一些重要极限的统一证明.pdf

第 2 2卷第 6期 2 0 0 9年 1 2月 高等函授学报 自然科学版 J ou r n a l o f Hi g h e r C o r r e s p o n d e n c e Edu c a t i o n Na t u r a l S c i e n c e s V0 I 2 2 No 6 2 0 0 9 大 学教 学 一 些重要极 限的统一证 明 冯育强 张青桥 武 汉科技大学 理学 院 湖北 武汉 4 3 0 0 6 5 摘要 本文利 用一个与 有关的不等式 给 出了一 些重要极 限的统一证明 关 键 词 极 限 证 明 中图分类号 0 1 7 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 6 7 3 5 3 2 0 0 9 0 6 0 0 1 8 0 2 为了证明基本极限 在文献 1 中 引入 了 如下的不等式 弓 f 理 1 设 0 b 则 1 a 6一 日 一 口 井 P 1 V N H H 以下我们 利用 引理 2 来 证 明高 等数学 中 的一 些重要的极限 首先 我们有 定理 1 l i ra 一 1 证 明 i z y 1 1 l t rI 又由 1 士 P 7 2 2 得 1 l i ra 一 1 定 理 2 设 一 l 十 一l n N 则数 列 n 收敛 证 明 由于 1 1 州 咒 则有 I n 1 1 i n 1十 因此 l 0 证 明 给定 n 0 必 存在 k k N 使得 a 删 z 1 8 l n 1 因此 有 n 一 n 一 l n n 1 I n 一 一 一 十 十 n 一 1 一 l n 1 收稿 日期 2 0 0 9 0 9 2 8 基金项 目 国家教研课题 F I B 0 7 0 3 3 5 一 A 2 0 4 湖北省教育厅 自然科 学基金项 目编号 Q2 O O 9 1 1 0 7 武汉科技大学优 秀科技人才培育计划项 目 项 目编 号 2 0 0 8 R C 0 1 作者简介 冯育强 1 9 7 5一 男 陕西咸阳人 副教授 主要从事分析数 学研究 与教学 第 2 2卷第 6期 2 0 0 9年 1 2月 高等 函授 学报 自然科 学版 J o u r n a l o f Hi g h e r Co r r e s p 0 n d e n c e Ed u c a t i o n Na t u r a l S c i e n c e s Vo 1 2 2 NO 6 2 009 l n 1 1 l n 1 l n 1 一 1 n 一 l n 2 3 一 1 n 一 l n 1 一 1 n 0 以上 表 明 a 递 减 且 下 有 界 所 以 a 收敛 推 论 3 l i m n o 十上 十 十卵 一 l n 2 证 明 事实上 令 1 1 一 1 n 厶 l nz 一 1 1 1 一 l n 2 由于 a 收敛 所 以 0一 l i m 2 一 a 一 n o 0 1 1 n 2 1 n 一 1 n 2 即知 c n z 推 论 4 妻 n l 1 1 一 1一 1 十 1 一 一 1 一 一 1 n2 z 证 明 事实 上 令 口 一 1 1 1 一 l n n 一 1 1 1 一 ln 2 s 一 1 一 丢 一 1 一 1 1 则 有 0一 l i m n 2 一 a 一 H 1 1 1 1十 1一 1 1 0 厶 上 一 1 一 一 l n 2 l n 一 l i m F 1 一 1十 1一 1 一 2 n l n 2 一 l i mE S 2 一l n 2 因此 l i m S2 一 l n2 又 l i mS 2 抖1 1 i m S 2 一 l i mS 2 一 l n 2 一 一 n 十上 n 所 以 l i m S 一 l n2 即 则 因此 薹 一 1 一 1 1 一 1 十 1 一 1l n 1 1 音 收敛 o 一 l n 1 一 1 I z 十 一 注 意 到 级 数妻 n l 1 收 敛 因 此 级 数 妻 n l 去 I h c 收 敛 推 论 5级 数 妻 n l n 1 一 l 收 敛 1 E 2 参 考 文 献 R F J o h n s o n b a u g h An o t h e r p r o o f o f a n e s t i ma t e f o r e E J 3 Th e A me r Ma t h Mo n t h l y 1 9 7 4 1 0 1 1