第 09 章 第 2 次课 -- 旋转矢量 单摆.ppt

1 位移随时间的变化关系 速度 加速度 上述式子中都有一个圆 角 频率 而圆频率或角频率是和旋转 圆周运动 相对应的 因此 也可以用旋转矢量法来表示简谐运动 因为 旋转运动是周期性的运动 16 9 2旋转矢量 2 如图所示 以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动 一 旋转矢量 简谐运动中的特征量与矢量图中各物理量的关系 角频率 旋转矢量的角速度 振幅A 旋转矢量的模OM 位相 t t时刻旋转矢量与x轴正向的夹角 初相 初始时刻旋转矢量与x轴正向的夹角 周期T 旋转矢量转一周所需的时间 16 9 2旋转矢量 3 矢量以 角速度旋转 因此在t时刻 矢量的矢端在M点 此时矢量与x轴的夹角为 t 由 2 式可见 任意t时刻旋转适量在x轴上的投影就是简谐运动在该时刻的位移 矢量以角速度 旋转一周 矢量端点在X轴上的投影在x轴上作一次完全振动 16 9 2旋转矢量 4 二 速度 用旋转矢量图还可以确定简谐运动的速度 如图所示 3 式正是简谐运动的速度表达式 矢量的矢端在任意时刻的M点 其速度大小为 矢端的速度在x轴上的投影为 3 三 加速度 同理 从旋转矢量图上还能确定简谐运动的加速度 矢量的矢端在任意时刻的M点 其加速度大小为 矢端的加速度在x轴上的投影为 4 4 式正是简谐运动的加速度表达式 注意 矢量本身的运动不是简谐运动 16 9 2旋转矢量 5 四 旋转矢量的x t图 旋转矢量旋转一周 简谐运动完成一个振动周期 旋转矢量作圆周运动 但矢量的端点在x轴上的运动是简谐运动 因此 可以用旋转矢量图画简谐运动的图 如下图所示 16 9 2旋转矢量 6 五 相位差 1 相位差 相位决定了简谐运动物体运动状态的各个物理量 如果有两个物理量 可以是两个位移 或一个位移和一个速度 或者一个位移和一个加速度等 都作简谐运动 那么它们随时间变化的 步调 如何呢 两个振动的相位之差称为相位差 设有两个简谐运动为 若 0 则称x1和x2同相位 若 则称x1和x2反相位 由此可见 当两个简谐运动频率不同时 其相位差是随时间变化的 16 9 2旋转矢量 7 当两个简谐运动的频率相同 1 2 时 则相位差为 6 2 相同频率简谐运动的相位差 I 两个同频率简谐运动位移的相位差 这种情况下 相位差是固定的 不随时间变化 16 9 2旋转矢量 8 如果相位差 0 则称简谐运动x2超前简谐运动x1 如图所示 ii 相位超前 如果相位差 0 则称简谐运动x2落后简谐运动x1 如图所示 iii 相位落后 通常规定 相位差 即在 范围内讨论简谐运动的相位问题 II 位移和速度之间的相位差 由此可见 速度的相位比位移的相位超前 2 16 9 2旋转矢量 9 可见 加速度的相位超前于速度的相位 2 III 位移和加速度之间的相位差 由此可见 加速度的相位比位移的相位超前 IV 速度和加速度之间的相位差 即加速度的相位与位移相位反相 16 9 2旋转矢量 10 六 例题 习题9 1 16 9 2旋转矢量 一个质点作简谐运动 振幅为A 在起始时刻质点的位移为 A 2 且向x轴正方向运动 则下列四个图中代表此简谐运动的旋转适量图为 分析 条件一 质点的初位移为 A 2 只有 B 和 D 符合 条件二 初始时刻质点向正方向运动 即v0 0 只有 B 和 C 符合 11 9 3单摆 速度 加速度 周期 位移 弹簧振子的简谐运动 频率 圆频率 弹簧振子是作直线运动 其位移是线位移 如果物体是作曲线运动 是否有可能也会作简谐运动呢 一 单摆 因此 单摆是一个理想模型 如图所示 是一单摆 长为的细线 一端固定在A点 另一端悬挂一质量为m的物体 细线的质量和伸长忽略不计 物体的体积忽略不计 物体的运动有什么规律 16 12 二 单摆的运动方程 单摆的运动实际上是物体绕A点的转动 应该用角位移 来描述 O点为平衡位置 规定物体在平衡位置的右边时 角位移 为正 即垂直于屏幕向外 物体在任意时刻 受到重力G和细线的拉力FT的作用 但拉力FT通过转动点A 因此力FT对A点的力矩为零 重力G对A点的力矩大小为 1 负号表示力矩的方向与角位移的方向相反 当角位移垂直向外时 力矩垂直向里 对于单摆 角位移通常是很小 根据幂级数的知识有 2 式表明 物体所受的力矩大小与角位移成正比 方向与角位移方向相反 物体在平衡点左边角 角位移 为负 即垂直于屏幕向里 16 9 3单摆 13 根据转动定律 可得 式中是物体绕A点转动的转动惯量 即 5 式就是单摆运动的微分方程 16 9 3单摆 14 4 与弹簧振子的简谐运动相类似 方程 5 的解可以写为 6 6 式就是单摆的运动方程 其角位移是简谐运动 三 单摆的频率和周期 i 频率 由 4 式可得 单摆的圆频率和频率分别为 7 ii 周期 由 8 式可见 同一个单摆 在不同的地点 由于g不同 其摆动的周期是不同的 16 9 3单摆 15 角位移 四 单摆的角速度和线速度 角频率 周期 角速度 上述各式中 角频率 和周期T由细线长度和重力加速度决定 9 而振幅A和初相位 由单摆的初始条件决定 16 9 3单摆 16 六 简谐运动的描述和特征 4 加速度与位移成正比而方向相反 2 简