅读以下内容。例如，当时，Omladic和Semrl首先解决了的情形，其中表示复数域。随后，Bell和Sourour描述了的情形，其中表示一般域。2003年，Cao和Zhang又说明了的情形，其中是特征不为2也不为3的域，2005年，Tang做出了时的结果，这里是复数域。当时，Cao等作出了和时的结果，这里是特征不为2的域。类型3:保持关系例如，当取作时，表示的Moore-Penrose逆，张显，曹重光等在特征不为2的域上解决了这个问题。此外还有，对于由定义的关系(这是一种偏序关系)，You和Tang在对称矩阵空间和交错矩阵空间上刻画了保持这种关系的加法映射。类型4:保持变换例如，Tang等研究了当，及时的情形，这里是的伴随矩阵。与LPP类似，对于在不同的矩阵空间上相同的加法保持问题而言，它们的结果可能是相似的，但问题的难易程度和其证明方法或许是非常不同的。例如，早在1996年曹重光和张显就作出了域的特征不为2时，其上的全矩阵空间保幂等的加法映射，但当域的特征为2时，至今仍是一个Open问题。在本小节中，主要介绍了线性保持问题的基本概念，发展历程，以及线性保持问题、加法保持问题的四个基本类型。1.2极小秩保持问题的研究现状1999年，Wasin So在文献24中刻画了特征为0的代数闭域上保持极小秩的线性算子，即为如下定理。定理1.2.124 时，若是上保持极小秩的线性变换,则存在矩阵，使得或者 其中，是上的线性函数。2006年张志旭等25证明了对于一般数域，上述结论仍成立。在定理的证明过程中他刻画了上保持极小秩的线性算子。因为极小秩在平移、数乘、转置及相似条件下市不变的，所以一下两个线性算子显然是保持极小秩的：， （1）或， （2）其中是一非零常数，且可逆，是一线性函数。自然联想到这一结论的逆是否正确。即如果是上的保持极小秩的线性算子，则是否可以表示成（1）或（2）的形式呢？时，经论证这一结论是正确的。具体的证明过程由定理给出。定理 1.2.225 当时，若是上的一个线性算子，且保持极小秩，则可以表示为（1）或（2）的形式。证明 假设是一个秩1阵。根据性质，有.因此设，其中，特别地，.现定义一个线性函数，.定义一个线性算子，则有.即.同时 即 .这样在一般数域上的推广，可知保持秩1阵。因此可以有如下四种形式中的一种：（1） ， 且可逆.（2） ， 且可逆.（3） ， ，其中，使得任意秩阵均可由线性表出.（4）， ，其中，使得任意可逆阵均可由线性表出。若为（3）或（4）的形式，则.所以若，则.这与保持极小秩矛盾。所以，且可逆或，且可逆.又保持极小秩为零的阵，则，且，所以，。因此，且可逆.或 ，且可逆.所以.或.其中，且可逆.下面假设为极小秩为的矩阵的集合。则由定理的证明可以得到下面的推论：推论 1.2.125 当时，若是上的一线性算子，且满足，则可以表示为（1）或（2）的形式。在上述结论的证明中，文献24利用了代数闭域这个条件并假设域的特征为 0，文献25虽然去掉了代数闭域这个条件但仍局限在数域上讨论，而数域的特征为0。2007年，陈嘉佳和谭宜家26去掉了这两个条件并证明对于特征不为2的任意域(注：这里 不一定是数域)，上述结论仍成立。这里因为第二章也介绍了一些关于他们的结论，所以这里就不给出他们结论的完整证明，只给出结论部分以方便说明问题。定理 1.2.326 设域满足,为矩阵空间中保持极小秩的线性算子,则可表为: 或其中,为中的可逆矩阵,是上的线性函数。证明： 设是秩为1的阶矩阵,则。因此,即,其中,且。所以由知, ,其中,且.,定义,则不难证明,是上的线性函数。再设,则是上的线性算子。并且因此,.又因为.所以,。由引理4,为到的保秩1的线性算子。于是由引理1知,存在可逆矩阵,使得满足如下4种情况之一:（1）；（2）；（3）,其中:为线性算子,满足,当时,都有；（4）,其中:为线性算子,满足,当时,都有.若满足情况（3）,那么,由知,.但此时,或.当时, ,此时,；当时,因此, ,或1,这与保极小秩矛盾。同理可证,为（4）这种情况也是不可能的。所以,必为形式1)或2),即或.又因为,所以,从而存在,使得.另一方面,由知, ,这样.所以,即或.则或,证明完毕。1.3本论文的主要研究工作和文章结构本文主要是利用高等代数的知识，在特征不为2的域上，刻画并证明二阶全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的形式。第1章,绪论。介绍线性保持问题的研究背景、分类、常用解决方法及相关领域已取得的成果，还有极小秩保持问题的研究现状。第2章，引言与预备知识。介绍了极小秩保持问题中所要用到的一些基础知识，为第3章定理的证明做准备。其中包括集合、映射、群、环、域、极小秩等概念，以及特征不为2的域上，时,全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的证明。第3章，二阶全矩阵空间上保持极小秩的线性变换。在特征不为2的域上，利用高等代数的知识，刻画并证明二阶全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的形式，这也是本文的主要内容。第2章 引言与预备知识2.1 引言 极小秩是建筑、工程、控制等方面重要的不变量之一。对于矩阵，它的极小秩与其非平凡不变多项式的个数之间满足关系，其中表示的非平凡不变多项式的个数，所以方阵平凡不变多项式的个数等于极小秩。因此研究保持平凡不变多项式的个数、非平凡不变多项式的个数、极小秩的变换是等价的。 本章主要介绍极小秩保持问题中所要用到的一些基础知识。其中包括集合、映射、群、环、域、极小秩等概念，以及特征不为2的域上，时,全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的证明过程。2.2 预备知识 定义2.2.127 集合是指一类研究对象的全体，组成集合的对象个体成为集合的元素。表示属于集合，表示不是集合的元素，集合常用举例法或性质表示法标出。 不含任何元素的集合称为空集合，记为，若两个集合与含有相同的元素，称为两个集合相等，记为。若集合的元素全是集合的元素，则称为的子集合，记为。若集合与同时满足与，则。 设与是两个集合，既属于又属于的全体元素的集合称为与的交，记为。属于或属于的全体元素所成集合称为与的并，记为。 定义2.2.227 设与是两个集合，若对中的每一个元素，按照某一法则都有中一个确定的元素与之对应，则称为集合到的一个映射。若映射使元素与元素对应，就记为，称为在映射下的像，称为的一个原像。 集合到集合的两个映射及，若对的每个元素都有，则称与相等，记为。 设是一个集合，若，则称为集合的恒等映射或单位映射。 设，分别是集合到，到的映射，则称为乘积。 设是集合到的一个映射，用代表在映射下像的全体，称为在映射下像的集合，。 若，就映射为映上的或满射。 若在映射下，中不同元素的像也一定不同，则映射称为单设。一个映射若既是单设又是满射就称为双射。一个集合到其自身的映射叫做变换。 定义2.2.327 设是一个非空集合，是一个数域，在集合中的元素之间定义了加法运算（即对任，有唯一的，使），在数域与集合中的元素之间定义了数乘运算（即对任一与，有唯一的，使）。如果加法与数乘运算满足以下规则：（1） ；（2） ；（3） 存在，使对任，有；0称为的零元素；（4） 存在的负元素，使；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；则称为线性空间。线性空间的元素也称向量，所以线性空间也称向量空间。 线性空间有以下简单性质：（1） 零元素是唯一的；（2） 负元素是唯一的；（3） ；（4） 若，则或. 定义2.2.428 令是数域上一个向量空间，到自身的一个线性映射叫做的一个线性变换。 定义2.2.527 设是数域上的一个线性空间，是中一组向量，称为向量组的一个线性组合，也称向量可由向量组线性表出。 定义2.2.627 若（1） ；（2）是中两个向量组，如果（1）中每个向量可以由（2）线性表出，则称（1）可以由（2）线性表出。若（1）与（2）可以相互线性表出，则称（1）与（2）是等价的。 定义2.2.727 线性空间中向量称为线性相关，如果在数域中有个不全为零的数，使，如果向量不线性相关，就称为线性无关。 由以上定义得到如下几个常用结论：（1） 单个向量线性相关的充要条件是；两个以上向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。（2） 若向量组线性无关，且可被线性表出，则.（3） 若向量组线性无关，但向量组，线性相关，则可以被线性表出，而且表示法唯一。 定义2.2.827 若在线性空间中有个线性无关的向量，但中没有更多数量的线性无关的向量，则称为维的。若在中可以找到任意多个线性无关的向量，则称为无线维的。 定义2.2.927 令是数域上一个维向量空间是上的一个基，于是的每一个向量可以唯一表成其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数称为在基下的坐标，记为. 定理2.2.127 若在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以由它们线性表出，则是维的，而是的一组基。设是数域上的维线性空间，与是的两组基。关系式称为基变换公式，可以形式地写为其中 称为由基到的过渡矩阵。 中元素在基下的坐标与在基下的坐标满足关系式或者设和是中的两个向量组，是两个矩阵，则有以下运算规则：；. 定义2.2.1028 令是一个非空集合，它带有一个代数运算，叫作乘法：对与任意的，有中唯一确定的元素，记作，与它对应，叫做与的积如果下列条件满足，那么说关于乘法做成一个群：（1）对于任意的，有；（2）在中存在一个元素，叫做的单位元，它具有性质，对，有；（3）对于的每一个元素，存在的一个元素使得，叫做的逆元。 定义2.2.1128 设是一个非空集合。带有两个运算，分别叫做加法和乘法。如果下列条件被满足，就称是一个环：（1） 对于加法来说作成一个阿贝尔群；（2） 的乘法满足结合律：对于中任意元素，和，等式成立；（3）加法与乘法由分配律联系着：对于中任意元素，和，等式；成立。 定义2.2.1228 设是一个有单位元的交换环。如果的每一个非零元素都是可逆元，那么就称是一个域。定义2.2.1328 设是一个域，使得的最小正整数叫做域的特征。 如果不存在正整数，使得，那么就说域的特征是零。 定理2.2.228 设是一个域（1） 如果。那么对于中任意非零元素和，（2） 如果，那么对于的任意非零元素，和， 定理2.2.328 设是一个特征为素数的域。在里以下等式成立：，定义2.2.1428 设和是环（或域）。：是一个映射，如果对于中任意元素都有；那么就说，是一个同态映射。如果还是一个双射，那么就说是一个同构映射，这时就说环（或域）与同构。定义2.2.1524 设，则为矩阵的极小秩，记。定义2.2.1629 若线性变换：满足，则称是上保持极小秩的线性变换。 由极小秩的定义,可得以下性质:（1）平移不变性：；（2）数乘不变性：；（3）相似不变性：为可逆矩阵；（4）转置不变性： ；（5）；（6）；（7）.若无特别声明,总表示一个域。 引理2.2.126 设:为矩阵空间上保秩1的线性算子,即，那么存在可逆矩阵, ,使得满足下面情况之一:（1） ；（2） ；（3） ,其中:为线性算子,满足,当时,都有；（4）,其中:为线性算子,满足,当时,都有. 引理2.2.226 设并且,，那么相似于某一个对角矩阵,其中且. 证明: 设矩阵的Smith标准型为,其中为的不变多项式,=1,2,3,且, =1,2.下证.若的次数1.因为多项式的次数为3,且, ,所以只能是: 从而与矩阵相似，此时。这与条件矛盾。 因此，这样或且的次数1. 若，设，则由文献4中的定理2知,相似于矩阵.则,有.因为矩阵中有一个二阶子式,所以.所以.这与条件矛盾,因此,其中的次数1且.因为的次数是3,所以的次数只能是1,的次数只能是2.这样,具有形式,其中. 若,那么相似于矩阵.此时或.这与条件矛盾； 若,那么相似于对角矩阵,此时有3种情况:；.容易看出,情况和都与条件矛盾,而情况恰好满足引理的条件。因此相似于对角矩阵.证明完毕。 引理2.2.326 设域满足,为线性算子,且满足: ，那么,若,则. 引理2.2.426 设域满足,为线性算子且满足:（1）,；（2）, ,其中表示位置上元素是1,其余元素全为0的阶矩阵。那么, 为上保秩1的线性算子,即. 定理2.2.426 设域满足,为矩阵空间中保持极小秩的线性算子,则可表为: 或 其中,为中的可逆矩阵,是上的线性函数。 证明: 设是秩为1的阶矩阵,则.因此,即,其中,且.所以由知, ,其中,且.,定义,则不难证明,是上的线性函数。再设,则是上的线性算子。并且因此,.又因为.所以,.由引理4,为到的保秩1的线性算子。于是由引理1知,存在可逆矩阵,使得满足如下4种情况之一:（1）；（2）；（3）,其中:为线性算子,满足,当时,都有；（4）,其中:为线性算子,满足,当时,都有. 若满足情况（3）,那么,由知,.但此时,或。当时, ,此时,；当时,因此, ,或1,这与保极小秩矛盾。同理可证,为4)这种情况也是不可能的。 所以必为形式（1）或（2）,即或.又因为,所以,从而存在,使得.另一方面,由知, ,这样.所以,即或.则或.证明完毕。2.3 本章小结 本章介绍了极小秩保持问题中用到的一些基础知识，目的是为下一章定理的证明做准备。其中包括集合、映射、群、环、域、极小秩等概念，以及特征不为2的域上，时,全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的证明。第3章 二阶全矩阵空间上保持极小秩的线性变换3.1 引言线性保持极小秩问题首先是在1999年，由Wasin So刻画了特征为0的代数闭域上保持极小秩的线性算子形式。2006年，张志旭等人证明了对于一般数域，上述结论仍成立，而数域的特征为0。2007年，陈嘉佳等人去掉了这个条件，证明对于特征不为2的任意域上该结论仍然成立。本章就是受上面结论的启发来考虑的。在特征不为2的域上，利用高等代数的知识，刻画并证明二阶全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的形式，这也是本文的主要内容。3.2 符号说明设是一个特征不为2的域，是上全矩阵空间，是上全矩阵空间，也称为上的二阶全矩阵空间。是单位矩阵，是所有可逆矩阵构成的群，称为一般线性群，是由中所有非零元构成的乘法群。对于矩阵，记是的转置矩阵，是的逆矩阵，是的伴随矩阵，是酉群，是的秩，是的极小秩。3.3 二阶全矩阵空间概述设是一个特征不为2的域，是由上所有的矩阵构成的矩阵集合，可以证明该矩阵集合是线性空间，称之为域上的二阶全矩阵空间。设，是中的任意数，那么关于，满足下面性质：（1） ；设，左边求和后为，右边求和显然与左侧相等，所以成立。（2）；设，左侧为+ =，而右侧求解后结果为，两侧相等，所以成立。（3） ；因为，显然成立。（4） 存在，使得成立；因为存在，所以存在，所以上述结论成立。（5） ；左侧括号内加法后得到=；右侧等于=，左右相等，所以结论成立。（6） ；左侧计算得；右侧计算得= ，左右相等，所以满足.（7） ；左侧计算得=，右侧计算得，左右相等，所以成立。（8） ；数字1乘以结果仍然是，即。以上证明可以看出，满足线性空间的8个条件，称之为域上的二阶全矩阵空间。3.4 证明思路该定理的证明主要运用了线性空间基的性质，方法采用反证法。证明结论时重点为证明一组向量是一组基，则可用到任意一组向量可由基线性表示的知识点，证明条件时同样运用该知识点，另外还有数量阵的性质，定理自然得证。3.5 主要结论定理3.5.1：设：是线性变换，则，同时是的基，此外，是非奇异的。证明：因为，所以当是数量阵时，当不是数量阵时。因为，所以是数量阵是数量阵，即。下证是的基。设，由于是线性变换，是数量阵，可知是数量阵，故，因此，线性无关。若不是的基，则可设由于是线性变换，是数量阵，可知是数量阵，故矛盾。当是数量阵时，设，则也是数量阵，故当是数量阵时，.当不是数量阵时，其中，不全为0，若为数量阵，设，即，其中，不全为0，和是的基矛盾，故不是数量阵，从而当不是数量阵时，故，。是非奇异的是显然的，证明略。3.6 本章小结本章主要是在特征不为2的域中，对二阶全矩阵空间中保持极小秩的线性算子形式进行了证明，即：设：是线性变换，则，同时是的基，此外，是非奇异的.结 论本论文利用数量阵、线性空间基的定义、性质等有关知识，在特征不为2的任意域上，证明了二阶全矩阵空间到其自身的保持极小秩的线性算子的形式。首先，介绍了极小秩的概念、背景、发展历程、中外学者的著作。其次，介绍了极小秩保持问题中所要用到的一些基础知识，内容由浅入深，便于理解。最后，得出本文主要结论。在特征不为2的域中，对二阶全矩阵空间中保持极小秩的线性算子形式进行了证明，即：设：是线性变换，则，同时是的基，此外，是非奇异的。现在对于线性保持问题的研究越来越受大家的关注，本论文研究的也只是冰山一角，由于我的知识贮备有限，所以不免在论文中会出现错误，请大家多多批评指正。另外，目前线性保持问题在应用方面已经有了一定的位置，但在极小秩方面，作为它的一个分支在现实应用中还有很大一部分可开发空间。希望以后会有更多的人在这方面取得突破。参考文献1 G.FROBENIUS.Uber die Darstellung der endichen Gruppen durch linera SubstitutionenJ.Sitzungsber.Deutsch.Akad.Wiss,Berjin,1997,994-1015.2 S.KANTOR.Theorie der Aquivalenz von linera Scharen bilinearer FormenJ.Sitzun-gsber.Munchener Akad,1997,367-381.3 M.Marcus.Linear operations on matricesJ.Amer.Math.Monthly,1996,69:837-847.4 M.Marces.Linear transformations on matricesJ.J.Res.Nat.Bur.Standarss,1991,75B:107-113.5 曹重光.局部环上矩阵模的保幂等自同态J.黑龙江大学自然科学报.1989,6(2).1-3.6 S.W.Liu,D.B.Zhao. Introduction to Linear Preserver ProblemsM.Harbin Press.China.1997.7 曹重光.实数域上有限可除代数矩阵空间保幂等的线性算子J.数学杂志.1992,12(3):349-353.8 曹重光.域上矩阵Moore-Penrose逆的线性保持算子J.黑龙江大学自然科学学报.1991,8(3):48-51.9 曹重光.张显.特征3的域上保矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子J.北华大学学报.2000,1(1):4-7.10 刘玉,张显.保矩阵M-P逆的线性算子J.南昌大学学报.1997,21(4):364-368.11 张显,杨忠鹏.矩阵M-P逆保持的共变算子对J.黑龙江自然科学技术学术论.1996,135-138.12 Z.P.Yang,X.Zhang.Covarant Operators Pairs on Moore-Penrose Inverses of Matrices Between Various Real Finite Dimensional Division AlgebrasJ.Math.Study.1999,32(3):245-252.13 S.Pierce and W.Watkins,Invariants of Linear maps on matrix algebrasJ,Linear and Multilinear Algebra.1999,185-200.14 E.P.Botta,Linear that preserve singular and nonsingular matricesJ,Lin.Alg.Ap-pl.1998,20:45-49.15 E.P.Botta,Linear trans formations preserving the unitatyJ,Lin,Mul.1996,20:61-65.16 A.Kovacs,Trace preserving linear trans formations on matrix algebrasJ,Lin.Mult.Alg.1997,4:243-250.17 C.K.Li and N.K.Tsing,Linear preserver problems:a brief introduction and some special techniquesJ,Lin.Alg.App1.1992,162-164.18 C.K.Li and N.K.Tsing,Duality between some linear preserver problems:The invariance of the c-numerical range,the c-numerical radius and certain matrix setsJ,Lin.Mul.Alg.1998,23:353-362.19 C.K.Li and N.K.Tsing,Linear preserver problems:a brief introduction and some special techniquesJ,Lin.Alg.1992,162-164.20 R.Horn,C.K.Li,and N.K.Tsing,linear operators preserving certain equivalence relations on matricesM,SIAMJ.Matrix Anal.1993.21 C.K.Li,L.Rodman,and N.K.Tsing,linear operators preserving certain equivalence relations originating in system theoryM,Lin.Alg.App1.1993.22 L.Q.Wang,G.F.Yuan.Linear Maps Preserving Idempotence on Full Matrix Modules over Commutative RingsJ.Acta Math.Sinica.1992,35:85-89.23 曹重光,张显,刘国桐.保特征2的域上幂等矩阵的线性算子J.数学研究与评论.1996,16(1):147-149.24 Wasin So.Linear Operators Preserving the Minimal RankJ.Linear Algebra and Its Applications.1999,302&303:461-468.25 张志旭,吴海燕,张玲.矩阵的最小秩及其应用J.佳木斯大学学报（自然科学版）.2006,24(1):122-124.26 陈嘉佳,谭宜家.关于矩阵空间上保持极小秩的线性算子J.福州大学学报.2007,35(1),6-8.27 孙清华,孙昊,李金兰.高等代数 内容、方法与技巧M.华中科技大学出版社.2006.28 张禾瑞,郝鈵新.高等代数M.高等教育出版社.1997.29 W.L.CHOOI,M.H.LIM.Some linear preserver problems on block triangular matrix algebrasJ.Lin.Alg.Appl,2003,370:25-39.致 谢本论文经学习、编写历时4个月，在这个过程中我首先要感谢的是我的导师孟丽娜，她毕业于哈尔滨工业大学，在攻读硕士学位期间发表了许多关于线性保持方面的文章。他为人谦逊、待人诚恳，在教学方面，她治学严谨、一丝不苟。该论文从选题到确定思路，从资料收集到提纲撰写，从整体结构到微小细节，从最初的混沌到最后的成型，每一个环节都有着孟老师细致入微的指导。在她的身上值得我学习的地方太多，在即将离开校门的时候能够得到她的指导是我的荣幸。她在生活中人品、在工作上的态度将成为我一生的财富。其次，我要感谢培养我四年的所有老师们，在学习上他们就像是严厉的父亲，不允许我们有半点马虎，在生活上就像是慈祥的母亲，对我们的关心无微不至，我因为有这样的老师而感到自豪。最后，我要预先感谢即将为我的论文答辩而辛劳的各位答辩老师，并在此表示崇高的敬意！附 录A Research of the Algebra Type Theory1, Consummate of algebra invariants theory1.1 Gorda problemsA classical not from 1840-1870 the main direction of theoretical research variables, mathematicians to the further development of variables, puts forward the problems - more usually find no variable, namely the complete of any given number and frequency of $algebraic form, the smallest possible number of variables, make rational whole not any other reasonable whole not variables can watch as the complete set of values of the coefficient of the rational functions. This is also called algebraic form complete. This is the mature period algebra. Before, mathematicians in Hilbert only for some special algebra form gives the general problem, it is the greatest contribution. Paul Gorda (1837-1912). He devoted all his lifes Dan almost no variables theory research,