第二章 光线光学.ppt

1 第二章光线理论 程函方程和光线路径方程光纤光学均匀介质波导中光线的传播阶跃光纤中光线的传播梯度光纤中光线的传播导波模与特征模多模波导的传输特性关键词 光程 相位差 阶跃光纤 梯度光纤 导波模 特征模 2 光线理论适用条件 0 0 忽略波长的有限大小能量可以看成沿一定的曲线 光线 传输一个无限小的孔定义了一个无限细的光锥光场的一般性质与平面波相同 按平面波建立的反射 折射定律 表述反射率 折射率 偏振态变化的公式仍然有效 光线理论 几何学方法考虑光学现象确定光线路径计算相关联的强度 相位 偏振 3 2 1光程与程函方程 光程 波面走过的几何路径与折射率乘积即光学长度 在均匀介质中在分区的均匀介质中在变折射率介质中 4 光程与相位差非均匀介质中 光波从Q点通过M N 到达P点 各扰动点相位逐点落后 P Q两点扰动的相位差为 转换成用真空中波长表示 光程与相位差的关系光程与时间差的关系 相位差取决于光程中的折射率变化 5 光线在任何两点P和Q之间的光学长度比连接这两点的任何其他曲线的光学长度都要短 和其他曲线的区别是光学长度积分为平稳值 常数 极小值 极大值费马原理与反射定律 光线从A点经平面反射镜M到达B点 其反射点为P 可证明光程APB为最短 作AC M 延长AC至D 使AC 连接 两点交于 点光线经镜面 上的其他任一点反射的光程均要大于APB 费马原理 最短光程原理 6 费马原理与折射定律 光线经第一介质 指定点 到达第二介质 点 两点光程为 按费马原理 光程为极值 所以有与实验中发现的折射定律一致 7 费马原理与物象等光程性 成像过程是对同心光束实现共轭变换的过程按球面波概念 在 0等相位面上有每条光线遵循费马原理 从物点到像点各光线光程相等严格等光程 严格成像近似等光程 近似成像非等光程 不成像理想成像系统 物空间所有物点发出的同心光束均严格成像 严格等光程 8 费马原理与反射等光程面 实际的理想成像系统只有平面镜 但其放大率恒等于1 应用范围有限 具有共轭点的特殊曲面反射或折射可使从Q点发出的宽光束成为以同心光束 反射等光程面有三种 旋转椭球面 旋转抛物面 旋转双曲面 9 大口径天文望远镜 由遥远星体发来的平行光束经抛物面镜聚焦成同心光束 再经小镜面反射通过中心光孔 反射无色散 10 光程函数 光程函数定义 以光线路径与折射率为参量表示相位的实标量函数 平面波波函数略去时间因子波面 等相位面 相位梯度表示光线传播方向上相位变化率 程函方程 用光程函数表示光线几何轨迹的方程 11 平面波波函数 平面波在各向同性非导体介质中任意方向传输的波函数 相位因子略去时间因子 用光程函数表示 对非均匀介质 相位既与位置有关 又与传播路径上的折射率有关 12 由麦克斯韦方程推导平面波程函方程 将光程函数表示的平面波波函数代入电场旋度公式 在几何光学范围内 与等式右边相等有 13 经整理 因此有 由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理 得到 2 1a 2 1b 2 1c 2 1d 波阻抗 14 平面波光线的特点 电矢量和磁矢量在每一点都和光线垂直 光线是与波面为常数的曲面正交的轨迹 光线方向与波面法线方向 相位梯度 波印廷矢量方向一致 进一步推导程函方程 将 2 1a 代入 2 1b 利用矢量恒等式有 15 电场矢量振幅E0不能处处为零 因而必然有 即 上式即为程函方程 用光程函数表示光线在空间几何轨迹的方程几何轨迹相位梯度的模等于介质折射率 折射率一旦确定 光线空间轨迹就确定 2 2 16 2 2光线传播路径方程 r 光线传播路径S上某点的矢径dr ds表示光线传播路径切线方向上单位矢量 其方向与相位梯度方向一致 根据光程以及相位梯度的定义 有 2 3 单位光程 等式右边相位梯度表示光线传播方向上相位变化率 等式左边表示路径切线单位矢量与折射率乘积 单位光程 将上式对路径求导可求解光线路径随折射率变化规律 17 上式对路径S求导 等式右边 所以 切线方向单位光程沿路径变化率 光线方向变化趋势 折射率梯度 光线方程 路径与折射率关系 2 4 18 例1 光线在均匀媒质中的传播 光线方程 因n 常数改写成 其解为矢量直线方程 a和b是常矢量 在均匀介质中光线路经沿矢量a前进 并通过r b点 物理意义 表示光线路径的切线变化率 曲率 表示光线路径为直线 19 例2光线弯曲现象 海市蜃楼 决定光学折射率的介电常数 取决于介质分子偶极矩的定向排列有序度 温度高则分子无规则热运动强烈 致使折射率降低 海面上空随高度增大温度升高 同时大气密度减低 均导致折射率下降 光线向地面弯曲 处于A除的观察者 由于光线弯曲 其视觉效果看到的是相当于P 点发出的光束 实际是真实物点P的光束 如果在物点P下方有另一个物点 则在P 下方同样有对应 正像 20 例2光线弯曲现象 沙洲神泉 烈日照射下的公路或沙漠上空 地面温度最高 空气折射率最小 并随高度而增大 光线弯曲与海面相反 向天空方向弯曲 观察者A看见的是位于地面下方的P 由于光线弯曲 似有真实物的倒像出现于地面下方 21 程函方程 表示光线传播时的相位变化与介质折射率分布的关系光线在均匀介质传播路径上无方向变化 在非均匀介质传播路径上有方向变化 光线方程 光线向折射率大的方向弯曲 相位梯度方向与波矢量k方向一致 其模等于该点邻近单位距离内的相移 弧度 米 小结 22 2 3均匀介质波导中光线的传播 薄膜波导 结构 芯层n1 衬底n2 敷层n3 芯层可以做成各种形式 工艺 薄膜成型法 离子扩散 晶体生长 衬底材料 玻璃 电光晶体 半导体材料应用 集成光路 光波导器件 23 圆柱波导 光纤结构 芯层n1 包层n2 缓冲层 缓冲层 有弹性 耐腐蚀的塑料护套 材料和工艺 玻璃 拉丝应用 光通信 传感 信息处理 分类 据纤芯折射率分为阶跃折射率和梯度折射率光纤 据传输信号分为单模和多模光纤 保偏光纤 阶跃折射率分布 梯度折射率分布 24 2 3 1阶跃光纤中光线的传播 相对折射率差 多模光纤 0 01 0 03单模光纤 0 002 0 01传播光线 子午光线 播路径始终在过光纤轴线的同一平面内 光线入射面与光纤直径重合 偏斜光线 传播路径与光纤轴线不相交的光线 25 子午光线传播的条件 光线在纤芯与包层界面全反射处于空气中的光纤端面 在临界角时 子午光线传输条件 26 子午光线在子午面内传播 数值孔径 孔径角 表示光纤收集光的能力 在光纤内满足全反射的条件 27 子午光线的传播时延 色散 设光线沿z方向传播 在两个界面上都满足全反射条件 光线在芯层中的传播速度 传播距离为z时走过实际路径的长度为 所需时间 定义光线传播时延 沿z轴方向传播单位距离的时间与z轴夹角不同的两条光线在z方向传播单位距离产生的时延差为 28 路径最短的光线 路径最长的光线 最大时延差 最大时延差 可以估算不同路经传输导致的光脉冲展宽 29 由光线沿轴向路径的差异产生信号到达时间差最快光线 零级模式 最慢光线 临界模式 例如 单位长度 Km 零级模式传输时间 临界模式传输时间延迟 最大时延差 当 色散 30 斜光线传播的条件 光线传播路径不在一个平面内 也不与光纤轴线相交 入射方向单位矢量入射点矢径 斜光线传播应满足什么条件 为方向余弦 31 全反射条件 入射角等于反射角 入射线 反射线 法线共面 第m次反射时入射方向单位矢量 第m次反射时出射方向单位矢量 反射点法向矢量 径向矢量 32 由上面三式可导出斜入射光线沿光纤轴线方向传播的条件 特殊情况 入射点在子午面上 有 只限定了入射光线与x轴夹角 即使与y轴夹角 M0 接近0 也能在芯内传播 只是传播速度慢 斜光线更易被光纤收集 由此限定了入射点的位置与方向 33 斜光线传播过程中总与一个圆柱面相切 内散焦面 子午光线在子午面内传播 34 2 3 2梯度光纤子午光线路径 梯度折射率分布 光线方程 取子午面内的x与z两个分量 z方向折射率为常数 35 对z向分量积分求得z向路径 光纤沿z轴方向的几何结构和折射率分布不变路径上任意点的折射率在z方向分量相等在z向传播的每个截面上 折射率由线芯x 0向两侧边界单调下降 光线总是弯向折射率大的一侧 所以光线与Z轴的夹角 随 x 增大而减小 不同的初始倾斜角 有不同的路径 束缚光线 折射光线 36 光线折返点xtp 最大初始倾斜角发生在边界处 折射率分布确定后 光线是否被束缚在光纤芯内 完全取决于初始倾斜角 光线在梯度折射率光纤内呈曲线状传播 xtp大的光线尽管所走的路程较长 但因在边缘部分的折射率较小 传播速度要快些 沿中心线传播的光线走的路程短 但折射率大 传播速度要慢些 与阶跃折射率光纤相比 不同路径光线的时延差 色散 要小 37 阶跃折射率光纤 梯度折射率光纤 焦散面 38 自聚焦光纤 梯度折射率光纤特例 子午平面内 路径上任意点的折射率在z方向分量相等 光线轨迹在某点的切线斜率为 对确定折射率分布的光纤 由上式积分得到光线轨迹方程 径向坐标用r表示 39 若折射率分布函数 积分并取出发点在坐标原点 得到光线轨迹方程 轨迹为正弦曲线 振幅 空间周期 不同入射角光线轨迹的空间周期与起始角成正比 光线轨迹方程 取不同值可以逼近多种折射率分布 平方律光纤 40 所以在光纤端面实际能进入的不同光线起始角互相很接近 可以认为不同入射角光线的空间周期近似相等 子午光线对应的最大初始倾斜角 子午线轨迹方程 子午平面内不同入射角的光线 振幅不同 但呈周期性聚焦 41 自聚焦光纤棒的应用 42 中心点光源入射 光纤长度取1 4周期 则输出为平行光 若用两个1 4周期的光纤棒 则为 平行光耦合 且为1 1传输 优点 中间插入波片 偏振片 滤波片 端面是平面 可和其他光纤或光学元件直接胶合 结构紧凑 稳定 用于微光学 43 光隔离器 由法拉第旋光器控制偏振方向 实现光开关 44 光耦合器 由光纤与微移动反射棱镜组成转换开关 利用准直光束特点 移动元件不需要高定位精度 1 45 波分复用器 46 2 3 3导波模与特征方程 导波光是满足一定条件的特定电磁场分布 称这种特定的电磁场分布为 模 在满足全反射条件下 A点入射光线 的波面与反射光线 的波面干涉形成驻波SA 同样在B点光线 与反射光线 的波面干涉形成驻波SB 反射驻波在波导内各处都存在 但只有当SA与SB成为一个统一的驻波 且能扩展到整个波导 电磁场才能稳定地传播 否则就会因干涉相消而消失 为了满足稳定传播条件 对波长 折射率 入射角 波导的几何尺寸都有要求 47 从传播过程的相位分析导出导波模的特征方程 光线在A点和B点全反射 并产生相位差 注意TE与TH的相位差不同 考虑两次全反射后的相位变化 AA 波面表示光线在A点反射后的相位面 BB 波面表示光线在经过AB路径并反射后的相位面 如果AA 波面与BB 波面的相位差为2 的整数倍 则反射形成的波面不会互相干涉而抵消 形成稳定驻波 48 电场只有垂直于传播方向的横向分量 而磁场既有横向分量 又有纵向分量 全反射时的相位差为 磁场只有垂直于传播方向的横向分量 而电场既有横向分量 又有纵向分量 全反射时的相位差为 49 确定满足AA 波面与BB 波面相位相差2 整数倍的条件 光线从A点到B点的距离为L 相位变化量为 设分别是A点和B点全反射产生的相位变化 则光线在经过两次全反射后的相位变化需要满足下式 波导内有以下几何关系 50 上式称为特征方程 满足特征方程的传播角 称为特征值 给出传播角与传播模式的对应关系 波导的结构参数 折射率n1 n2 芯层半宽a 以及光源波长 的一旦确定 传播角 必须满足上式才能维持等相位面存在 可定量计算模式数量 光波在光纤中必须满足边界条件 只有每次到达边界时保持相同相位的光波才能存在 传播模式被离散化 i TE或TM 以TE波的相位变化为例 N 0 1 2 51 为什么在光纤中没有连续模式光波 只有离散模式光波 52 导波光的传播常数 导波光 平面波 的电磁场分布可以表示为 其中 称为传播常数 表示为 传播常数取值范围 传播常数本质上取决于折射率 受限于芯层与包层折射率导波光被约束在芯层内传播 但有部分光会溢出到包层中传播 可认为光是分成芯层和包层两部分传播 传播常数是平面波在芯层和包层传播常数的中间值 纵向传播常数 53 模式数量 光线的传播角从零到临界角 传播角越小模式级别越低 沿中心轴传播的模式为零级 对应与特征方程中的N 0 特征方程的N越大传播角模式越高 临界传播角模式最高 模式数量与光纤直径和数值孔径成正比 和波长成反比 单模光纤直径4 m 10 m 多模光纤直径50 m 54 波导结构参数确定后 符合特征方程的传输模与波长相关 定义特征波导参数 rad 定量表示模式数量 对入射角 的限定 阶跃折射率光纤模式数量 渐变折射率光纤模式数量 截止频率概念 归一化频率 V参数 含有光波频率量纲 1 反映光波波长对传输模的影响 色散 N 0 1 2 55 例 渐变折射率光纤纤芯直径d 62 5 m 数值孔径NA 0 275 工作波长 1300nm 计算模式数量 V dNA 3 14 62 5 10 6 0 275 m 1300 10 9m 41 5光纤中的模式数量 若考虑材料色散 波长色散 偏振色散等原因 实际可传输的模式数量远低于上述计算值 为减少模式数量对光纤的要求 减小纤芯直径 多模光纤直径50 m 100 m 单模光纤直径4 m 10 m 控制相对折射率 多模光纤 0 01 0 03 单模光纤 0 002 0 01 56 模式的种类 导波模 被约束在纤芯或芯层内的模 辐射模 传播角大于临界角而向包层辐射的模 衰减辐射模 全反射倏逝波产生的模 57 特征模与色