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设 一 利用法向量求二面角的大小的原理 基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角 图1 图2 一 利用法向量求二面角的大小的原理 图1 图2 约定 图1中 的方向对平面 而言向内 的方向对平面 而言向内 的方向对平面 而言向内 的方向对平面 而言向外 图2 二 如何求平面的一个法向量 1 定义 如果表示向量 平面 的法向量共有两大类 从方向上分 无数条 这时向量 叫做平面 的法向量 的有向线段所在的 直线垂直于平面 称这个向量垂直于平面 记作 个不共线的非零向量 由直线与平面垂直的判定定 可按如下步骤求出平面的法向量的坐标 第二步 列 根据 可列出方程组 第四步 取 取z为任意一个正数 当然取得越特 的坐标 且 第三步 解 把z看作常数 用z表示x y 殊越好 便得到平面法向量 例题1 如图3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 G E F分别为AA1 AB BC的中点 求平 面GEF的法向量 以D为原点建立右手空间直角坐标系 如图所示 解 则 不妨设正方体的棱长为一个单位长度 由此得 设平面的法向量为 令y 1 取平面的一个法向量为 注 因为平面的法向量有无数个 方向可上 可下 模可大可小 我们只要求出平面的某个法向量即可 例题4 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 4 AA1 2 点Q是BC的中点 求此时二面角A A1D Q的大小 解 如图2 建立空间直角坐标系 依题意 A1 0 0 2 Q 2 2 0 D 0 4 0 2 4 2 面AA1D的法向量 设面A1DQ的法向量为 则 令a1 1 则 二面角的平面角为锐角 二面角A A1D Q的大小为 例5如图5 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 AD BC ABC 900 SA 面ABCD AB BC 1 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小 解 以A为原点如图建立空间直角坐标系 则 1 1 显然平面SBA的一个法向量为 设平面SCD的一个法向量为 则 则 根据题意知 侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小的大小为 评析 因为所求的二面角的交线在图中较难作出 所以用传统的方法求二面角比较困难 向量法在这里就体现出它特有的优势 A D C B S 图5 E 解 延长BA CD交于E 则面SCD 面SBA SE 1 1 1 易求得 F 过A作AF SE于F 连结DF 则DF SE A D C B S 图5 E 1 1 1 F DFA即为侧面SC
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